Rút gọn không gian tìm kiếm dựa vào tập Pareto

Chương 2 TRA CỨU ẢNH DỰA TRÊN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VỚI KHOẢNG CÁCH

2.4. Tiếp cận giải bài toán tối ưu đa mục tiêu Pareto

2.4.2. Rút gọn không gian tìm kiếm dựa vào tập Pareto

Bài toán tối ưu trên miền không gian độ đo khoảng cách của truy vấn với các mẫu trong cơ sở dữ ảnh phát biểu như sau:

Giả thiết {Ei | i = 1, 𝑁̅̅̅̅̅} là một cơ sở dữ liệu đặc trưng của ảnh, được trích rút theo T bộ đặc trưng trong số các kiểu đặc trưng trực quan gồm màu sắc, kết cấu và hình dạng.

Gọi 𝐷𝑄𝑡(𝐼) là khoảng cách tương ứng của mỗi bộ đặc trưng giữa ảnh truy vấn Q và ảnh I, ∀𝑡 = 1, 𝑇. Mỗi ảnh 𝐼 ∈ 𝐸 có T giá trị khoảng cách thành phần so với truy vấn Q tương ứng T bộ đặc trưng. Không gian tìm kiếm các ảnh I có độ tương tự so với ảnh truy vấn Q cụ thể được cho bởi:

𝐸𝑄 = {(𝐼 , (𝐷𝑄1(𝐼), … , 𝐷𝑄𝑇(𝐼)) |𝐼 ∈ 𝐸} (2.5)

Tồn tại một ánh xạ 𝜋𝑄, là song ánh trong không gian tìm kiếm EQ, như là:

𝜋𝑄: EQ → E

(𝐼 , (𝐷𝑄1(𝐼), … , 𝐷𝑄𝑇(𝐼)) → 𝐼 (2.6)

Để đơn giản, khi Q cố định, ta đặt 𝐼 ≡ 𝜋𝑄(𝐼) ∈ 𝐸 và𝐴 ≡ {𝜋𝑄(𝐼)/∀𝐼 ∈ 𝐴}

Bài toán CBIR đơn giản nhất có thể diễn đạt như sau: Tìm tất cả các I trong không gian tìm kiếm EQ mà thỏa mãn đồng thời các tiêu chí 𝐷𝑄𝑡(𝐼) nhỏ nhất (ở mức tương tự đặc trưng trực qun mức thấp) được xác định như sau:

{min 𝐷𝑄𝑡(𝐼), 𝑡 ∈ {1, . . , 𝑇}

𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝐼 ∈ 𝐸 (2.7)

Bài toán phát biểu thông qua phương trình (2.7) ở trên không phải bài toán tối ưu đa tiêu, vì các tiêu chí là các giá trị khoảng cách. Tìm ảnh I ∈ E trongbài toán trên hỏi tất cả các tiêu chí được tối ưu đồng thời (nhỏ nhất) theo

mỗi tiêu chí 𝐷𝑄𝑡(𝐼) trong không gian nhiều tiêu chí EQ,ví dụ như tìm ảnh lí tưởng I minh họa trong Hình 2.1.

Hình 2.1. Minh họa không gian tìm kiếm EQ

Ảnh lí tưởng Ilí tưởng ∈ EQ thỏa mãn đồng thời các tiêu chí là không tồn tại. Lời giải của bài toán này dẫn tới tìm tập các lời giải thỏa hiệp trong số các tiêu chí. Mỗi lời giải là tối ưu nếu không có lời giải khác trong EQ có khoảng cách nhỏ hơn trên mọi tiêu chí Dt (Q, I ). Điều này có nghĩa rằng, ta cần tìm các điểm theo trích rút Pareto front, đánh giá toàn toàn bộ tập các giá trị khoảng cách (các tiêu chí) cho mọi điểm trong không gian tìm kiếm. Kĩ thuật Pareto front đa mức sâu sử dụng trong không gian EQ.

