Chương 2 MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 11
2.3 Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục tiêu di động
Chúng ta sẽ phát biểu lại định lý cơ bản thứ hai với các mục tiêu di động để phù hợp với mục đích của chúng ta. Đặt f := (f0, ..., fn) là một ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn, trong đó f0, ..., fn là các hàm chỉnh hình không có
không điểm chung. Với các hàm nguyên γ0, ..., γn, ta đặt
L = γ0X0 +...+ γnXn. (2.4) Khi đó, nó xác định một siêu phẳng (di động)H trongPn(K), ở đó trường K chứaγj với mọi0 ≤ γj ≤ n. Chúng ta ký hiệu với mỗiz ∈ C, H(z)là một siêu phẳng xác định bởi một dạng tuyến tínhL(z) = γ0(z)X0+...+γn(z)Xn. Theo quy ước, một siêu phẳng (di động) H trong Pn(K) được giả thiết liên kết với một dạng tuyến tính như trong (2.4).
Với 1 ≤ j ≤ q, đặt γj0, ..., γjn là các hàm nguyên của các hàm độ tăng nhỏ tương ứng với f và đặt Kγ là một trường được tạo bởi tất cả các γji. Đặt
Lj = γj0X0 +...+γjnXn. (2.5) Khi đó, mỗi Lj xác định một siêu phẳng Hj trong Pn(Kγ). Các siêu phẳng di động H1, ..., Hq được gọi là có vị trí tổng quát nếu mỗi cách chọn n+ 1 các dạng tuyến tính Li1, ..., Lin+1 trong {L1, ..., Lq} là độc lập tuyến tính trong Kγ, hoặc tương đương nếu với mỗi cách chọnn+1 các dạng tuyến tính Li1, ..., Lin+1 trong{L1, ..., Lq}, tồn tạiz ∈ C sao choLi1(z), ..., Lin+1(z) độc lập tuyến tính trong C. Cho một siêu phẳng di động H xác định bởi dạng tuyến tính L = γ0X0 + ...+ γnXn với γ0, ..., γn ∈ Kγ, hàm Weil λH được định nghĩa như sau:
λH(z)(P) = −log |γ0(z)x0 +...+γn(z)xn|
max{|x0|, ...,|xn|}max{|λ0(z)|, ...,|λn(z)|}, (2.6) trong đó P = (x0, ..., xn) ∈ Pn(C) và z ∈ C. Hàm trên được định nghĩa tốt trừ khi trong một tập có độ đo Lebesgue không và nó không phụ thuộc vào cách chọn các tọa độ thuần nhất cho P. Hàm xấp xỉ của f tương ứng với H được định nghĩa bởi
mf(H, r) = Z 2π
0
λH(re√−1θ)(f(re
√−1θ))dθ 2π.
Tích phân cũng được định nghĩa tốt trừ khi trong một tập có độ đo Lebesgue không. Đặt nf(H, r) là số không điểm của γ0f0 +...+γnfn trong đĩa |z| ≤ r đếm cả bội. Hàm đếm tương ứng với H được định nghĩa là
Nf(H, r) = Z r
0
nf(H, t)−nf(H,0)
t dt+nf(H,0) logr.
Khi đó, định lý cơ bản thứ nhất cho siêu phẳng di động H có thể phát biểu như sau:
Tf(r) = Nf(H, r) +mf(H, r) +o(Tf(r)). (2.7) Cho t là một số nguyên dương và V(t) là một không gian vector sinh ra trên C bởi
q
Y
j=1 n
Y
k=0
γjknjk
njk ≥ 0,
q
X
j=1 n
X
k=0
njk ≤ t
. (2.8)
Chọn các hàm nguyên h1 = 1, h2, ..., hw là một cơ sở của V(t+ 1) sao cho h1, h2, ..., hu (u ≤ w) là một cơ sở của V(t). Hơn nữa, ta có
lim inf
t→∞ dimV(t+ 1)/dimV(t) = 1. (2.9) Bây giờ, chúng ta phát biểu dạng tổng quát của định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu di động.
