Ta có: OAB=O AC' (hai góc đối đỉnh) Mặt khác: AOB cân tại O ( vì OA = OB) nên OBA=OAB
Tương tự: AO'C cân tại O’ (vì O’A = O’C) nên O'AC=O'CA
Suy ra: OBA=O'CA (là hai góc so-le trong) nên OB // O’C (đpcm)
Bài 2.
a) Qua A dựng tiếp tuyến chung d của hai đường tròn (O) và (O’) cắt BC tại M
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì MB MA
MB MA MC MC MA
=
= =
=
M là tâm đường tròn đường kính BC và MA là bán kính (1)
Mặt khác d là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên d⊥OO' hay MA⊥OO' (2)
Từ (1) và (2) suy ra OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC b) Gọi I là trung điểm của OO’
I là tâm đường tròn đường kính OO’
Ta có có MO và MO’ là 2 tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA
OMO'=90o M thuộc đường tròn đường kính OO’
nên IM là bán kính đường tròn đường kính OO’
Vì OB // O’C (cùng vuông góc với BC) nên tứ giác OBCO’ là hình thang
[TIÊU ĐỀ PHỤ CỦA TÀI LIỆU] TNC
72
Do đó IM là đường trung bình của hình thang OBCO’
IM // OBIM ⊥BC
Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ (đpcm)
c) Theo trên ta có ' 90o
OMO = hay OMO’ vuông tại M có đường cao MA Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
2 2
. ' 9.4 36( )
MA = AO AO = = cm MA=6(cm) Lại có: BC = 2MB = 2MA = 12cm
Vậy BC = 12cm Bài 3.
a) Vì OB // O’C
nên BOA=CO'I (hai góc ở vị trí đồng vị) 'C 180o
BOA AO
+ =
Mặt khác AOBcân tại O và AO C’ cân tại O’
nên OBA=A1 và O'CA= A2 Do đó
1 2
180 180 '
2 2
o o
AOB AO C
A +A = − + − 360 ( ' )
2
o− AOB+AO C
= 360 180
2 90
o o
− o
= =
Vậy BAC=90o
b) Xét IOB có O’C // OB, theo định lí Ta-lét ta có:
' ' 1
3. ' 3( ')
3 O I O C
OI O I OI OI OO
OI = OB = = = −
2OI 3.OO' 3.4 OI 6cm
= = =
Vậy OI = 6cm Bài 4.
1 2
I C
O A O'
B
2 1
1
2 K
H
Q
P
N
O A O'
M
[TIÊU ĐỀ PHỤ CỦA TÀI LIỆU] TNC
73
a) Vì M, P đối xứng qua OO’
nên OO’ là đường trung trực của MP
Suy ra OM = OP, khi đó P thuộc (O) và MP⊥OO' (1) Tương tự ta cũng có: Q thuộc (O’) và NQ⊥OO' (2) Từ (1) và (2) suy ra MP // NQ
Do đó tứ giác MNPQ là hình thang
Vì OO’ là đường trung trực của MP và NQ
nên OO’ đi qua trung điểm hai đáy của hình thang MNQP nên OO’ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang MNQP nên MNQP là hình thang cân.
b) OMP cân tại O (OM = OP) nên M1=P1 Lại có MNQP là hình thang cân nên M2 =P2
Vì MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên MN⊥OM hay OMN=90o
1 2 1 2 90o
P P M M
+ = + =
Suy ra OPQ=90o nên PQ⊥OP mà P thuộc (O) nên PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Vậy PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
c) Qua A dựng tiếp tuyến chung của (O) và (O’) cắt MN, PQ lần lượt lại H, K Theo tính chất giao điểm của tiếp tuyến ta có: HM = HA = HN và KP = KA = KQ
Nên H, K lần lượt là trung điểm của MN và PQ suy ra HK là đường trung bình của hình thang MNQP
1( )
HK 2 MP NQ
= + MP+NQ=2.HK
Lại có: MN + QP = 2 (HM + KP) = 2.(HA + KA) = 2.HK Do đó: MN + PQ = MP + NQ (đpcm)
Bài 5.
a) Tự chứng minh (Chứng minh tương tự bài tập 3)
b) Qua A dựng tiếp tuyến chung của (O) và (O’) cắt BC tại MMB = MA = MC hay M là trung điểm của BC
Lại có MO và MO’ là 2 tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA
[TIÊU ĐỀ PHỤ CỦA TÀI LIỆU] TNC
74
d M
O A O'
B
C
I E
D
K C
B O1 A
O2
OMO'=90o
’
OMO vuông tại M có MA là đường cao
nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
2 . ' R .r
MA = AO AO = MA= R .r
BC = 2.MA = 2 R .r Vậy BC = 2 R .r
c) Ta có: O’C // OB (Cùng vuông góc với BC) (1) OBA=OAB (Vì OBA cân tại O)
và O'DA=O AD' (Vì O DA' cân tại O’)
Lại có: OAB=O AD' (hai góc đối đỉnh) nên OBA=O'DA Suy ra O’D // OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra C, O’, D thẳng hàng Bài 6.
a) ODE cân tại O (OD = OE) có OK⊥DE nên K là trung điểm của DE
Tứ giác BDCE có giao điểm K của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường nên BDCE là hình bình hành.
Lại có: BC⊥DE nên BDCE là hình thoi b)
ABDnội tiếp đường tròn bán kính AB nên ADB=90o AD⊥BD
AICnội tiếp đường tròn bán kính AC nên AIC=90o AI⊥CE
Tứ giác BDCE là hình thoi nên BD // CE AI⊥BD
D, A, I thẳng hàng
c) Để chứng minh KI là tiếp tuyến của (O2) ta chứng minh KI ⊥O I2
DIEvuông tại I có IK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IK = KD = KE
[TIÊU ĐỀ PHỤ CỦA TÀI LIỆU] TNC
75
D
C B
A
O1
O2
Hình a
C B D
A
O1
O2
Do đó: KIA=KDA (1)
Mặt khác O IA2 cân tại O2 (O2A = O2I) nên O IA2 =O AI2 =DAK (2) Từ (1) và (2) suy ra: KIA O IA+ 2 =KDA DAK+ =90o
2 2 90o
O IK KIA O IA
= + = KI ⊥O I2 (đpcm)
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O2)