Chương 2. Bất đẳng thức Simpson và một số ứng dụng 12
2.4 Bất đẳng thức Gr¨ uss, Ostrowski đối với công thức Simpson
2.4.1 Bất đẳng thức Gr¨ uss
Tiếp theo, chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Gr¨uss, đây là một số kết quả về bất đẳng thức tích phân, mỗi liên hệ giữa tích phân của tích hai hàm và tích của hai tích phân (Định lý 1.4 ở chương 1) đối với từng hàm tương ứng.
Định lý 2.4. Cho f, g : [a, b]→R là các hàm khả tích trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện:
φ6f(x)6Φ, γ 6g(x)6Γ với mọi x∈[a, b].
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
1 b−a
Z b a
f(x)g(x)dx− 1 b−a
Z b a
f(x)dxã 1 b−a
Z b a
g(x)dx 6 1
4(Φ−φ)(Γ−γ) (2.33) Hằng số 1
4 là xấp xỉ tốt nhất.
Năm 1938, Ostrowski (xem ví dụ [1, p. 468]) đã chứng minh bất đẳng thức chỉ ra xấp xỉ của tích phân 1
b−a Rb
af(x)dx như sau:
Định lý 2.5. Giả sửf : [a, b]→R là hàm số khả vi trên (a;b) có đạo hàm f0 : (a, b)→R bị chặn trên (a, b), tức là, kf0k∞:= supt∈(a,b)|f0(t)dt|<∞. Khi đó có bất đẳng thức sau:
f(x)− 1 b−a
Z b a
f(t)dt
≤
"
1
4 + x− a+b2 2
(b−a)2
#
(b−a)kf0k∞, (2.34)
với mọi x∈(a, b).
Trong bài báo năm 1997, S. S. Dragomir và S. Wang đã chứng minh phiên bản sau bất đẳng thức của Ostrowski bằng cách vận dụng bất đẳng thức Gr¨uss.
Định lý 2.6. Cho hàm số f : I ⊆ R → R khả vi trên int(I) và a, b ∈ int(I) với a < b.
Nếu f0 ∈L1[a, b] và
γ 6f0(x)6Γ với mọi x∈[a, b], ta có bất đẳng thức sau:
f(x)− 1 b−a
Z b a
f(t)dt− f(b)−f(a) b−a ã
x− a+b 2
6 1
4(b−a)(Γ−γ), (2.35) với mọi x∈[a, b].
Tiếp theo, ta trình bày về bất đẳng thức tích phân kiểu Gr¨uss. Với các số thực A, B, ta xét hàm số sau:
p(t)≡px(t) =
t−a+A y−b+B
nếu a6t6x x < t6b .
Hàm số px có các tính chất sau:
a) px có bước nhảy
[p]x = (B−A)−(b−a) tại điểm t=x và
dpx(t)
dt = 1 + [p]xδ(t−x).
b) Đặt Mx:= supt∈(a,b)px(t)vàmx := inft∈(a,b)px(t). Khi đó sai phânMx−mx có thể được đánh giá như sau:
(1) VớiB −A 60, ta có
Mx−mx =−[p]x. (2) VớiB −A >0, ta có ba trường hợp cụ thể như sau:
(i) Nếu 06B−A6 1
2(b−a), thì ta có
Mx−mx =
−x+b với a6x6a+ (B−A);
−[p]x với a+ (B−A)< x6b−(B−A);
x−a với b−(B −A)< x6b.
(ii) Nếu 1
2(a−b)< B−A≤(b−a), thì ta có:
Mx−mx =
−x+b với a6x < b−(B−A);
B −A với b−(B −A)6x < a+ (B−A);
x−a với q+ (B−A)6x6b.
(iii) Nếu B−A > b−a, thì ta có:
Mx−mx = [p]x.
Bất đẳng thức dưới đây là bất đẳng thức kiểu Ostrowski (do Dragomir và cộng sự công bố năm 1999).
Định lý 2.7. Cho hàm f : [a, b]→Rkhả vi trên(a, b)có đạo hàm thỏa mãn bất đẳng thức sau:
γ 6f0(t)6Γ với mọi t∈(a, b), (2.36) trong đó γ,Γ là các số thực cho trước. Khi đó, ta có bất đẳng thức:
(C−A)f(a) + (b−a−B+A)f(x) + (B −C)f(b)− Z b
a
f(t)dt 6 1
4(Γ−γ)(Mx−mx)(b−a),
(2.37)
với
Cx := 1
2(b−a)[(x−a)(x−a+ 2A)−(x−b)(x−b+ 2B)], và A, B, Mx và mx xác định như trên, x∈[a, b].
