ành lỵ 2.3.1. GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (B1),(B2), (B3) v (H1) ữủc thọa mÂn, f l song h m giÊ ỡn iằu trản C v f(., y) lóm vợi mội y ∈ C. Ngo i ra, vợi mội x ∈ C, fi(x, .) (i=1,2) liản tửc tÔi mởt iºm n o õ thuởc C ho°c intC 6= ∅. Khi õ dÂy {zk} sinh bði Thuêt toĂn 2.2.1 hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa (EP).
Chựng minh. Ta s³ ch¿ ra rơng cĂc iãu kiằn cừa Bờ ã 1.2.8 ữủc thọa m¢n.
(i) Vợi mội x¯∈ (SEP), dÂy {||xk −x||}¯ hởi tử.
Vợi mội k ≥0, º ỡn giÊn ta °t
hk1(x) := λkf1(xk, x) + 1
2||x−xk||2, hk2(x) := λkf2(xk, x) + 1
2||x−yk||2.
Do giÊ thiát (B3), h m hk1 lỗi mÔnh vợi hằ số 1 v khÊ dữợi vi phƠn nản ta cõ
hk1(yk) +huk1, x −yki+ 1
2||x−yk||2 ≤ hk1(x),∀x ∈ C, (2.3.2)
vợi uk1 ∈ ∂hk1(yk).
M°t khĂc, tứ ành nghắa cừayk, sỷ dửng iãu kiằn tối ữu cho b i toĂn quy hoÔch lỗi, ta cõ
0∈ ∂hk1(yk) +NC(yk),
do õ tỗn tÔi −uk1 ∈ NC(yk) sao cho huk1, x−yki ≥ 0,∀x ∈ C. Vẳ vêy, tứ (2.3.2), vợi mội x ∈ C, ta cõ
hk1(yk) + 1
2||x−yk||2 ≤ hk1(x)
⇔ λkf1(xk, yk) + 1
2||yk −xk||2 + 1
2||x−yk|| ≤ λkf1(xk, x) + 1
2||x−xk||2
⇔ ||yk−x||2 ≤ ||xk −x||2 − ||yk −xk||2
+ 2λk[f1(xk, x)−f1(xk, yk)]. (2.3.3) Lêp luên tữỡng tỹ cho h2, ta ữủc
hk2(xk+1) + 1
2||x−xk+1||2 ≤ hk2(x)
=⇒ ||xk+1−x||2 ≤ ||yk−x||2 − ||xk+1−yk||2 (2.3.4) + 2λk[f2(xk, x)−f2(xk, xk+1)].
Kát hủp (2.3.3) v (2.3.4), cho ta
||xk+1−x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λk[f1(xk, x) +f2(xk, x)]− ||yk −xk||2
− 2λk[f1(xk, yk) +f2(xk, xk+1)]− ||xk+1 −yk||2
= ||xk − x||2 + 2λkf(xk, x)− ||yk −xk||2 − ||xk+1−yk||2
− 2λk[f1(xk, yk) +f2(xk, xk+1)]. (2.3.5) Tứ g1k ∈ ∂2f1(xk, xk) v f1(xk, xk) = 0, ta cõ
f1(xk, yk)−f1(xk, xk) ≥ hgk1, yk −xki
⇒ −2λkf1(xk, yk) ≤ −2λkhg1k, yk −xki. (2.3.6)
p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy-Schwarz v chú ỵ rơng||g1k|| ≤ ηk, tứ (2.3.6), ta ữủc
−2λkf1(xk, yk) ≤ 2βk
ηkηk||yk −xk|| = 2βk||yk −xk||. (2.3.7)
T÷ìng tü ta câ
−2λkf2(xk, xk+1) ≤ 2βk||xk+1 −xk||. (2.3.8) Thá (2.3.7) v (2.3.8) v o (2.3.5), ta ữủc
||xk+1−x||2 ≤ ||xk − x||2 + 2λkf(xk, x)− ||yk −xk||2 − ||xk+1−yk||2 + 2βk||yk−xk||+ 2βk||xk+1 −xk||. (2.3.9) Thay x = xk trong (2.3.9), do f(xk, xk) = 0, nản
||xk+1−xk||2 ≤ 2βk||yk −xk|| + 2βk||xk+1−xk||
− ||yk −xk||2 − ||xk+1−yk||2
=⇒(||xk+1−xk|| −βk)2 + (||yk −xk|| − βk)2 +||xk+1 −yk||2 ≤ 2βk2
=⇒ ||xk+1 −xk|| ≤ 3βk. (2.3.10) Tứ (2.3.10) v (2.3.9), k²o theo
||xk+1 −x||2 ≤ ||xk −x||2 + 2λkf(xk, x) + 7βk2. (2.3.11) GiÊ sỷ x¯ ∈ (SEP). Thay x = ¯x trong (2.3.11) v sỷ dửng tẵnh giÊ
ỡn iằu cừa f, ta ữủc
||xk+1−x||¯ 2 ≤ ||xk−x||¯ 2 + 7βk2. (2.3.12) Tứ (2.3.12) v iãu kiằn (2.2.1), theo Bờ ã 1.2.6, ta suy ra dÂy{||xk− x||}¯ hởi tử, v do õ dÂy {xk} bà ch°n. Khi õ tỗn tÔi M > 0 sao cho
||xk|| ≤ M, ∀k = 0,1, . . . Tứ cĂch xĂc ành cừa zk, ta cõ
||zk|| = ||
Pk
i=0λkxi Pk
i=0λi || ≤ Pk
i=0λi||xi||
Pk
i=0λi ≤ M,∀k = 0,1, . . . iãu õ cõ nghắa dÂy {zk} cụng bà ch°n.
