1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1 ([3]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn AB
AD = CB CD được gọi là tứ giác điều hòa.
Định lý 1.2.2 ([4]). Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn.
M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.11).
Hình 1.11: AP BQ là tứ giác điều hòa.
Chứng minh. Ta cú 4QAM ∼ 4AP M vỡ ta cú AM2 = P M ãM Q (theo định nghĩa phương tích của đường tròn). Do đó, ta có
AQ
AP = AM
M P. (1.6)
Tương tự, ta cú 4QBM ∼ 4BP M vỡ ta cú BM2 =P M ãM Q. Do đú, ta cú BQ
BP = BM
M P. (1.7)
Vì M A và M B là tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên ta có M A = M B. Do đó, từ (1.6) và (1.7) ta có
AQ
AP = AM
M P = BM
M P = BQ BP. Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.3. Định lý trên cho ta cách dựng tứ giác điều hòa một cách dễ dàng. Để dựng một tứ giác điều hòa, ta vẽ một đường tròn, lấy một điểm bên ngoài đường tròn. Từ điểm này xác định hai tiếp điểm với đường tròn và vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm. Khi đó bốn điểm thu được tạo thành một tứ giác điều hòa. Ta cũng có điều ngược lại, tức là nếu AP BQlà tứ giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại B và P Q đồng quy tại một điểm. Ta sẽ chứng minh định lý đảo này ở phần sau.
1.2.2 Một số tính chất
Tính chất 1.2.4 ([3]). Cho tứ giác điều hòa BDF C nội tiếp đường tròn tâm O (BF khác đường kính). Gọi G là giao điểm của hai đường chéo. Tiếp tuyến tạiB và F của (O) giao nhau tạiE. Khi đóE, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Hình 1.12: E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Chứng minh. Theo giả thiếtBDF C là tứ giác điều hòa ta có E, G, D, C thẳng hàng. Vì 4BGD đồng dạng với 4CGF nên ta có
CG : BG =CF : BD.
Tương tự, vì 4BGC đồng dạng với 4DGF nên ta có BG: DG= BC : DF.
Chia hai hệ thức cho nhau ta được CG
DG = CG BG ã BG
DG = CF BD ã BC
DF = CF DF ã BC
BD. (1.8)
Mặt khác, 4BED đồng dạng với 4CEB nên ta có
BC : BD =CE : BE. (1.9)
Do 4CF E đồng dạng với 4F DE nên ta có
CF : DF =EF :DE. (1.10)
Từ (1.8), (1.9) và (1.10) và chú ý rằng BE = EF, ta có CG
DG = EF
DE ã CE
BE = CE DE, hay
CE
CG = DE DG. Vậy E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Nhận xét 1.2.5. Từ tính chất trên ta thấy BE, BG, BD, BC là chùm điều hòa, trong đó BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hòa BDF C, G là giao điểm của hai đường chéo.
Tính chất 1.2.6 ([3]). Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M là giao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó IB là phân giác của góc AIC.
Chứng minh. Ta có AC cắt BD tại K thì (M, K, A, C) =−1. Ta có IM, IK, IA, IC là chùm điều hòa và IM vuông góc IK nên IM, IK lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc ∠AKC.
Tớnh chất 1.2.7 ([3]). Cho ABCD là tứ giỏc điều hũa thỡ AC ãBD = 2ABã CD = 2BC ãAD.
Chứng minh. Tứ giác ABCD là điều hòa nên ta có AB
AD = CB
CD ⇒ABãCD =ADãCB.
Mặt khác, do ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptoleme, ta có AC ãBD =AB ãCD+ADãBC.
Do đú AC ãBD = 2AB ãCD = 2BC ãAD.
Mệnh đề 1.2.8 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, các đường chéo là đường đối trung của tam giác xác định bởi các cạnh liên tiếp của tứ giác cùng với đường chéo của nó.
Hình 1.13: BK là đường đối trung của tam giácABC
Chứng minh. Xét tứ giácABCD là tứ giác điều hòa vàK là giao điểm của hai đường chéo (Hình 1.13). Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, ta
có AB
DC = AK
DK = BK
CK. (1.11)
Từ tính đồng dạng của tam giác BCK và ADK, ta có BC
AD = CK
DK = BK
AK. (1.12)
Lấy (1.11) chia vế với vế cho (1.12), ta thu được AB
BC ã AD
DC = AK
CK. (1.13)
Do ABCD là tứ giác điều hòa nên ta có AB
BC = AD
DC. (1.14)
Thay (1.14) vào (1.13) ta có
AB
BC
2
= AK CK.
Suy ra BK là đường đối trung của tam giác ABC. Tương tự, ta cũng chứng minh đượcAK là đường đối trung của tam giác ABD, CK là đường đối trung của tam giác BCD và DK là đường đối trung của tam giác ADC.
Mệnh đề 1.2.9 ([9]). Nếu trong một tứ giác nội tiếp, đường chéo là đường đối trung của tam giác tạo bởi đường chéo còn lại và hai cạnh liên tiếp thì tứ giác là tứ giác điều hòa.
