1.3. Phữỡng phĂp lỗi lổgarit
2.1.1. Phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thới gian
Cho Ω = [0,1], T > 0. X²t b i toĂn parabolic trong trữớng hủp mởt chiãu ut =uxx,0≤ x≤1,0< t ≤T, (2.1) u(0, t) =u(1, t) = 0,0< t ≤T, (2.2) u(x,0) =u0(x),0≤x ≤1. (2.3) GiÊ sỷ u0(x) l h m liản tửc tứng khúc v triằt tiảu tÔi x = 0, x = 1, tực l
u0(0) =u0(1) = 0.
Sỷ dửng phữỡng phĂp tĂch bián, ta tẳm nghiằm khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn dữợi dÔng
u(x, t) =X(x)ãT(t).
Thay v o (2.1) ta câ
X(x)ãT0(t) =X00(x)ãT(t), hay
T0(t)
= X00(x)
= −λ,
trong õ, λ l hơng số. Suy ra, phữỡng trẳnh (2.1) tữỡng ữỡng vợi hai phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng
T0(t) +λT(t) = 0, (2.4)
X00(x) +λX(x) = 0. (2.5)
Sỷ dửng iãu kiằn biản (2.2) ta nhên ữủc
X(0) =X(1) = 0. (2.6)
Trữợc tiản, ta x²t phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai (2.5) vợi iãu kiằn ban ¦u (2.6)
X00(x) +λX(x) = 0, X(0) =X(1) = 0.
Ta x²t cĂc trữớng hủp sau cừa tham số λ
+ Trữớng hủp 1: Náu λ <0 thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ d¤ng
X(x) =C1e
√−λx+C2e−
√−λx, vợi C1, C2 l hơng số. Tứ iãu kiằn ban Ưu (2.6) ta thu ữủc
X(0) =C1+c2 = 0, X(1) =C1e
√−λ+C2e−
√−λ = 0.
Do õ, ta nhên ữủcC1 =C2 = 0 hayX(x) ≡ 0. Vêy, vợi λ < 0, thẳ u(x, t) ≡0.
+ Trữớng hủp 2: Náu λ= 0 thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ d¤ng
X(x) =ax+b, vợi a, b l hơng số.
Tứ iãu kiằn ban Ưu ta cụng suy ra ữủc a = b = 0 hay X(x) ≡ 0. Vêy, vợi λ= 0 thẳ ta cụng cõ u(x, t) ≡ 0.
+ Trữớng hủp 3: Náu λ >0 thẳ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.5) cõ d¤ng
X(x) =C1cos(
√
λx) +C2sin(
√
λx), vợi C1, C2 l hơng số.
Thay iãu kiằn ban Ưu ta cõ
X(0) =C1cos(
√
λx) = 0.
Suy ra, C1 = 0. Thay iãu kiằn X(1) = 0 v C1 = 0, ta cõ C2sin(√
λ) = 0. º nghiằm u(x, t) 6= 0 thẳ ta phÊi cõ C2 6= 0. Do õ, √
λ =kπ hay
λ =k2π2, k ∈Z. (2.7)
Khi â, ta câ X(x) =C2sin(kπx).
Vẳ h m X(x) phử thuởc v o k nản ta kỵ hiằu
Xk(x) =Aksin(kπx). (2.8)
Thay λ =k2π2 v o (2.4) thẳ phữỡng trẳnh
T0(t) +k2T(t) = 0, cõ nghiằm
Tk(t) =Bke−tk2π2. (2.9) Tứ (2.8) v (2.9), ta cõ nghiằm riảng cừa b i toĂn  cho cõ dÔng
uk(x, t) =Cke−tk2π2sin(kπx), (2.10) vợi Ck =Ak ãBk l hơng số tũy ỵ. Ta thĐy, cổng thực nghiằm (2.10) thọa mÂn iãu kiằn biản (2.2). Ta xƠy dỹng mởt cĂch hẳnh thực chuội
u(x, t) =
∞
X
k=1
uk(x, t) =
∞
X
k=1
Cke−tk2π2sin(kπx), (2.11) vợi hằ sốCk xĂc ành sao cho chuội (2.11) thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.1) v iãu kiằn ban Ưu (2.3), tực l
u(x,0) =
∞
X
k=1
Cksin(kπx) =u0(x).
Do õ, hằ số Ck phÊi l hằ số Fourier cừa h m u0(x) khai triºn theo hằ h m {sin(kπx)} trong kho£ng (0,1), tùc l
Ck = 2
1
Z
0
u0(ξ) sin(kπξ)dξ. (2.12)
Ta lêp chuội hẳnh thực (2.11) vợi cĂc hằ số Ck ữủc xĂc ành nhữ trong (2.12) l nghiằm cừa b i toĂn vợi giÊ thiát h mu0(x) l h m liản tửc, cõ Ôo h m liản tửc tứng khúc v thọa mÂn u0(0) =u0(1) = 0.