Do giÊ thiát (H1), cĂc dÂy {gk1}, {gk2} bà ch°n, cũng vợi iãu kiằn (2.2.1), tỗn tÔi K > 0 sao cho ||g1k|| ≤ K, ||g2k ≤ K, βk ≤ K, ∀k =
0,1, . . . Do õ, tứ cĂch xĂc ành cừaηk, λk, ta cõ
ηk = max{βk,||g1k|,||gk2|| ≤ K}
⇒λk = βk
ηk ≥ βk
K,∀k = 1,2, . . .
⇒
∞
X
k=0
λk = +∞. (2.3.13)
(ii) Mồi iºm hởi tử yáu cừa {zk} ãu thuởc v o (SEP).
GiÊ sỷ z¯l mởt iºm tử yáu cừa dÂy {zk}, khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con {zkj} cõa {zk} sao cho zkj * z¯.
Tứ (2.3.11), vợi mồi x ∈ C, ta cõ
2λkf(xk, x) ≤ ||xk+1−x||2 − ||xk −x||2 −7βk2
⇒
k
X
i=0
λif(xi, x) ≥
k
X
i=0
(||xi+1 −x||2 − ||xi−x||2 −7βi2)
⇒ Pk
i=0λif(xi, x) Pk
i=0λi ≥
Pk
i=0(||xi+1−x||2 − ||xi −x||2 −7βi2) 2Pki=0λi .
(2.3.14) Sỷ dửng tẵnh lóm cừa f(., x) v rút gồn (2.3.14), ta ữủc
f(zk, x) = f( Pk
i=0λixi Pk
i=0λi , x)
≥ ||xk+1 −x||2 − ||x0 −x||2 −7Pki=0βi2
2Pki=0λi . (2.3.15) Do iãu kiằn (2.2.1) v (2.3.13), nản tứ (2.3.15),
k→∞lim inff(zk, x) ≥0.
Cử thº, vợi dÂy con zkj * z¯, do tẵnh nỷa liản tửc trản yáu cừaf(., x), ta ữủc
f(¯z, x) ≥ 0,∀x ∈ C, iãu õ cõ nghắa z¯∈ (SEP).
Vêy cĂc iãu kiằn cừa Bờ ã 1.2.8 ữủc thọa mÂn, do õ dÂy{zk} hởi tử yáu án mởt iºm x¯ ∈ (SEP).
Trong ành lỵ 2.3.1, vợi song h m f l giÊ ỡn iằu iằu, º Êm bÊo cho sỹ hởi tử cừa dÂy l°p{zk}sinh bði Thuêt toĂn 2.3.1 thẳ cƯn h mf(., y) l lóm trản C vợi mội y ∈ C. CĂc kát quÊ sau ch¿ ra rơng tẵnh lóm cõ thº bọ náu song h m f l ỡn diằu trản C. Hỡn nỳa, náu song h m f l giÊ
ỡn iằu mÔnh thẳ dÂy {xk} hởi tử mÔnh án nghiằm duy nhĐt cừa b i to¡n.
ành lỵ 2.3.2. Vợi cĂc giÊ thiát (B1'),(B2), (B3), (H1), song h mf ỡn iằu trản C, thẳ dÂy {zk} sinh bði Thuêt toĂn 2.2.1 hởi tử yáu án mởt iºm x¯ ∈ (SEP).
Chựng minh. Thêt vêy, tứ (2.3.11) trong chựng minh (ii) cừa ành lỵ 2.3.1, vợi mồi x ∈ C, do tẵnh ỡn iằu cừa f, ta cõ
2λkf(x, xk) ≤ ||xk −x||2 − ||xk+1 −x||2 + 7βk2
⇒
k
X
i=0
λkf(x, xi) ≤
k
X
i=0
(||xi−x||2 − ||xi+1 −x||2 + 7βi2)
⇒ Pk
i=0λkf(x, xi) Pk
i=0λi ≤
Pk
i=0(||xi −x||2 − ||xi+1 −x||2 + 7βi2) 2Pki=0λi .
(2.3.16) Sỷ dửng tẵnh lỗi cừa f(x, .) v rút gồn (2.3.16), ta ữủc
f(x, zk) = f(x, Pk
i=0λixi Pk
i=0λi )
≤ ||x0 −x||2 − ||xk+1−x||2 + 7Pki=0βi2
2Pki=0λi . (2.3.17) Do iãu kiằn (2.2.1) v (2.3.13), nản tứ (2.3.17),
k→∞lim supf(x, zk) ≤ 0.