Định lý 2.8. Cho f : C → Pn(C) là một đường cong chỉnh hình với biểu diễn rút gọn (f0, ..., fn). Cho Hj (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng (di động) tùy ý trong Pn(Kγ) xác định bởi các dạng tuyến tính Lj như (2.5). Các ký hiệu u, w, h1, ..., hw được cho như trên. Ký hiệu W là Wronskian của {hmfk|1 ≤ m ≤ w,0 ≤ k ≤ n}. Giả sử rẳng f0, ..., fn là độc lập tuyến tính trên Kγ.
(i) Với ε > 0 bất kỳ, ta có bất đẳng thức Z 2π
0
max
J
X
j∈J
λH
j(re√−1θ)(f(re
√−1θ))dθ 2π + 1
uNW(0, r) ≤exc (n+ 1 +ε)Tf(r),
trong đó, max được lấy trên mọi tập con J ⊂ {1, ..., q} sao cho Hj(re
√−1θ) (j ∈ J) ở vị trí tổng quát.
(ii) Nếu các mặt phẳng di động Hj1, ..., Hjl có vị trí tổng quát với hầu hết z ∈ C, ở đó {j1, ..., jl} là tập con của {1, ..., q}, khi đó tồn tại một số nguyên dương Q sao cho
l
X
t=1
Nf(Hjt, r)− 1
uNW(0, r) ≤
l
X
t=1
Nf(Q)(Hjt, r) +o(Tf(r)).
Chứng minh. Từ (2.7) định lý cơ bản thứ nhất, chúng ta có thể giả sử rằng q ≥ n+ 1 sao cho ít nhất n+ 1 siêu phẳng trong {H1, ..., Hq} có vị trí tổng quát. Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình
F := (h1f0, h2f0, ..., hwf0, h1f1, ..., hwfn) : C → Pw(n+1)−1(C). (2.10) Chú ý rằng đây là một dạng rút gọn, tức là hmfk,1 ≤ m ≤ w,0 ≤ k ≤ n là các hàm nguyên không có không điểm chung, vì h1 = 1 và fk,0≤ k ≤n không có không điểm chung. Hơn nữa, F tuyến tính không suy biến trên C vì f tuyến tính không suy biến trên K và hàm đặc trưng của nó có cùng tỉ lệ với f theo ước lượng sau:
TF(r) = Z 2π
0
log max
1≤i≤w 0≤j≤n
|hi(re
√−1θ)fj(re
√−1θ)|dθ 2π
= Z 2π
0
log||f(re
√−1θ)||+ log max
1≤i≤w|hi(re
√−1θ)|
dθ 2π
≤ Tf(r) + Z 2π
0 w
X
i=1
log+|hi(re
√−1θ)|dθ
2π (2.11)
= Tf(r) + Z 2π
0 w
X
i=1
mhi(∞, r)
≤ Tf(r) + Z 2π
0 w
X
i=1
Thi(r) (Theo định lý 2.3)
≤ Tf(r) +o(Tf(r)).
Tiếp theo, chúng ta xây dựng một tập của các siêu phẳng (cố định) để áp dụng Định lý 2.6. Đầu tiên chúng ta quan sát thấy rằng hiLj =
n
P
k=0
hiγjkXk,1 ≤ i ≤ u,1 ≤ j ≤ q là một dạng tuyến tính với các hệ số trong V(t+ 1). Do đó, với mỗi 1 ≤ i ≤ u,1 ≤ j ≤ q, tồn tại cijkν ∈ C sao cho
hiLj =
n
X
k=0 w
X
ν=1
cijkνhνXk.