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và K là giao điểm của hai đường chéo (Hình 1.13). Do BK là đường đối trung của tam giác ABC, ta có
AK
KC = AB2
BC2. (1.15)
Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, ta có AB
DC = AK
DK = BK
CK. (1.16)
Từ tính đồng dạng của tam giác BCK và ADK, ta có BC
AD = CK
DK = BK
AK. (1.17)
Lấy (1.16) chia vế với vế cho (1.17), ta thu được AB
BC ã AD
DC = AK
CK. (1.18)
Kết hợp (1.15) và (1.18) ta được AB2
BC2 = AB
BC ã AD DC hay
AB
BC = AD DC. Vậy ABCD là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.10. Từ Mệnh đề 1.2.8 và Mệnh đề 1.2.9, ta có thu được một cách để dựng tứ giác điều hòa. Trong một hình tròn, cho ABC là tam giác nội tiếp; ta xây dựng đường đối trung AK, ký hiệu D là giao của AK với đường tròn. Khi đó, ABCD là tứ giác điều hòa.
Mệnh đề 1.2.11 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, giao điểm của hai đường chéo có khoảng cách đến hai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.9, giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường đối trung. Áp dụng Mệnh đề 1.1.21 ta có khoảng cách từ giao điểm đến hai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó.
Mệnh đề 1.2.12 ([9]). Giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác điều hòa cực tiểu tổng bình phương khoảng cách từ một điểm trong tứ giác đến các cạnh.
Hình 1.14: ABCD là tứ giác điều hòa
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và M là điểm bất kỳ bên trong tứ giác. Ký hiệu x, y, z, u lần lượt là khoảng cách từ M tới các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA (Hình 1.14). Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Ta có
ax+by+cz+du= 2S.
Điều này đúng với mọi x, y, z, u và a, b, c, d là số thực.
Theo bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski - Schwarz, ta được (a2 +b2 +c2 +d2)(x2+y2+z2+u2)≥ (ax+by+cz +du)2, hay
x2 +y2 +z2 +u2 ≥ 4S2
a2+b2+c2 +d2. Ta chú ý rằng giá trị cực tiểu của x2+y2+z2+u2 là
4S2
a2+b2 +c2 +d2 =const.
Trong bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski - Schwarz, dấu bằng xảy ra khi x
a = y b = z
c = u d.
Vì K là giao điểm của AC và BD là điểm duy nhất có tính chất này, điều này đảm bảo M = K, nên K có tính chất làm cực tiểu tổng bình phương khoảng cách từ điểm trong tứ giác đến các cạnh.
Mệnh đề 1.2.13 ([9]). Hai tiếp tuyến tại hai đỉnh đối diện của môt tứ giác điều hòa với đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó và đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện còn lại đồng quy.
Hình 1.15: DP và BP giao nhau trên đường thẳngAC
Chứng minh. Gọi P là giao điểm của đường tiếp tuyến tại D với đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hòa ABCD với cạnh AC (xem Hình 1.15).
Vì tam giác P DC và P AC đồng dạng, ta có P D
P A = P C
P D = DC
AD. (1.19)
Từ hệ thức (1.19), ta được
P A
P C = AD2
DC2. (1.20)
Hệ thức trên chỉ ra(C, A, K, P) = −1, nên DP là đường đối trung ngoài từ D của tam giác ADC.
Tương tự, nếu ta ký hiệu P0 là giao của tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp với cạnh AC, ta được
P0A
P0C = BA2
BC2. (1.21)
Từ (1.20) và (1.21), và cũng từ tính chất của tứ giác điều hòa, ta biết rằng AB
BC = AD DC, điều này có nghĩa
P A
P C = P0A P0C hay P =P0.
Tương tự, ta chứng minh được tiếp tuyến tại A và C giao nhau tại điểm Q trên đường chéo BD.
Nhận xét 1.2.14. Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay được định lý đảo của Định lý 1.2.2, tức là nếu ABCD là tứ giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại C và BD đồng quy tại một điểm.
Mệnh đề 1.2.15 ([9]). Cho ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp trong đường tròn tâm O và gọi P là giao điểm của các tiếp tuyến tại B và D, và Q giao điểm của các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Nếu K là giao điểm của AC với BD, thì trực tâm của tam giác P KQ là O.
Chứng minh. Từ các tính chất của tiếp tuyến từ một điểm của đường tròn, ta kết luận P O ⊥ BD và QO ⊥ AC. Các hệ thức này chỉ ra trong tam giác P KQ, P O và QO là các đường cao nên O là trực tâm của tam giác.
Mệnh đề 1.2.16 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, các đường tròn Apollonius tương ứng với các đỉnh của đường chéo ứng với hai tam giác xác định bởi các đỉnh này và đường chéo còn lại là trùng nhau.
Mệnh đề 1.2.17 ([12]). Giả sử ABCD là tứ giác điều hòa và O là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Khi đó OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa.
Chứng minh. Xét phép nghịch đảo I(O, r2) tâm O, tỉ số r2 (xem định nghĩa phép nghịch đảo trong [8]). Tính chất của phép đảo ngược đó là đoạn bất kỳP Q
dưới phép đảo ngượcI biến thành đoạnP0Q0 sao choP0Q0 = r2
OP ãOQP Q.Xột phép đảo ngược I (và vì tâm phép đảo ngược nằm trên đường tròn) bốn điểm đồng viên A, B, C, D sẽ được biến thành bốn điểm thẳng hàng A0, B0, C0, D0 sao cho các đoạn tuân theo hệ thức trên. Vì tứ giác ABCD điều hòa, ta có
BA
BC = DA
DC. Do đó B0A0
B0C0 = D0A0 D0C0 ⇔
r2
OBãOABA
r2
OBãOCBC =
r2
ODãOADA
r2
ODãOCDC ⇔ BA
BC = DA DC.
Suy ra OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa.
Chương 2
Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa
Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong hình học phẳng như: chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và một số bài toán khác. Nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu [2, 3, 4, 5, 9, 10] và các tài liệu khác trên các diễn đàn toán học.