Giống như bài toán tối ưu đa mục tiêu dụa vào việc tìm một tập của các thỏa hiệp số các lời giải tiềm năng. Ta cần một định nghĩa mở rộng của quan hệ trội. Một lời giải hiệu quả không trội hơn các lời giải khác trong mọi tiêu chí. Nói một cách khác, nghĩa là không có khả năng tìm lời giải khác tốt hơn đông thời các tiêu chí đối với một lời giải hiệu quả đang tồn tại.

Để tìm tập các đối tượng tối ưu trên miền không gian độ đo khoảng cách, dựa trên quan hệ trội tìm tập tối ưu Pareto theo định nghĩa 2.1.

Định nghĩa 2.1. (Trội Pareto trên độ đo khoảng cách) Cho truy vấn Q, xác định một quan hệ trội (ký hiệu là f) trên tập độ đo khoảng cách của hai ảnh I1 và I2 như sau:

I1 trội hơn I2 hay I2 bị làm trội bởi I1 (ký hiệu I1 Q I2) nếu và chỉ nếu

   

  0  0 

1 2

0 1 2

1, : 1, :

t t

Q Q

t t

Q Q

t T D I D I

t T D I D I

  



  



Theo định nghĩa này, rõ ràng I1 và I2 trong không gian tìm kiếm EQ thỏa mãn tính chất I1 Q I2 . Vì thế I1 là liên quan hơn I2 so với Q.

Ví dụ 2.2. Xét sự quan hệ của Ví dụ 2.1, o2 Q o1 bởi vì 0.5 0.6 và 0.2 0.3

Mệnh đề 2.1. Cho I I1, 2 và I3 trong Q. Ta có:

(2.1.1) I1 Q I2 I2 Q I1.

(2.1.2) I1 Q I2, I2 Q I3 I1 Q I3.

(2.1.3) I1 Q I2 Agg D Q1  I1 ,...,DQT I1 Agg D Q1  I2 ,...,DQT I2 , Agg là

một phép kết nhập.

Tính chất (2.1.1) nghĩa là giữa hai ảnh chỉ tồn tại duy nhất một quan hệ.

Tính chất (2.1.2) cho biết quan hệ trội đảm bảo tính thứ tự. Tính chất (2.1.3)

đảm bảo nếu hai ảnh thỏa mãn quan hệ trội thì tính thứ tự được đảm bảo với mọi hàm kết nhập (trung bình, trọng số, min, max,…).

Định nghĩa 2.2. (Pareto front) Cho A Q, Pareto front của A (ký hiệu

 

PFQ A ) được định nghĩa như sau:

 def / / : / 

Q Q

PF A  IA  I A I I A

Ví dụ 2.3. (2.3.1) Xét sự quan hệ của Ví dụ 2.1, PFQ  Q o o2, 3, bởi vì:

Tập PFQ Q thỏa mãn Định nghĩa 2.2 do o2 o3 và o3 o2. Nghĩa là các điểm thuộc tập PFQ Q không bị làm trội bởi bất kỳ điểm nào.

(2.3.2) A Q, DQt  I1 DQt  I2 ,  t 1, , T I I1, 2 A PFQ A A

Hình 2.2. Mô tả Pareto front

Xét quan hệ trên ví dụ 2.1, từ Định nghĩa 2.2 ta thu được tập chứa tất cả các điểm không bị làm trội bởi bất kì điểm nào, chúng được gọi là các điểm thỏa hiệp. Tập này cũng có điểm số kết hợp tuyến tính là nhỏ hơn tập còn lại.

Hình 2.2 cho thấy một đường cong bao được các điểm thỏa hiệp được hay chính là Pareto.

