Thật vậy. Vxe HC Ud(n,A). Đặt
x=e+ 5 Zuờg
i>j
Theo định lý 1.1, vỡ x thuộc H nờn tất cả cỏc tranvecstion tĂ(ŠĂ) cũng
thuộc H. Suy ra ấĂ e Gj , VI > J. Do đú
x=e+ é 6uey ee+M(G)
i>J
Kộo theo
xeLn(e+M(ứ)) =ẽI(ứ)
Ta tiếp tục chứng minh chiều ngược lại
I(ứ)cH Thật vậy, Vx e I(ỉ), ta cú xce+M(ơứ) Do ơ là một N-lưới nờn xXx=c+ 3 6uờy, ẫj 6 Gj, Vỡ >j i>j
Vỡ šĂ ơu nờn ta cú được
ty) e H, Vỡ > j __ Mặt khỏc ta cú sự phõn tớch __ Mặt khỏc ta cú sự phõn tớch
x =12i(62i) tai(62n) ta2(G32)...tni(Gn1)...Ean-1(Šnn.Ă) 6 H Do đú I(ơứ) CH. Vậy H =ẽI(ứ)s
ơ
ểA TỬ CỦA CÁC NHểM CON LƯỚI PARABOLIC
*,
Đ 7. CHUẨN H
Giả sử A là vành cú hạng ổn định bằng 1 thỏa điều kiện là mọi
phần tử của nú đều cú thể phõn tớch được thành tổng của một số hữu
hạn cỏc phần tử khả nghịch, riờng phần tử đơn vị được phõn tớch
thành tổng hai phần tử khả nghịch; + là một D-lưới bậc n trong A. Khi
đú mọi nhúm con parabolic của I{(+) đều tự chuẩn húa và nhúm con lưới B,(t) là abnormail trong I(t).
Bổ để 7.1
Cho n > 3 và cho I(ỉ), L(G') là những nhúm con lưới parabolic
trong T(t). Nếu xI(Gứ).x'cTI(œ'), Vx e T(t) /hỡ x € I(G@'ˆ) và ảo đú
I(@) CI(ỉ'`).
Chứng minh
Vỡ I(G@), I(G@') là cỏc nhúm con parabolic của I'{+) nờn ta cú B(QcCI(G@) CTẽIt(t)
B(QcI(ứ)cIt(%
Lấy x e I({9 = In G(t), theo định lý (chương I,Đ2) về sự phõn tớch
tam giỏc, ta cú
X=u.v.w.d
trong đú u, w, d e B(t); v là ma trận tam giỏc đơn vị dưới.
Vỡu, w, de B(+) nờn u,w,declt(ứ),It(@') Mặt khỏc v=u'xd!w' Mà x.I(ỉ).x' e T(G') nờn v.T(ứ).v'=w1.x.d}.w.T(ứ).w.d.x”.u e I(G@')
Do v là ma trận tam giỏc đơn vị dưới nờn ta cú thể viết
V=a;a¿;... an, aĂ € T; (=2, 3,..., n)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng a, e I(G'), Vr = 2, 3,..., n.
Thật vậy, khi r = 2, ta cú a¿ = tạ(¿Ă) e I(G'). Thật vậy, ta dễ dàng
dz(6)dĂ(6”).v.dĂ(6)da(9”).v” = tạ(ễẫaĂ6)v;
với v¿ eT;T...Tạ.. Nhưng do d6)d;(@?)-e T(ỉ) nờn
v.d;(6)d;(6?).v1 eT(ứ') -_ Do đú -_ Do đú taĂ(Đẫ›Ăé)v: cl'(G'”) Vỡ T(œ')=Ge(e+M(ỉ')) nờn 0ẫ2Ă0 cơaĂ ` * ˆ - mà 9A nờn ấ2Ă e ỉ';Ă. Do đú
tại(G2Ă) cơ” s ơ———-...
