Chương 10. Nguyên lý Đirichlê cho diện tích
10.1. Nguyên lý Đirichlê cho diện tích
10.1. NGUYÊN LÝ ĐIRICHLÊ CHO DIỆN TÍCH
Trong chương này chúng ta xét những tập hợp trên mặt phẳng, những phép toán trên các tập hợp nếu các bạn chưa quen biết có thể xem ở Phụ đính cuối sách. Chúng ta quan tâm tới các khái niệm sau đây:
Một tập hợp trong mặt phẳng gọi là bị chặn, khi tồn tại một hình tròn chứa toàn bộ các điểm của tập hợp đó. Khi không tồn tại một hình tròn nào như trên thì tập hợp đó gọi là tập hợp không bị chặn. Ví dụ như một đa giác lồi là tập bị chặn còn nửa mặt phẳng là tập hợp không bị chặn. Dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của những tập hợp bị chặn
1. Hợp và giao của hữu hạn những tập bị chặn là một tập bị chặn. Hiệu của hai tập bị chặn là một tập bị chặn.
2.Một tập hợp con của một tập bị chặn là một tập bị chặn. Một
tập hợp chứa một tập hợp con không bị chặn thì nó cũng không bị chặn.
Một điểm P gọi là điểm biêncủa tập hợp A trong mặt phẳng, nếu mọi hình tròn tâm tại P có chứa những điểm thuộc A và cả những điểm không thuộc A.Tập hợp tất cả các điểm biên củaAgọi là biên của Avà ký hiệu làK(A). Ví dụ biên của hình tròn là đường tròn với cùng tâm và bán kính. Ví dụ đặc biệt và tính chất biên của tập hợp như sau:
3. Cho tập hợp A gồm toàn bộ những điểm có tọa độ hữu tỷ trong một hình vuông với tọa độ các đir nh(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1). Dễ dàng thấy rằng biên củaAlà toàn bộ hình vuông nói trên.
4.Với mọi tập hợpAgồm các điểm trong mặt phẳng đều có công thức sauK(K(A))⊂K(A).
5. Mọi cặp tập hợp bất kỳ trong mặt phẳng đều thỏa mãn các công thức sau
K(A∪B)⊂K(A)∪K(B) K(A∩B)⊂K(A)∩K(B) K(A\B)⊂K(A)∪K(B)
Một điểmPgọi làđiểm trongcủa tập hợpAnhững điểm trong mặt phẳng, khi tồn tại hình tròn tâm P mà nó nằm trọn trong A.
Từ định nghĩa này thấy ngay là mọi điểm trong của tập hợp Ađều thuộcA. Điều ngược lại không đúng: trong ví dụ 3 ở trên tập hợpA không có một điểm trong nào. Ta thấy ngay
6.Một điểm thuộcAlà điểm trong củaAkhi và chi khi nó không là điểm biên của A. Điều này giải thích tại sao những điểm trong của hình tròn không nằm trên đường tròn.
Để loại trừ các tập hợp đặc biệt, chúng ta đưa vào một khái niệm đặc chưng cho lớp tập hợp không đặc biệt trong mặt phẳng : Một
tập hợp bị chặn các điểm trong mặt phẳng gọi làbề mặt, khi biên của nó không chứa điểm trong (của biên).
Ví dụ các hình tròn hoặc đa giác đều là bề mặt trong mặt phẳng.
Nhưng trong ví dụ 3 tập hợp A không là bề mặt. Bằng cách dùng các định nghĩa về tập hợp và các định nghĩa trong phần trên chúng ta chứng minh được
7. Nếu A và B là hai bề mặt, những tập hợp A∪B, A∩B và A\Bcũng là những bề mặt trong mặt phẳng.
8.NếuA,BvàClà các bề mặt vàAkhông có chung điểm trong với Bvà vớiC, thì Akhông có điểm trong chung với B∪C.
