Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC

II. Bài tập tự luận

2. Vận dung – Vận dụng cao

Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm, CD = 5cm, AD = 7cm. Gọi E là trung điểm của BC. Tính AEDˆ = ?

Hướng dẫn giải:

Đặt E1ˆ = α , E2ˆ = β ⇒ AEDˆ = α + β

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = AD/2 = 3,5( cm ). ( 1 )

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:

IE = (AB + CD)/2 = (2 + 5)/2 = 3,5( cm ) ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có

(vì trong tam giác, đối diện với hai cạn bằng nhau là hai góc bằng nhau) + Xét tam giác ADE có A1ˆ + AEDˆ + D2ˆ = 1800

Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = 1800 ⇒ α + β = 900 Do α + β = 900 nên AEDˆ = 900.

Bài 2: Cho Δ ABC có Aˆ = 500, điểm M thuộc cạnh B C. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính số đo góc DAEˆ = ? Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có:

+ D đối xứng với M qua AB.

+ E đối xứng với M qua AC.

+ A đối xứng với A qua AB, AC.

AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.

⇒ Áp dụng tính chất đối xứng ta có:

⇒ (đpcm).

b) Theo ý câu a, ta có + A1ˆ đối xứng A2ˆ qua AB + A3ˆ đối xứng A4ˆ qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có:

⇒ A1ˆ + A4ˆ = A2ˆ + A3ˆ = Aˆ = 500 ⇒ DAEˆ = 2Aˆ = 1000.

Vậy DAEˆ = 1000.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.

Hướng dẫn giải:

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên

do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CE B.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:

⇒ DM = EM ⇒ Δ MDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK ( 1 ) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)

Mà ta có BM = MC ( 2 ) (do ta vẽ hình trên)

Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK ( 3 ).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID ( 4 ).

Trừ theo vế đẳng thức ( 3 ) cho ( 4 ), ta được: HE = DK.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên hai cạnh BC, CD lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MANˆ = 450. Trên tia đối của của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM. Hãy tính :

a) Tính số đo KANˆ = ?

b) Chu vi tam giác MCN theo a.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng đĩnh nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD, ta được

⇒ Δ ABM = Δ ADK ( c - g - c )

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau và giả thiết, ta có:

⇒ KANˆ = A3ˆ + A4ˆ = A1ˆ + A3ˆ = 900 - 450 = 450

b) Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a - x, CN = a - DN Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a và giả thiết ta có:

⇒ Δ AMN = Δ AKN ( c - g - c )

⇒ MN = KN (cạnh tương ứng bằng nhau) Khi đó, chu vi của tam giác MCN là

MC + CN + MN = a - x + a - DN + x + DN = 2a.

Bài 5: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.

Hướng dẫn giải:

Kẻ AH ⊥ CD, BK ⊥ CD thì AH//BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.

Áp dụng tính chất của hình thang ABKH có hai cạnh bên song song, ta có:

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác ADH vuông tại H ta được:

AD2 = DH2 + HA2 hay 52 = 42 + HA2

⇔ AH2 = 32 ⇔ HA = 3( cm ) (vì AH > 0 ).

Vậy chiều cao của hình thang cân là 3cm.

Bài 6: Tính chiều cao BH của hình thang cân ABCD, biết AC ⊥ BD và hai cạnh đáy AB = a, CD = b. Từ đó suy ra cách vẽ hình.

Hướng dẫn giải:

Kẻ Bx ⊥ BD cắt DC tại E, do cùng với vuông góc với BD.

Hình thang ABEC có hai cạnh bên song song, nên AC = BE ( 1 ) và hai đáy AB = CE = a.

Suy ra DE = DC + CE = a + b

Lại có: AC = BD (vì là đường chéo của hình thang cân) ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra BD = BE nên tam giác BDE vuồn cân tại B.

Do BH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác BDE, nên DH = DE/2 = (a + b)/2 và D1ˆ = 450. Lúc đó tam giác BDH vuông cân tại H.

Vậy BH = (a + b)/2.

Cách vẽ hình:

+ Bước 1: Vẽ Δ BDE vuông cân tại B có đường cao BH và DE = a + b.

+ Bước 2: Kẻ Bx//DE. Lấy C ∈ HE sao cho CE = b.

+ Bước 3: Kẻ Cy//DE cắt Bx tại A. Ta được hình thang thỏa mãn yêu cầu bài cho.

Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

a) Chứng minh rằng BI ⊥ AK.

b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Hướng dẫn giải:

Xét Δ BAI và Δ ADK có:

⇒ Δ BAI = Δ ADK ( c - g - c )

⇒ ABIˆ = DAKˆ (góc tương ứng bằng nhau) Mà IAEˆ + EABˆ = 900 ⇒ ABIˆ + EABˆ = 900 + Xét Δ ABE có EABˆ + ABEˆ + AEBˆ = 1800

⇒ AEBˆ = 1800 - ( ABEˆ + BAEˆ ) = 1800 - 900 = 900 hay AK ⊥ BI (đpcm) + Xét tứ giác EBCK có KEBˆ + EBCˆ + BCKˆ + CKEˆ = 3600

⇒ EBCˆ + EKCˆ = 1800.

Mà AKDˆ + AKCˆ = 1800 nên EBCˆ = EKDˆ + Tứ giác EBCK nội tiếp nên BECˆ = BKCˆ

Mà BKCˆ = AKDˆ nên EBCˆ = BECˆ hay tam giác BEC cân tại C

⇒ CE = BC = AB (đpcm)

Bài 8: Cho hai điểm A, B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Vẽ điểm C đối xứng với B qua đường thẳng d, giả sử tìm được điểm M trên d thì MB = MC ( 1 ).

Do A, B, d cố định nên C cũng cố định suy ra độ dài đoạn AC không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có vào Δ AMC ta được: MA + MC ≥ AC ( 2 ) Dấu bằng xảy ra khi M nằm giữa A và C hay M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng AC khi M là giao điểm của AC và đường thẳng d

Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD có Aˆ = Dˆ = 900 và CD = 2AB. Kẻ DE ⊥ AC, gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh rằng BIDˆ = 900.

Hướng dẫn giải:

Vẽ BH ⊥ DC thì tứ giác ABHD có ba góc vuông là Aˆ = Dˆ = Hˆ = 900 nên nó là hình chữ nhật.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết về hình chữ nhật ABHD ta được:

Lại có IE = IC ( 2 )

Từ ( 1 ), ( 2 ) suy ra HI là đường trung bình của tam giác DCE.

Áp dụng định lý về được trung bình trong tam giác DCE ta được HI//DE do DE ⊥ AC theo giả thiết nên HI ⊥ AC hay tam giác AIH vuông tại I.

+ Trong hình chữ nhật ABHD có

là đường trung tuyến của hai tam giác vuông AIH và BID.

Mặt khác ta lại có:

Điều đó chứng tỏ trong tam giác BID có IO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và bằng nửa cạnh ấy nên nó là tam giác vuông tại I.

Vậy BIDˆ = 900

Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ AN ⊥ AM (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a) AM = AN

b) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD ta được:

⇒ Δ ABM = Δ ADN( g - c - g )

Do đó AM = AN (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

b) Ta có IA, IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN, CMN.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng vói cạnh huyền của hai tam giác vuông trên và định nghĩa ta có:

Chứng tỏ hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C nên BI là đường trung trực của đoạn AC.

Mà theo tính chất của hình vuông thì BD là đường trung trực của AC mà đoạn AC chỉ có một đường trung trực nên BI trung với BD hay B,I,D thẳng hàng.

Đề kiểm tra 45 phút (Đề 1) Phần trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD biết: ∠A = 2∠D; ∠B = 3∠D; ∠C = 4∠D số đo góc A là:

A. 180o B. 36o C. 72o D. 144o Câu 2: Hãy điền vào chỗ (…) để được các khẳng định đúng:

a) Hình thang là tứ giác có ………

b) Hình bình hành có ……… là hình chữ nhật.

c) ……… có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

d) Tứ giác có ……… là hình thoi.

Câu 3: Phát biểu sau đúng hay sai: “Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình vuông”.

A. Đúng B. Sai

Câu 4: Cho hình thang có hai đáy lần lượt là 3cm và 5cm. Độ dài đường trung bình là:

A. 8cm B. 2cm C. 4cm D. 16cm Câu 5: Một tứ giác là hình chữ nhật nếu nó là:

A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau B. Hình bình hành có một góc vuông C. Hình thang có một góc vuông D. Hình thang có hai góc vuông Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O không song song với AD cắt AB tại M và CD tại N.

a) Chứng minh ΔAOM = ΔCON.

b) Chứng tỏ tứ giác AMCN là hình bình hành.