X²t b i toĂn parabolic ngữủc thới gian trong trữớng hủp mởt chiãu
ut = uxx,0≤ x≤ 1,0< t≤T, (2.13) u(0, t) =u(1, t) = 0,0< t≤ T, (2.14) u(x,0) = u0(x),0≤ x≤1, (2.15)
u(x, T) =uT(x). (2.16)
GiÊ sỷ iãu kiằn ban Ưu u0(x) cõ thº khai triºn dữợi dÔng chuội u0(x) =
∞
X
n=1
u0nsin(nπx).
Kát hủp vợi cổng thực nghiằm (2.11), ta cõ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.13) vợi iãu kiằn biản (2.14) v iãu kiằn ban Ưu (2.15) cõ dÔng
u(x, t) =
∞
X
n=1
u0ne−tπ2n2sin(nπx). (2.17) Thay iãu kiằn tÔi thới iºm cuối t=T ta ữủc
u(x, T) =
∞
X
n=1
u0ne−T π2n2sin(nπx). (2.18) GiÊ sỷ h m uT(x) =u(x, T) cõ thº khai triºn dữợi dÔng
u(x, T) =uT(x) =
∞
X
n=1
uT nsin(nπx). (2.19)
Tứ (2.18) v (2.19), ta thu ữủc
UT n =u0ne−T n2π2, hay
u0n =UT neT n2π2. Thay v o cổng thực nghiằm (2.17) ta nhên ữủc
u(x, t) =
∞
X
n=1
uT ne(T−t)π2n2sin(nπx).
Do õ, náut < T thẳ ta cõe(T−t)π2n2 → ∞khin→ ∞. Do õ, b i toĂn parabolic ngữủc thới gian l b i toĂn °t khổng ch¿nh.
2.1.2. ¡nh gi¡ ên ành
º ờn ành hõa b i toĂn (2.13)(2.16), chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp lỗi lổgarit (xem [3]). Trữợc tiản, chúng tổi x²t phiám h m nông lữủng
F(t) =ku(t)k2 =
1
Z
0
u2(x, t)dx, (2.20)
ð Ơyk ã k l chuân trong khổng gian L2(0,1) v ta s³ ch¿ ra rơng h mF(t) thọa m¢n b§t ¯ng thùc
F00(t)F(t)−[F0(t)]2 ≥ 0, ∀t∈[0, T).
Thêt vêy, ta Ôo h m hai vá cừa (2.20)
F0(t) = 2
1
Z
0
u(x, t)ut(x, t)dx.
Vẳut =uxx nản sỷ dửng cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn v iãu kiằn biản (2.14) ta nhên ữủc
F0(t) = 2
1
Z
0
u(x, t)ut(x, t)dx
= 2
1
Z
0
u(x, t)uxx(x, t)dx
= 2u(x, t)ux(x, t)
1 0−2
1
Z
0
[ux(x, t)]2dx
=−2
1
Z
0
[ux(x, t)]2dx. (2.21)
Ôo h m hai vá cừa (2.21) v sỷ dửng cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn ta ữủc
F00(t) =−4
1
Z
0
ux(x, t)uxt(x, t)dx
= 4
1
Z
0
uxx(x, t)ut(x, t)dx.
Thay uxx =ut ta câ
F00 = 4
1
Z
0
[ut(x, t)]2dx. (2.22)
Khi â, ta câ
F00(t)F(t)−[F0(t)]2 = 4
1
Z
0
[ut(x, t)]2dx
ã
1
Z
0
u2(x, t)dx
− 2
1
Z
0
u(x, t)ut(x, t)dx2 .
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ
1
Z
0
[ut(x, t)]2dx
ã
1
Z
0
u2(x, t)dx
−
1
Z
0
u(x, t)ut(x, t)dx2
≥0.
Do õ, ta nhên ữủc
F00(t)F(t)−[F0(t)]2 ≥0, ∀t∈ [0, T) (2.23)
hay F(t) l h m lỗi lổgarit.
Theo cổng thực (1.13) trong Mửc 1.3 ta cõ Ănh giĂ
F(t) ≤F(0)TT−t ãF(T)Tt,∀t ∈[0, T).