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Gr¨uss (2.33), ta có:
1 b−a
Z b a
px(t)f0(t)dt− f(b)−f(a) b−a ã 1
b−a Z b
a
px(t)dt 6 1
4(Γ−γ)(Mx−mx), (2.38) với mọi x∈(a, b).
Sử dụng quy tắc tích phân từng phần ta có:
Z b a
px(t)f0(t)dt =Bf(b)−Af(a)− Z b
a
f(t)dt+ [p]xf(x). (2.39) Ngoài ra, vì
Z b a
px(t)dt= 1
2[(x−a)(x−a+ 2A)−(x−b)(x−b+ 2B)], nên từ bất đẳng thức (2.38) ta thu được:
1 b−a
Bf(b)−Af(a)− Z b
a
f(t)dt+ [p]xf(x)
−Cxã f(b)−f(a) b−a
6 1
4(Γ−γ)(Mx−mx), suy ra (2.37).
Nhận xét 2.4. Trong bất đẳng thức (2.37), chọn A =B = 0 và theo tính chất (b), mà Mx−mx =b−a, ta thu được bất đẳng thức (2.35) của Định lý 2.6 của Dragomir và Wang.
Theo trên, ta thu được kết quả thú vị sau:
Hệ quả 2.9. Cho A, B là các số thực sao cho 0 6 B−A 6 (b−a)
2 . Nếu f là hàm xác định như trên, thì ta có bất đẳng thức:
B−A
2 f(a)+[b−a−(B −A)]f
a+b 2
+ B−A
2 f(b)− Z b
a
f(t)dt 6 1
4(Γ−γ)(b−a−B +A)(b−a).
(2.40)
Chứng minh. Xét x= (a+b)/2. Khi đó, từ (2.37) ta có:
x−a= b−a
2 , x−b=−b−a 2 và
Cx = A+B
2 , x∈[a+ (B−A), b−(B −A)].
Theo tính chất (b) của hàm px ta có: Mx−mx = (b−a)−(B−A).
Áp dụng Định lý 2.7 vớix= a+b
2 , ta thu được bất đẳng thức (2.40).
Nhận xét 2.5. Nếu trong hệ quả trên ta chọn B−A= b−a
2 , thì ta thu được:
1 2 ã
f(a) +f(b)
2 +f
a+b 2
(b−a)− Z b
a
f(t)dt 6 1
8(Γ−γ)(b−a)2. (2.41) Nhận xét 2.6. Nếu trong bất đẳng thức (2.40) ta chọn B =A, chúng ta nhận được bất đẳng thức.
(b−a)f
a+b 2
− Z b
a
f(t)dt 6 1
4(Γ−γ)(b−a)2 (2.42) kết quả này được S.S. Dragomir và S. Wang công bố trên bài báo [12].
Nhận xét 2.7. Nếu trong bất đẳng thức (2.40) ta chọn B−A= (b−a)/3thì ta thu được công thức của Simpson.
b−a 6 ã
f(a) + 4f
a+b 2
+f(b)
− Z b
a
f(t)dt 6 1
6(Γ−γ)(b−a)2 (2.43) Ta thu được với các số hạng của đạo hàm cấp một, không như trong trường hợp cổ điển là ước lượng với số hạng ứng với đạo hàm cấp 4như sau:
b−a 6
f(a) + 4f
a+b 2
+f(b)
− Z b
a
f(t)dt 6
f(4) ∞
2880 (b−a)5. (2.44) Phương pháp đánh giá sai số của quy tắc Simpson được xét ở trên có thể được áp dụng cho bất kỳ công thức bậc hai của kiểu Newton-Cotes.
Chẳng hạn như, để có được đánh giá sai số đối với quy tắc Newton-Cotes bậc 3 cần thay thế hàm px(t) trong (2.18) bằng hàm
px(t) :=
t−a−A nếu a6t 6a+h;
t−a+b
2 + A+B
2 nếu a+h < t6b−h;
t−b−B nếu b−h < t6b;
trong đó B−A= (b−a)/4 và h= (b−a)/3.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ví dụ vận dụng đối với bất đẳng thức Simpson chỉ ra một số bất đẳng thức mới, xuất phát từ các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15):
H 6G6L6I 6A.
