Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 29
2.3 Sự hội tụ mạnh của phương pháp
Trước hết, ta có mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.3.1. Dãy {xn} trong (2.9) là hoàn toàn xác định.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.1.1 và Mệnh đề 1.2.33 suy ra F(Ti) và GM EP(Θj, ϕj,Ψj), j ∈ {1,2, . . . M} là các tập con lồi và đóng của E.
Ta chỉ ra Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E. Rõ ràng C0 và Q0 là các tập lồi và đóng. Giả sử Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E với n ≥ 0 nào đó. Ta viết lại tập Cn+1 ở dạng sau
Cn+1 =Cn∩ {z ∈ E : Df(z, un) ≤αnDf(z, x0) + (1−αn)Df(z, xn)}
=Cn∩ {z ∈ E : hαn∇f(x0) + (1−αn)∇f(xn)−f(un), zi
≤αnh∇f(x0), x0i+ (1−αn)h∇f(xn), xni
−αnf(x0)−(1−αn)f(xn) +f(un)− h∇f(un), uni.
Do đó, Cn+1 là tập con lồi và đóng của E.
Tiếp theo, từ
Qn+1 =Qn∩ {z ∈ E : h∇f(x0)− ∇f(xn), zi ≤ h∇f(x0)− ∇f(xn), xni, suy ra Qn+1 cũng là tập con lồi và đóng củaE. Như vậy, bằng quy nạp toán học, ta nhận được Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E.
Bây giờ, để kết thúc chứng minh của mệnh đề này, ta sẽ chỉ ra rằng S ⊂ Cn∩Qn với mọi n ≥0. Thật vậy, dễ thấy rằngS ⊂ C0∩Q0. Giả sử S ⊂ Cn∩Qn với n ≥ 0.
Lấy bất kỳ p∈S, từ (2.9) và Bổ đề 2.1.1, ta có Df(p, un) =Df(p,ResfΘ
M,ϕM,ΨM ◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn))
≤ Df(p,ResfΘ
M−1,ϕM−1,ΨM−1◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn)) ...
≤ Df(p, yn) (2.10)
−Df(ResfΘ
M,ϕM,ΨM ◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), ResfΘ
M−1,ϕM−1,ΨM−1
◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn))
−Df(ResfΘ
M−1,ϕM−1,ΨM−1 ◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), ResfΘ
M−2,ϕM−2,ΨM−2
◦. . .◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn)) ...
−Df(ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), yn).
Tiếp theo, ta có
Df(p, yn) =Df(p,∇f∗(αn∇f(x0) + (1−αn)∇f(zn)))
≤αnDf(p, x0) + (1−αn)Df(p, zn). (2.11) Ta đánh giá Df(p, zn), từ (2.9) và tính chất của Ti, ta có
Df(p, zn) =Df(p,∇f∗(βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn)))
≤ βn
N
X
i=1
γi,nDf(p, Ti(xn)) + (1−βn)Df(p, f(xn))
≤ βn N
X
i=1
γi,nDf(p, xn) + (1−βn)Df(p, xn)
≤ Df(p, xn). (2.12)
Từ (2.10)–(2.12), ta nhận được
Df(p, un) ≤ αnDf(p, x0) + (1−αn)Df(p, xn).
Điều này suy ra p∈Cn+1 và do đó S ⊂Cn+1.
Từ xn = projfCn∩Qn(x0) và Mệnh đề 1.2.28, suy ra
h∇f(x0)− ∇f(xn), xn−vi ≥0, ∀v ∈Cn∩Qn. Do đó, từ p∈S ⊂Cn∩Qn, ta thu được
h∇f(x0)− ∇f(xn), xn −pi ≥0,
tức là, p ∈ Qn+1 và vì vậy S ⊂ Qn+1. Do vậy, ta nhận được S ⊂ Cn+1∩Qn+1. Bằng quy nạp toán học, ta nhận được S ⊂ Cn ∩Qn với mọi n ≥0.
Vậy Cn∩Qn là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E với mọin ≥0, và vì vậy dãy {xn} là hoàn toàn xác định.
Mệnh đề 2.3.2. Trong (2.9), dãy {xn} bị chặn.
Chứng minh. Vìh∇f(x0)− ∇f(xn), v−xni ≤ 0với mọi v ∈ Qn+1, nên từ Mệnh đề 1.2.28 suy ra xn = projfQ
n+1x0. Từ xn+1 = projfC
n+1∩Qn+1x0 ∈ Qn+1, ta có Df(xn, x0)≤ Df(xn+1, x0). (2.13) Lấy p∈ ∩Ni=1F(Ti)
∩ ∩Mj=1GM EP(Θj)
∈ Qn+1. Từ Mệnh đề 1.2.28, ta có Df(p,projfQ
n+1x0) +Df(projfQ
n+1x0, x0) ≤Df(p, x0)
và do đó
Df(xn, x0) ≤Df(p, x0)−Df(p, xn) ≤ Df(p, x0).