Một trong những định lý cơ bản trong hình học phẳng, nhiều khi ở phổ thông chúng ta công nhận như một tiên đề:
9.Mọi bề mặtAnhững điểm trong mặt phẳng có thể cho tương ứng với một số thực không âmS(A)sao cho
a)S(∆) =1, với∆là một hình vuông có cạnh là 1;
b) Nếu A và B là hai bề mặt không có điểm trong chung, thì S(A∪B) =S(A) +S(B).
Phép cho tương ứngS với các tính chất trên được xác định một cách duy nhất.
Cho bề mặtAbất kỳ, sốS(A)gọi làdiện tíchcủaA. Những mặt đã được xét trong các trường phổ thông là hình chữ nhật, tam giác, hình tròn,. . . và số S(A)theo định nghĩa trên trùng với khái niệm diện tích của các hình này. Với cách trừu tượng hóa khái niệm diện tích chúng ta dễ dàng khảo sát tính chất về diện tích của các hình.
Từ a) và b) chúng ta có thể dễ dàng chứng minh được:
10.NếuAvàBlà những bề mặt và A⊂ B, thì
S(A\B) =S(A)−S(B).
11. Nếu A1,A2, . . . ,An là các bề mặt từng đôi một không có điểm trong chung, thì
S(A1∪A2∪. . .∪An) =S(A1) +S(A2) +ã ã ã+S(An). Nguyên lý Đirichlê cho diện tích: Nếu A là một bề mặt, còn A1,A2, . . . ,An là các bề mặt sao cho Ai ⊂ A(i = 1, 2, . . . ,n) và S(A) < S(A1) +S(A2) +ã ã ã+S(An), thỡ ớt nhất cú hai bề mặt trong số các bề mặt trên có một điểm trong chung.
Cũng như nguyên lý đầu tiên, chúng ta cũng có thể thấy điều này là hiển nhiên và chứng minh được. Thật vậy, Giả sử không có cặp nào trong những mặt đã cho có điểm trong chung. Khi đó theo khẳng định 11. ở trên, ta có
S(A1∪A2∪. . .∪An) =S(A1) +S(A2) +ã ã ã+S(An). Mặt khác Ai ⊂ A(i=1, 2, . . . ,n), suy raA1∪A2∪. . .∪An ⊂ A, từ đó cóS(A1∪A2∪. . .∪An)⊂ S(A). Thống nhất các bất đẳng thức lại chúng ta cóS(A)<S(A), dẫn tới vô lý.
Có thể thấy rằng nguyên lý trên bao trùm nguyên lý Đirichlê cho những tập hữu hạn. Ngoài ra nguyên lý Đirichlê trên có thể cụ thể hóa cho những lớp bề mặt thông dụng trong chương trình phổ thông và các khái niệm độ dài, thể tích cũng có cùng tính chất như khái niệm diện tích ở trên. Do đó chúng ta có thể phát biểu nguyên lý Đirichlê theo các phương án khác nhau.
12.Cho những đoạn thẳng ∆1,∆2, . . . ,∆n nằm trong đoạn ∆ và tổng độ dài của∆1,∆2, . . . ,∆nlớn hơn độ dài của∆. Khi đó ít nhất có hai trong số những đoạn thẳng∆1,∆2, . . . ,∆ncó điểm chung.
13.Cho những đa diệnP1,P2, . . . ,Pnnằm trong đa diệnPvà tổng
thể tích củaP1,P2, . . . ,Pnlớn hơn thể tích củaP. Khi đó ít nhất có hai trong số những đa diệnP1,P2, . . .Pncó điểm chung.
14.Cho những cung c1,c2, . . . ,cn nằm trên đường tròn c và tổng độ dài củac1,c2, . . . ,cnlớn hơn độ dài đường tròn c. Khi đó ít nhất có hai trong số những cungc1,c2, . . .cncó điểm chung.
Tất cả các phát biểu 12, 13, 14 chúng ta đều gọi là nguyên lý Đirichlê và bạn đọc có thể chứng minh được các nguyên lý này.