Bài toán 2.10. Xét ánh xạ f(x) = xp (p >1), x >0. Khi đó Γ−γ = (a−b)(p−1)Lp−2p−2 với a, b∈R thoả mãn 0< a < b. Do đó, ta có bất đẳng thức:
2
3Ap(a, b) + 1
2A(ap, bp)−Lpp(a, b) 6 1
6(b−a)2(p−1)Lp−2p−2. Bài toán 2.11. Xét ánh xạ f(x) = 1
x, x > 0. Khi đó:
Γ−γ = b2−a2
a2b2 = 2ã (b−a)A(a, b) G4(a, b) với 0< a < b. Do đó, ta có bất đẳng thức:
2
3A−1(a, b) + 1
3H−1(a, b)−L−1(a, b) 6 1
3(b−a)2 A(a, b) G4(a, b) bất đẳng thức này tương đương với
2
3HL+1
3AL−AH 6 1
3(b−a)2A2HL G4 . Bài toán 2.12. Xét ánh xạ f(x) = lnx, x > 0. Khi đó
Γ−γ = b−a G2
Đối với a, b∈R with 0< a < b. Do đó, ta có bất đẳng thức:
2
3lnA+ 1
3lnG−lnI 6 1
6
(b−a)2 G2 , bất đẳng thức này tương đương với
ln A23G13 I
!
6 1
6 ã(b−a)2 G2 .
Tiếp theo, chúng tôi trình bày kết quả về đánh giá sai số của quy tắc xấp xỉ Simpson đối với hàm số khả vi, có đạo hàm bị chặn:
Định lý 2.8. Giả sử hàm số f : [a, b] → R khả vi trên (a, b) có đạo hàm thỏa mãn điều kiện:
γ 6f0(t)6Γ với mọi t∈(a, b);
với γ,Γ là được cho bởi các giá trị thực. Khi đó ta có:
Z b a
f(t)dt =Sn(In, f) +Rn(In, f) (2.45) với
Sn(In, f) = 1 3
n−1
X
i=0
hi[f(xi) + 4f(xi+hi) +f(xi+1)], (2.46) Ih là một phân hoạch với các điểm chia
In:a=x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn=b
hi := (xi+1−xi)/2, i= 0, . . . , n−1 và phần dư Rn(In, f) thỏa mãn bất đẳng thức:
|Rn(In, f)|6 2
3(Γ−γ)
n−1
X
i=0
h2i. (2.47)
Chứng minh. Từ bất đẳng thức (2.43) ta chọn các điểm chia a=xi, b=xi+1,2hi =xi+1−xi và xi+hi = 1
2(xi+xi+1) trong đó i= 0, . . . , n−1. Ta thu được bất đẳng thức
hi
3 [f(xi) + 4f(xi+hi) +f(xi+1)]− Z xi+1
xi
f(t)dt 6 2
3(Γ−γ)h2i,
với mọi i = 0, . . . , n−1. Lấy tổng 2 về của bất đẳng thức này với i = 0, . . . , n−1 và sử dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta thu được
n−1
X
i=0
hi
3 [f(xi) + 4f(xi+hi) +f(xi+1)]− Z b
a
f(t)dt 6 2
3(Γ−γ)
n−1
X
i=0
h2i, ta thu được bất đẳng thức (2.47).
Hệ quả 2.10. Với giả thiết như trên và nếu hàm f có đạo hàm bị chặn, tức là kf0k∞ := sup
t∈(a,b)
|f0(t)|<∞
thì ta có ước lượng cho phần dư của công thức Simpson như sau:
|Rn(In,f)|6 4 3kf0k∞
n−1
X
i=0
h2i. (2.48)
Các ước lượng sai số cổ điển dựa trên biễu diễn Taylor, đối với quy tắc Simpson liên quan tới đạo hàm cấp 4. Trong trường hợp nếu đạo hàm cấp 4 không tồn tại hoặc nhận giá trị rất lớn tại một số điểm trong [a, b], thì các ước lượng cổ điển không áp dụng được, vì vậy các ước lượng (2.47) và (2.48) là các ước lượng sai số cho quy tắc của Simpson.