Suy ra {Df(xn, x0)} bị chặn. Từ Mệnh đề 1.2.21, suy ra dãy {xn} bị chặn và vì vậy các dãy {Ti(xn)}, {yn}, {zn} cũng bị chặn.
Mệnh đề 2.3.3. Trong (2.9), {xn} là một dãy Cauchy.
Chứng minh. Theo chứng minh của Mệnh đề 2.3.2, ta biết rằng {Df(xn, x0)}bị chặn. Từ (2.13), suy ra giới hạn limn→∞Df(xn, x0) là tồn tại và hữu hạn. Từ xm ∈Qm ⊆Qn+1 với mọi m > nvà Mệnh đề 1.2.28, ta có
Df(xm,projQn+1x0) +Df(projfQ
n+1x0, x0) ≤Df(xm, x0) và do đó Df(xm, xn) ≤Df(xm, x0)−Df(xn, x0). Từ đó, ta có
n→∞lim Df(xm, xn)≤ lim
n,m→∞(Df(xm, x0)−Df(xn, x0)) = 0. (2.14) Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 và (2.14), ta nhận được
n→∞lim kxm−xnk= 0. (2.15) Do đó {xn} là một dãy Cauchy và đặc biệt limn→∞kxn+1−xnk = 0.
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp{xn}xác định bởi (2.9) được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 2.3.4. Nếu limn→∞αn = 0 và lim infn→∞(1−βn)βn >0, thì dãy {xn} xác định bởi (2.9) hội tụ mạnh về x† = projfSx0.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.2,{xn}là một dãy Cauchy. Do đó, xn → q ∈ C.
Từ Mệnh đề 1.2.16 và kxn+1−xnk →0, ta nhận được
n→∞lim k∇f(xn+1)− ∇f(xn)k= 0. (2.16) Vì xn+1 ∈Cn+1 ⊂ Cn, nên ta có
Df(xn+1, un) ≤ αnDf(xn+1, x0) + (1−αn)Df(xn+1, xn).
Từ limn→∞αn = 0 và limn→∞Df(xn+1, xn) = 0, suy ra dãy {Df(xn+1, un)} bị chặn và
n→∞lim Df(xn+1, un) = 0.
Từ Nhận xét 1.2.23 và Mệnh đề 1.2.24, ta nhận được
n→∞lim kxn+1−unk= 0. (2.17) Do đó
n→∞lim k∇f(xn+1)− ∇f(un)k= 0. (2.18) Từ đánh giá kxn−unk ≤ kxn−xn+1k+kxn+1−unk và kxn+1−xnk →0, ta nhận được
n→∞lim kxn −unk= 0, vì vậy un → q khi n→ ∞ và
n→∞lim k∇f(xn)− ∇f(un)k = 0. (2.19) Từ định nghĩa của khoảng cách Bregman, ta có
Df(p, xn)−Df(p, un) =f(p)−f(xn)− h∇f(xn), p−xni
ưf(p) +f(un) +h∇f(un), pưuni
=f(un)ưf(xn) +h∇f(un), pưuni
− h∇f(xn), p−xni
=f(un)−f(xn) +h∇f(un), xn −uni +h∇f(un)− ∇f(xn), p−xni, với mỗi p∈ S. Từ (2.17)-(2.19), ta nhận được
n→∞lim (Df(p, xn)−Df(p, un)) = 0. (2.20) Mặt khác, với bất kỳ p∈ S, từ (1.13) và (2.12), ta có
Df(un, yn)≤ Df(p, yn)−Df(p, un)
= Df(p,∇f∗(αn∇f(x0) + (1−αn)∇f(zn)))−Df(p, un)
≤ αnDf(p, x0) + (1−αn)Df(p, zn)−Df(p, un)
≤ αnDf(p, x0) + (1−αn)Df(p, xn)−Df(p, un)
= αn(Df(p, x0)−Df(p, xn)) +Df(p, xn)−Df(p, un). (2.21) Do đó, từ (2.20) và (2.21), suy ra Df(un, yn) → 0 và vì vậy ta nhận được Df(p, yn) −Df(p, un) → 0 khi n → ∞. Hơn nữa, từ Df(un, yn) → 0, suy ra
limn→∞kun−ynk= 0 và do đó limn→∞k∇f(un)− ∇f(yn)k= 0. Từun → q, ta thu được yn → q khi n → ∞.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra q ∈ S. Đặt u1,n = ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), ui,n = ResfΘ
i,ϕi,Ψi◦. . . ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), i= 2,3, . . . M −1, khi đó ta có un = ResfΘ
M,ϕM,ΨM(uM−1,n).