Bài 2: (3 điểm)

Cho tứ giác ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, DB.

1. Chứng minh tứ giác PQRS là hình bình hành.

2. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để:

a. PQRS là hình chữ nhật.B. PQRS là hình thoi.

Bài 3: (1 điểm)

Cho tứ giác ABCD có BD là phân giác ∠B và BC = CD. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

Đáp án và Hướng dẫn giải Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Chọn C

Câu 2

a) hai cạnh đối song song b) một góc vuông

c) hình thoi

d) bốn cạnh bằng nhau Câu 3: Chọn B

Câu 4: Chọn C Câu 5: Chọn B Phần tự luận (7 điểm) Bài 1: (3 điểm)

a) Xét ΔAOM và ΔCON có:

∠A1 = ∠C1 (so le trong)

AO = CO (tính chất đường chéo hình thoi)

∠O1 = ∠O1 (đối đỉnh)

Vậy ΔAOM = ΔCON. (c.g.c) ⇒ OM = ON

b) Xét tứ giác AMCN có OM = ON (cmt), OA = OC (gt) Do đó AMCN là hình bình hành.

Bài 2: (3 điểm)

1) Ta có:

• PQ là đường trung bình của ΔABC nên PQ // BC và PQ = BC/2 (1)

• RS là đường trung bình của ΔDBC nên RS // BC và RS = BC/2 (2) Từ (1) và (2) suy ra PQ // RS và PQ = RS

Suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.

2)

a) Ta có PS là đường trung bình của Suy ra PS // AD và PS = AD/2

Để PQRS là hình chữ nhật ⇔ PQ ⊥ PS ⇔ BC ⊥ AD

Vậy tứ giác ABCD phải thêm điều kiện BC ⊥ AD thì PQRS là hình chữ nhật.

b) Để PQRS là hình thoi ⇔ PQ = PS ⇔ BC = AD . Vậy tứ giác ABCD phải thêm điều kiện BC = AD thì PQRS là hình thoi.

Bài 3: (1 điểm)

Vì BD là phân giác của ∠ABC Suy ra ∠ABD = ∠CBD (1) Lại có BC = CD (gt)

Suy ra ΔCBD cân tại C Nên ∠CBD = ∠CDB (2) Từ (1) và (2) suy ra:

∠ABD = ∠CDB Mà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra AB // CD

Vậy ABCD là hình thang.

Đề kiểm tra 45 phút (Đề 2) Phần trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1: Chọn kết quả đúng:

Trong tứ giác MNPQ có: ∠M + ∠N + ∠P + ∠Q =?

A. 90o B. 180o C. 360o D. 540o

Câu 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết độ dài hai đáy AB = 10cm và CD = 22cm. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Độ dài đoạn thẳng HK là:

A. 16cm B. 8cm C. 11cm D. 32cm

Câu 3: Chọn câu có khẳng định sai:

A. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

B. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

C. Hình thang là một hình bình hành.

D. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Câu 4: Chọn câu có khẳng định đúng.

A. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

B. Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

C. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/3 cạnh huyền.

D. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.

Câu 5: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Gọi N là trung điểm của CH. Số đo góc ∠KMN là:

A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o

Câu 6: Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60o . Trên cạnh AD lấy điểm H và trên cạnh CD lấy điểm K sao cho AH = DK. Số đo góc ∠HBK là:

A. 30o B. 60o C. 45o D. 90o Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi I là trung điểm cạnh BC và E là điểm đối xứng với O qua I.

a) Tứ giác OBEC là hình gì? Tại sao?

b) Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn O B.

Bài 2: (4 điểm) Cho tm giác ABC vuông tại A ( AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ IM ⊥ AB tại M, và IN ⊥ AC tại N.

a) Chứng minh AMIN là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh ADCI là hình thoi.

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh:

Đáp án và Hướng dẫn giải

Câu 1: C Câu 2: A Câu 3: C

Câu 4: D Câu 5: C Câu 6: B

Phần tự luận (7 điểm) Bài 1

a) Ta có IB = IC (gt), IO = IE (tính chất đối xứng)

⇒ OBEC là hình bình hành.

Lại có ∠BOC = 90o (tính chất hai đường chéo hình thoi).