Thay F(t) = ku(t)k2 trong (2.20) v sỷ dửng iãu kiằn ban Ưu (2.15) v iãu kiằn cuối (2.16) ta nhên ữủc Ănh giĂ sau
ku(t)k2 ≤ ku0(x)k2(1−t/T)ã ku(T)k2t/T,∀t∈ [0, T). (2.24) Tẵnh chĐt nghiằm cừa b i toĂn giĂ trà biản ban Ưu (2.13)(2.16) cõ thº ữủc suy ra tứ Ănh giĂ (2.23) v (2.24). Trữợc tiản, chúng ta cõ thº nhên thĐy rơng náu h m F(t) thọa mÂn bĐt ¯ng thực (2.23) v F bà triằt tiảu tÔi mởt iºm n o õ t1 ∈ [0, T] thẳ tứ tẵnh liản tửc cừa F ta cõ thº suy ra F(t) ỗng nhĐt bơng 0 vợi mồi t ∈ [0, T]. Tứ õ, ta suy ra tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn Cauchy tuyán tẵnh (2.13)(2.16).
º trÊ lới cho cƠu họi vã tẵnh ờn ành cừa nghiằm ta giÊ sỷ u1(x, t) v u2(x, t) l cĂc nghiằm cừa b i toĂn sau
uit = uixx,0≤x≤ 1,0< t≤ T, ui(0, t) =ui(1, t) = 0,0< t ≤T, ui(x,0) = ui0(x),0≤x≤ 1, ui(x, T) =uiT(x), i= 1,2.
°t u = u1 − u2 thẳ u s³ l nghiằm cừa b i toĂn (2.13)(2.16) vợi iãu kiằn Cauchy t÷ìng ùng l u0(x) = u10(x)−u20(x). Khi â b§t ¯ng thùc (2.24) s³ cho ta khổng gian nghiằm cừa b i toĂn º sao cho ku0k nhọ s³ k²o theo ku(t)k cụng nhọ vợi t∈ [0, T) hỳu hÔn. Tuy nhiản, iãu kiằn ku0(x)k nhọ l khổng ừ º tẵch
ku0(x)k2(1−t/T)ã ku(T)k2t/T
s³ nhọ vợi t ∈ [0, T). Do õ, º cõ tẵnh phử thuởc liản tửc cừa nghiằm v o dỳ
ta kỵ hiằu M l têp tĐt cÊ cĂc h m ϕ(x, t), liản tửc trong Ω = [0,1]ì[0, T] v vợi mội t∈(0, T) cố ành thẳ ϕ(x, t) khÊ vi liản tửc hai lƯn theo bián x, vợi mội x ∈ [0,1] thẳ ϕ(x, t) khÊ vi liản tửc theo bián t ∈ (0, T) v thọa mÂn iãu kiằn bà ch°n
kϕ(T)k2 ≤ M2, (2.25)
vợi M l hơng số. Ta thĐy rơng, trong lợp h m u∈ M thẳ nghiằm cừa b i toĂn (2.13)(2.16) s³ phử thuởc liản tửc theo nghắa Hoălder v o dỳ kiằn Cauchy trong L2(0,1) vợi t∈[0, T). Khi õ, ta cõ kát quÊ sau
ành lỵ 2.1 Mởt nghiằm bĐt ký cừa b i toĂn giĂ trà biản ban Ưu (2.13)(2.16) thuởc lợp M ãu thọa mÂn bĐt ¯ng thực
ku(t)k2 ≤M2t/Tku0(x)k2(1−t/T). (2.26) º ỵ rơng, cĂc kát quÊ trản ch¿ cõ ỵ nghắa thỹc tá khi hơng số M cõ thº ữủc tẵnh toĂn tứ cĂc dỳ kiằn vêt lỵ cừa b i toĂn khi ta i nghiản cựu cĂc mổ hẳnh toĂn hồc cừa nõ. Trong nhiãu b i toĂn vêt lỵ thẳ ta cõ thº ữa ra hơng số M, vẵ dử nhữ náu nghiằm u biºu diạn nhiằt ở cừa cừa mởt b i toĂn thỹc tá thẳ ta cõ thº ữa ra giợi hÔn trản cừa u. V khi õ, ta khổng nhĐt thiát phÊi cõ dÔng tữớng minh cừa nghiằm.
M°t khĂc, º nghiản cựu dĂng iằu cừa nghiằm, tứ bĐt ¯ng thực (2.23) ta cõ giợi hÔn dữợi cừa h m F(t) ữủc xĂc ành bði
F(t) ≥ F(0)exp tF0(0) F(0)
!
. (2.27)
Thay cĂc dỳ kiằn cõ ữủc tứ phƯn trản ta nhên ữủc ku(t)k2 ≥ ku0(x)k2 exp 2tkuxk2
ku0k2
!
. (2.28)
Vẳ vêy, náu ku(t)k xĂc ành trản [0,∞) thẳ ku(t)k s³ tông theo h m số mụ. V do õ, bĐt ¯ng thực (2.28) cho ta Ănh giĂ vã tốc ở tông cừa nghiằm u(x, t).