Từ (2.10) và Df(p, yn)−Df(p, un) →0, suy ra
Df(u1,n, yn) → 0, (2.22)
Df(ui+1,n, ui,n) → 0, với mọi i = 1,2, . . . , M −2, (2.23)
Df(un, uM−1,n)→ 0. (2.24)
Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 và un → q, ta nhận được
n→∞lim ui,n =q, (2.25)
với mọi i = 1,2, . . . , M −1.
Hơn nữa, từ (2.22)–(2.24), ta cũng nhận được
k∇f(u1,n)− ∇f(yn)k →0, (2.26)
k∇f(ui+1,n)− ∇f(ui,n)k →0, với mọi i = 1,2, . . . , M −2, (2.27)
k∇(un)− ∇f(uM−1,n)k →0. (2.28)
Bây giờ, từ u1,n = ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(yn), ta có
Θ1(u1,n, y) +hΨ1yn, yưu1,ni+ϕ1(y) +h∇f(u1,n)ư ∇f(yn), yưu1,ni ≥ϕj(u1,n), với mọi y ∈C.
Từ điều kiện (A2), ta nhận được Θ1(y, u1,n) ≤ −Θ1(u1,n, y)
≤ hΨ1yn, yưu1,ni
+ϕ1(y)ưϕ1(u1,n) +h∇f(u1,n)ư ∇f(yn), yưu1,ni,
với mọi y ∈C. Do đó ta nhận được
Θ1(y, u1,n) ≤ hΨ1yn, yưu1,ni+ϕ1(y)ưϕ1(u1,n) +h∇f(u1,n)ư ∇f(yn), yưu1,ni, với mọi y ∈C.
Từ u1,n → q, (2.26), tính liên tục của Ψ1, tính nửa liên tục dưới yếu của ϕ1 và Θ1(ã,ã) theo biến thứ hai, ta nhận được
Θ1(y, q) +hΨ1q, q−yi+ϕ1(q)−ϕ1(y) ≤0, với mọi y ∈C.
Với mỗi t thỏa mãn 0≤ t ≤ 1 và y ∈ C, đặt yt =ty + (1−t)q. Vì y ∈ C và q ∈ C, nên ta có yt ∈ C và vì vậy Θ1(yt, q) +hΨ1q, q−yti+ϕ1(q)−ϕ1(yt) ≤0.
Do đó, ta có
0 = Θ1(yt, yt) +hΨ1q, yt−yti+ϕ1(yt)−ϕj(yt)
≤ tΘ1(yt, y) + (1−t)Θ1(yt, q) +thΨ1q, y−yti+ (1−t)hΨ1q, q−yti +tϕ1(y) + (1−t)ϕ1(q)−ϕj(yt)
≤ t[Θ1(yt, y) +hΨ1q, y−yti+ϕ1(y)−ϕ1(yt)].
Suy ra Θ1(yt, y) +hΨ1q, y−yti+ϕ1(y)−ϕ1(yt) ≥ 0 với mọi t > 0. Từ đó, khi cho t→ 0+, ta có
Θ1(q, y) +hΨ1q, y−qi+ϕ1(y)−ϕ1(q) ≥0, với mọi y ∈C. Do vậy, ta nhận được q ∈ GM EP(Θ1, ϕ1,Ψ1).
Từ ui,n = ResfΘ
i,ϕi,Ψi(ui−1,n) với mọi i = 2,3, . . . , M −1 và un = ResfΘ
M,ϕM,ΨM(uM−1,n),
bằng lập luận tương tự như trên, ta cũng nhận được q ∈GM EP(Θi, ϕi,Ψi) với mọi i = 2,3, . . . , M. Do đó, ta có q ∈ ∩Mj=1GM EP(Θj, ϕj,Ψj).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra q ∈ ∩Ni=1F(Ti). Trước hết, ta có
k∇f(xn)− ∇f(yn)k=k∇f(xn)− ∇f(∇f∗(αn∇f(x0) + (1−αn)∇f(zn)))k
=k∇f(xn)−(αn∇f(x0) + (1−αn)∇f(zn))k
=kαn(∇f(xn)− ∇f(x0)) + (1−αn)(∇f(xn)− ∇f(zn))k
≥αnk∇f(zn)− ∇f(x0)k − k∇f(xn)− ∇f(zn)k.