Cử thº, vợi dÂy con zkj * z¯, do tẵnh nỷa liản tửc dữợi yáu cừa f(x, .), ta câ
f(x,z)¯ ≤ 0,∀x ∈ C.
Do õ, tứ Bờ ã 1.2.2, suy ra z¯∈ (SDEP) = (SEP).
Vêy, theo Bờ ã 1.2.8, dÂy{zk}hởi tử yáu án mởt iºmx¯∈ (SEP).
ành lỵ 2.3.3. Vợi giÊ thiát (B1'), (B2), (B3), (H1) v song h mf l giÊ
ỡn iằu mÔnh vợi hằ số β > 0 trản C thẳ dÂy {xk} sinh bði Thuêt toĂn 2.2.1 hổi tử mÔnh án nghiằm duy nhĐtx¯ cừa (EP).
Chựng minh. Thêt vêy, tứ (2.3.11) trong chựng minh (ii) cừa ành lỵ 2.3.1, vợi x∗ l nghiằm cừa b i toĂn, do tẵnh giÊ ỡn iằu mÔnh cừaf, ta cõ
||xk+1−x||¯ 2 ≤ ||xk −x||¯ 2 + 2λkf(xk,x) + 7β¯ k2
≤ ||xk −x||¯ 2 −2βλk||xk −x||¯ 2 + 7βk2. Do õ, theo Bờ ã 1.2.7, ta ữủc ||xk −x|| →¯ 0 khi k → ∞.
So sĂnh vợi Thuêt toĂn 1.2.2 trong Chữỡng 1, ta cõ thº thĐy trong Thuêt toĂn 2.2.1 cho b i toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu mÔnh, song h m cƠn bơng khổng ỏi họi phÊi thọa mÂn iãu kiằn kiºu Lipschitz (1.2.4), iãu n y giúp cho lợp b i toĂn cõ thº Ăp dửng Thuêt toĂn 2.2.1 ữủc mð rởng hỡn nhiãu so vợi Thuêt toĂn 1.2.2.
Mởt h m f : C ì C → R ữủc gồi l liản tửc τ-Holder theo bián thự nhĐt (tữỡng ựng theo bián thự hai) náu tỗn tÔi hơng sốL > 0 v τ ∈ (0,1]
sao cho
|f(x, y)−f(z, y)| ≤ L||x−z||τ,∀x, y, z ∈ C
( t÷ìng ùng ,|f(x, y)−f(x, z)| ≤ L||y −z||τ,∀x, y, z ∈ C).
Tẵnh liản tửc Holder khián lợp h m cõ thº Ăp dửng cho b i toĂn bà thu hàp. Mởt vẵ dử vã song h m khổng liản tửc Holder nhữ sau:
h(x, y) = ey −ex,∀x, y ∈ [0,+∞).
H m h khổng liản tửc Holder trản [0,+∞)ì [0,+∞) vẳ vợi z = 0 thẳ khổng tỗn tÔi cĂc hơng số L >0 v τ ∈ (0,1] thọa mÂn cĂc bĐt ¯ng thực trong ành nghắa vã tẵnh liản tửc Holder trản. Khi õ, b i toĂn cƠn bơng hộn hủp dÔng
f(x, y) =hF(x), y −xi+h(x, y),
vợi F : [0,+∞) → R l Ănh xÔ ỡn iằu v liản tửc Lipschitz, s³ khổng thọa mÂn iãu kiằn hởi tử cừa cĂc thuêt toĂn khi Ăp dửng cho cĂc song h m f1(x, y) =hF(x), y −xi, f2(x, y) =h(x, y).
Tuy nhiản, chú ỵ rơng vợi mộix ∈ [0,+∞) thẳ h(x, .) l h m lỗi v ỡn iằu trản [0,+∞) nản cĂc song h m õ ãu thọa mÂn iãu kiằn cừa ành lỵ 2.3.2, Êm bÊo sỹ hởi tử cừa dÂy{zk} trong Thuêt toĂn 2.2.1, v do õ cõ thº Ăp dửng thuêt toĂn n y º tẵnh toĂn.
Kát luên
B i toĂn cƠn bơng l mởt b i toĂn cõ vai trỏ quan trồng, nõ bao h m rĐt nhiãu b i toĂn khĂc. Cử thº trong khuổn khờ cừa luên vôn n y, tổi Â
• Trẳnh b y mởt số kián thực cỡ sð vã giÊi tẵch lỗi, b i toĂn cƠn bơng giÊ ỡn iằu mÔnh v ch¿ ra ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn n y
• Trẳnh b y b i toĂn cƠn bơng tĂch v ữa ra thuêt toĂn giÊi b i toĂn cƠn bơng tĂch cụng nhữ Ănh giĂ ữủc tốc ở hởi tử cừa thuêt toĂn n y.