Định nghĩa 2.3. (Pareto front đa mức sâu)

2.3.1. Pareto front độ sâu thứ l được định nghĩa như sau:

(i) PFDQ0  

(ii)  \ 11 

def

l l t

Q Q Q j Q

PFD PF   PFD

2.3.2. Giá trị độ sâu:  I Q, depthQ I def l N  l # Q:IPFDQl

Hình 2.3 minh họa hai mức sâu của không gian EQ. Độ sâu mức thứ hai tìm được bằng cách loại bỏ mức thứ nhấ PF1

Hình 2.3. Minh họa hai mức độ sâu PF1 và PF2 của không gian EQ Nhận xét 2.1. PFDQ1 PFQ Q

Ví dụ 2.5. Xét sự quan hệ của Ví dụ 2.1: PFDQ1 PFQ  Q o o2, 3

         

2 1

2 3 1 1

\ \ ,

Q Q Q Q Q Q Q

PFD PF  PFD PF  o o PF o  o

Ví dụ 2.6. Xét sự quan hệ của Ví dụ 2.1

 1, 2, 3, 2 1 2  1 Q o o o o Q o PFDQ o

   

Nếu  Q I I1, 2,...,Ik, I1 Q I2 Q I3 Q... Q Ik thì nghĩa là PFDQl  Il ,  l 1,k. Một số tính chất quan trọng khác của Pareto front đa mức sâu được miêu tả dưới đây:

Mệnh đề 2.3.

(2.3.1)  l k PFD, Ql PFDQk  .

Tính chất này cho biết bất kỳ một ảnh nào chỉ thuộc về một Pareto front duy nhất.

(2.3.2)  l N,l  # Q:PFDQk    , k l và

1 l

t

Q Q

j PFD

   .

Tính chất này nghĩa là một không gian tìm kiếm Q chỉ có một giá trị tối đa Pareto front và hợp của tất cả các Pareto front này chính bằng số ảnh trong không gian đó.

(2.3.3) l 1, I I1, 2PFDQl I1 Q I2I2 Q I1.

Tính chất này nghĩa là hai ảnh thuộc cùng một Pareto front thì không thể so sánh với nhau (không ảnh nào trội hơn ảnh nào).

(2.3.4) Nếu  I PFDQl1,l1 thì tồn tại JPFDQl :J Q I.

Tính chất này nghĩa là một ảnh thuộc về Pareto front mức sâu hơn thì luôn tồn tại một ảnh khác nằm trong mức sâu thấp hơn trội hơn ảnh đó.

(2.3.5) Mục 2 của Định nghĩa 2.3 là hợp lệ. Nếu I Q thì tồn tại duy nhất l,1  l # Q để cho IPFDQl

Nghĩa là mỗi ảnh trong không gian tìm kiếm thì luôn thuộc một độ sâu duy nhất.

(2.3.6) I1 Q I2 depthQ I1 depthQ I2 .

Tính chất này cho biết một ảnh trội hơn ảnh khác thì độ sâu Pareto front của nó sẽ thấp hơn.

(2.3.7)  I Q,depthQ I   k I1,...,IKQ:I1 Q I2 ... Q Ik1 Q Ik I

(2.3.8)  I Q,depthQ I maxp / I1,...,IpQ:I1 Q... Q Ip 1

Định lý 2.1 (Đường trội) Mọi điểm I trong không gian tìm kiếm EQ, luôn tồn tại ít nhất depthQ(I) - 1 các điểm trong EQ là liên quan tốt hơn I theo các đặc trưng mức thấp.

Định nghĩa 2.4. (Hợp Pareto) Cho    và L là độ sâu của Pareto front, hợp Pareto của tập con  (ký hiệu PFUL EA ) được định nghĩa như sau:

 

A,1 def

l

L A a

a l L

PFU E U PFD

  



Mệnh đề 2.4. " E è E " ẻA , L N+ : E èA PFUL(EA).

Định nghĩa 2.5. (Bao của Pareto front) Cho " A Ì E và Q e>0, bao của Pareto front (ký hiệu PFBQ,e( )A ) được định nghĩa như sau

( ) { ( ) 0( ) }

, / 0 : t ,1 ,

Q Q I

PFB e A = Iẻ A $ ẻI PF A D I < e Ê Êt T Tẻ N* , (2.7) Mệnh đề 2.5. PF AQ( )Ì PFBQ,e( )A Ì A