Điều này suy ra
k∇f(xn)− ∇f(zn)k ≤ αnk∇f(zn)− ∇f(x0)k+k∇f(xn)− ∇f(yn)k. (2.29) Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên và từ limn→∞αn = 0, ta nhận được
n→∞lim k∇f(xn)− ∇f(zn)k = 0. (2.30) Vì ∇f liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E, nên
n→∞lim kxn −znk= 0.
Từ Mệnh đề 1.2.24, suy ra
n→∞lim Df(zn, xn) = 0. (2.31) Lấy w ∈S. Từ đồng nhất thức ba điểm (1.6) và (2.30)-(2.31), ta có
|Df(w, xn)−Df(w, zn)|= |Df(w, zn)D+Df(zn, xn)
+h∇f(zn)− ∇f(xn), w−zni −Df(w, zn)|
= |Df(zn, xn) +h∇f(zn)− ∇f(xn), w−zni|
≤ Df(zn, xn) +kw−znkk∇f(zn)− ∇f(xn)k
→ 0.
Điều này suy ra
n→∞lim[Df(w, xn)−Df(w, zn)] = 0. (2.32) Đặt r = max{supn{k∇f(xn)k},maxi=1,2,...,N{supn{k∇f(Ti(xn))k}}} < ∞.
Từ Mệnh đề 1.2.25 và (1.11), ta có Df(w, zn) =Df(w,∇f∗(βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn)))
=Vf(w, βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn))
=f(w)− hβn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn), wi +f∗(βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn))
≤f(w)− hβn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn), wi
+βn N
X
i=1
γi,nf∗(∇f(Ti(xn))) + (1−βn)f∗(∇f(xn))
−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k)
=βn
N
X
i=1
γi,n(f(w)− h∇f(Ti(xn)), wi+f∗(∇f(Ti(xn)))) + (1−βn)(f(w)− h∇f(xn), wi+f∗(∇f(xn)))
−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k)
=βn N
X
i=1
γi,nVf(w,∇f(Ti(xn))) + (1−βn)Vf(w,∇f(xn))
−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k)
=βn
N
X
i=1
γi,nDf(w, Ti(xn)) + (1−βn)Df(w, xn)
−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k)
≤βn
N
X
i=1
γi,nDf(w, xn) + (1−βn)Df(w, xn)
−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k)
=Df(w, xn)−(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k), với mọi j = 1,2, . . . , N. Suy ra
(1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k) ≤ Df(w, xn)−Df(w, zn), kết hợp với (2.32), ta nhận được
n→∞lim (1−βn)βnγj,nρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k) = 0, với mọi j = 1,2, . . . , N.
Từ giả thiết lim infn→∞βn(1−βn) >0, ta có
n→∞lim ρr(k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k) = 0, ∀j ∈ {1,2, . . . , N}.
Từ tính chất của hàm ρr, suy ra
n→∞lim k∇f(xn)− ∇f(Tj(xn))k= 0, ∀j ∈ {1,2, . . . , N}.
Vì ∇f∗ liên tục đều trên các tập con bị chặn của E∗, nên ta nhận được
n→∞lim kxn−Tj(xn)k= 0, ∀j ∈ {1,2, . . . , N}. (2.33) Do Tj, j = 1,2, . . . , N, là các ánh xạ không giãn tương đối yếu, nên từ xn → q và (2.33), ta thu được q ∈ ∩Ni=1F(Ti). Suy ra dãy {xn} hội tụ mạnh về q ∈S.
Cuối cùng, ta chỉ ra q = x† = projfS(x0). Vì x† = projfS(x0) ∈ S, nên từ xn+1 = projfC
n+1∩Qn+1x0 và x† ∈ S ⊂Cn+1∩Qn+1, ta có Df(xn+1, x0)≤ Df(x†, x0).
Do đó, từ Mệnh đề 1.2.29, ta nhận được xn → x† khi n → ∞. Do đó q = x†. Định lý được chứng minh.
Khi αn = 0 với mọi n, ta nhận được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.3.5. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈C, C0 =Q0 =C và zn =∇f∗(βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn)), un = ResfΘ
M,ϕM,ΨM ◦. . .◦ResfΘ
2,ϕ2,Ψ2◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(zn), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df(z, un) ≤Df(z, xn)},
Qn+1 ={z ∈Qn : h∇f(x0)− ∇f(xn), z −xni ≤ 0}, xn+1 = projfC
n+1∩Qn+1x0, ∀n≥ 0, (2.34)
trong đó {βn} ⊂ (0,1) và {γi,n} ⊂ [a, b] ⊂ (0,1) sao cho PN
i=1γi,n = 1, với mọi i = 1,2, . . . , N. Nếu lim infn→∞βn(1 −βn) > 0, thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x† = projfSx0.