Tiếp theo, giả sử Vk, 2 < k <r, ta cú ay e I{(G'}. Ta sẽ chứng minh
a:cI(@)
Thật vậy, xột vỶ = a;a;.Ă... an. Ta cú
v'.I(ứ).v'"=az}...a,Ă.v.T(Gứ).vè.a,Ă...aae I(G°) Ta cú thể viết a, dưới dạng Ta cú thể viết a, dưới dạng ay=e€+ 3 _ẫnờey › Cn cA j<r = (e + ẫzi€ri)(â + ẫz2â;2)...(â + ấrz-1€rr-1) = tri(ấn)-tra(z2)...tcr 1(Gr r1)
Gọi dị = d;(6).d;(6”), với 9, ỉ” e A”. Theo bổ để 1.1, với s < r ta cú [da. ,v'] = t„(Š „(9 -1)).y , y € T..Ă... Tạ [da. ,v'] = t„(Š „(9 -1)).y , y € T..Ă... Tạ
Với [dạ;,v'] = dạ(6)d,(8)v?d,(6)dạ(6”)v”” eT(ứ°).Do ˆ. d;(6)d,(0”) e T(ứ°), v'd,(0)d„(đ)v”! eT(œ°) d;(6)d,(0”) e T(ứ°), v'd,(0)d„(đ)v”! eT(œ°) và do I(G')=Gơ(e+M(ỉ`)) nờn ta cú (9 -l) € G”
Vỡ é -1 khả nghịch nờn ẫ,; ceỉ”„. Suy ra
t„(„) € 1(G”) Từ đú đưa đến Từ đú đưa đến
a:c€I(ứ'),Vr=2,3,...,n Do đú v = a¿ 4... an, aĂ € LG”). Suy ra
x=u.v.w.d e[I(@) Khi ơec I(G`) sẽ kộo theo l'(ỉứ) c L(@'). Thật vậy, Vy elI'(ứ), ta cú
xyx'cT(ơ)
Suy ra y= x1 (xyx”) xe€]l(ứ))).
Đỡnh lý 7.1
Giả sử A là vành cú hạng ổn định bằng ] sao cho mọi phần tử của nú đều cú thể phõn tớch thành tổng của hữu hạn cỏc phõn tử khả
nghịch; cho t là một D-lưới bất kỳ bậc n >3 trong A. Khi đú mọi nhúm
con lưới parabolic của T{t) đều trựng với chuẩn húa tử của nú trong
TỊn).
Chứng minh
Gọi I(Gỉ) là một nhúm con lưới parabolic của I'{%). Và gọi
NrŒ(G)) = {x eT@) Ix.T(9.x! cT(ứ)}
là chuẩn húa tử của I(ỉ) trong T().
Khi đú, íx œ Nr(I[(Gỉ)), ta cú
x.I(ứ).x'cT(ứ)
Suy ra x e I(ỉ) theo bổ để 5.1. Do đú ta sẽ cú Nr{(ứ)) cI(ứ) Nr{(ứ)) cI(ứ) Vậy T(ỉ) = Nr(T(ứ))e
Đỡnh lý 7.2
Giả sử A là vành cú hạng ổn định bằng 1 sao cho mọi phần tử của `
nghịch; cho t là một D-lưới bất kỳ bậc n >2 trong A. Khi đú nếu hai
nhúm con lưới parabolic bất kỳ của I(t) mà khỏc nhau thỡ sẽ khụng
hiờn hợp nhau. _
cú T vÀ địngh _
_—— Chứng minh
Giả sử cú hai nhúm con lưới parabolic I(ỉ), I(G°) của I(+) liờn hợp nhau. Tức là 3 x, y, 134 MT) ĐEN hợp nhau. Tức là 3 x, y, 134 MT) ĐEN y TẢ Mng lại đú, . Vớin>3, theo bổ để 7.1, ta cú X,V€ T@)- ơ cựng với ơ T(Gứ) cT(G') _ và I(ứ')cT(ứ) Do đú T(ứ) =I(œ) . Vớin=2 Giả sử x cú sự phõn tớch X =Xụ.Xv.Xự.Xa = Xụ.fai(Œ).Xw.Xa trong đú Xụ, Xự, Xa e B(t) e ẽ(G'. vỡ x.I(ứ).x =T(ứ') nờn xI(ứ).x'cTI(ứ) xi (ứ).x' = Xutai(Œ)XvXa T(ứ)xz'xv tạ\(œ)Xxy!c T(@°) Suy ra taĂ(œ).I'(G).taĂi(-œ) C I(ỉ`).
Vz œ I(ỉ), ta cũng cú sự phõn tớch
. Z.= 7u.Z4.Zw-Za = Zu-t21() Zv-Za trong đú Z„, Zw, Za € B(t) eI'(G”)
Mặt khỏc
tạ(B) = tạ(œ+B-œ) = tại(œ)tai()tai(@œ) 6 I(ỉ”) Từ đú suy ra z I(G@'). Do đú
Tương tự ta cũng chứng minh được I'(ỉ') c I'(ứ).
Vậy T(G@) = T(G') và kết luận của định lý là đỳnge
Từ định lý 7.1 và định lý 7.2, ta cú thể phỏt biếu: Định lý 7.3
Giả sử A là vành cú hạng ổn định bằng 1 sao cho mọi phần tử của
nú đều là tổng của hữu hạn cỏc phần tử khả nghịch; cho t là một D-
lưới bất kỳ bậc n >3 trong A. Với giả thiết đú, B„(+) là một nhúm con
abnormal của nhúm lưới T{ ù).