Tiếp theo ta có kết quả dưới đây để xấp xỉ nghiệm của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Định lý 2.3.6. Giả sử Θj : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4), ϕj : C → R là các hàm lồi và Ψj : C → E∗ là ánh xạ liên tục, đơn điệu j = 1,2, . . . M. Giả sử S = ∩Mj=1GM EPΘj, ϕj,Ψj) là tập khác rỗng. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈C, C0 =Q0 =C và
un = ResfΘ
M,ϕM,ΨM ◦. . .◦ResfΘ
2,ϕ2,Ψ2◦ResfΘ
1,ϕ1,Ψ1(xn), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df(z, un) ≤Df(z, xn)},
Qn+1 ={z ∈Qn : h∇f(x0)− ∇f(xn), z −xni ≤ 0}, xn+1 = projfC
n+1∩Qn+1x0, ∀n≥ 0. (2.35)
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về x† = projfSx0.
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.3.5 với Ti(x) = x với mọi i = 1,2, . . . , N, ta nhận được chứng minh của định lý này.
Ta có định lý dưới đây cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu.
Định lý 2.3.7. Cho Ti : C → C, i = 1,2, . . . , N là một họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu. Giả sử S =∩Ni=1F(Ti) là tập khác rỗng. Cho {xn} là dãy được xác định bởi x0 ∈C, C0 =Q0 =C và
zn = ∇f∗(βn
N
X
i=1
γi,n∇f(Ti(xn)) + (1−βn)∇f(xn)), Cn+1 ={z ∈Cn :Df(z, zn)≤ Df(z, xn)},
Qn+1 ={z ∈Qn : h∇f(x0)− ∇f(xn), z−xni ≤0}, xn+1 = projfC
n+1∩Qn+1x0, ∀n ≥0. (2.36)
Khi đó dãy {xn} hội tụ mạnh về x† = projfSx0.
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.3.5 với Θj(x, y) = 0, ϕj(x) = 0 và Ψj(x) với mọi j = 1,2, . . . , N, ta nhận được chứng minh của định lý này.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
Một số tính chất đặc trưng của không gian không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hoàn toàn;
Toán tử Bregman không giãn trong không gian Banach;
Các kết quả nghiên cứu của Darvish V. và các cộng sự trong tài liệu [14]
về một phương pháp chiếu cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn tương đối yếu và hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Ambrosetti A., Prodi G. (1993),A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge.
[3] Alber Y.I. (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G. (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Mar- cel Dekker, New York, pp. 15–50.
[4] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L. (2001), “Essential smooth- ness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun. Contemp. Math., 3, pp. 615–647.
[5] Blum E., Oettli W. (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math. Student, 63, pp. 123–145.
[6] Bonnans J.F., Shapiro A. (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York.
[7] Browder F.E. (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA., 56, pp. 1080–1086.
[8] Butnariu D., Iusem A.N. (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Pub- lishers, Dordrecht.
[9] Butnariu D., Resmerita E. (2006), “Bregman distances, totally convex func- tions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr.
Appl. Anal., 2006, pp. 1–39.
[10] Censor Y., Lent A. (1981), “An iterative row-action method for interval convex programming”, J. Optim. Theory Appl., 34, pp. 321–353.
[11] Ceng L.C., Yao J.C. (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium problems and fixed point problems”, J. Comput. Appl. Math., 214, pp. 186–
201.
[12] Censor Y., Reich S. (1996), “Iterations of paracontractions and firmly non- expansive operators with applications to feasibility and optimization”, Op- timization, 37, pp. 323–339.
[13] Darvish V. Strong convergence theorem for generalized mixed equilibrium problems and Bregman nonexpansive mapping in Banach spaces. Opsearch.
2016;53(3):584–603.
[14] Darvish V., Qin X., Tuyen T.M., Yao J.C. (2019), “A Strong convergence theorem for a system of generalized mixed equilibrium problems and a fi- nite family of bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 20(9), pp. 1853-1873.
[15] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Stud. Adv. Math., 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.
[16] Kohsaka F., Takahashi W. (2005), “Proximal point algorithms with Bregman functions in Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 6, pp. 505–523.
[17] Martin-Marquez V., Reich S., Sabach S. (2013), “Bregman strongly nonex- pansive operators in reflexive Banach spaces”, J. Math. Anal. Appl., 400, 597–614.
[18] Naraghirad E., Yao J.-C. (2013), “Bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Applications 2013:
141.
[19] Reich S. (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Opera-