Với mỗii = 1, ..., uvàj = 1, ..., q, đặtHbij là các siêu phẳng trongPw(n+1)−1(C) được xác định bởi các dạng tuyến tính trong C
Lbij =
n
X
k=0 w
X
ν=1
cijkνXkν. (2.12)
Điều đó được suy ra từ cách xây dựng
hiLj(x0, ..., xn) = Lbij(h1x0, ..., h1xn, ..., hwx0, ..., hwxn). (2.13) Áp dụng Định lý 2.6 cho F với các siêu phẳng Hbij,1 ≤ i ≤u,1≤ j ≤ q ta được
Z 2π 0
maxI,J
X
i∈Ij∈J
λHbij(F(re
√−1θ))dθ
2π +NW(F)(0, r) ≤exc (w(n+ 1) + ε
2)TF(r), (2.14) trong đó, max được lấy trên mọi tập con I ⊂ {1, ..., u} và J ⊂ {1, ..., q}
sao cho Lbij phụ thuộc tuyến tính trên C.
Chúng ta xét mối liên hệ sau với các hàm Weil của Hbij và Hj(z) với 1 ≤1 ≤ u,1≤ j ≤ q và z ∈ C.
λHbij(F(z)) =exc −log|Lbij(F(z))|+ log max
1≤m≤w,0≤k≤n|hm(z)fk(z)|
=exc −log|hi(z)Lj(f)(z)|+ log max
1≤m≤w|hm(z)|kf(z)k (theo 2.13)
≥exc −log|Lj(f)(z)|+ logkf(z)k
=exc λHj(z)(f(z))−log max
0≤k≤n|γjk(z)|. (2.15)
Tiếp theo, đặt J là tập con của {1, ..., q} sao cho {Hj(z)} có vị trí tổng quát với một vài giá trị z. Khi đó {Lj}j∈J phải độc lập tuyến tính trong Kγ. Chúng ta đưa ra khẳng định sau: Nếu J là tập con của {1, ..., q} sao cho {Lj}j∈J} phải độc lập tuyến tính trong Kγ, khi đó các siêu phẳng Hbij,1≤ i ≤ u, j ∈ J đều có vị trí tổng quát.
Nếu khẳng định trên sai, khi đó tồn tại αij ∈ C không đồng thời bằng 0 sao cho
X
j∈J u
X
i=1
αijLbij = 0.
Ước lượng Lbij tại (h1X0, ..., h1Xn, ..., hwX0, ..., hwXn), ở đó X0, ..., Xn là các biến, từ 2.13 ta có
X
j∈J u
X
i=1
αijhiLj(X0, ..., Xn) = 0. (2.16)
Vì {Lj}j∈J độc lập tuyến tính trên Kγ,
u
P
i=1
αijhi = 0 với mỗi 1 ≤ i ≤ u. Cũng vì h1, ..., hu độc lập tuyến tính trên C nên ta cóαij = 0 với 1≤ i ≤ u và j ∈ J.
Từ mệnh đề trên, kết hợp với (2.15), ta có u
Z 2π 0
maxJ
X
j∈J
λH
j(re√−1θ)(f(re
√−1θ))dθ 2π
≤exc Z 2π
0 u
X
i=1
maxJ
X
j∈J
λHbij(F(re
√−1θ))dθ
2π +o(Tf(r))
≤exc Z 2π
0
maxI,J
X
i∈Ij∈J
λHbij(F(re
√−1θ
))dθ
2π + o(Tf(r)) (2.17)
Từ (2.9) ta có thể chọn e đủ lớn sao cho w/u ≤1 + ε
2(n+ 1). Kết hợp bất đẳng thức này với (2.17),(2.14) và (2.11), chúng ta có được bất đẳng thức trong (i).
Để chứng minh (ii), vì f0, ..., fn độc lập tuyến tính trên K, rõ ràng ánh xạ chỉnh hình F trong (2.10) tuyến tính, không suy biến trên C. Chúng ta cũng chứng minh khẳng định trong định lý trước rằng nếu Lj1, ..., Ljl độc lập tuyến tính trên Kγ, khi đó các siêu phẳng Hbijt (xác định bởi các dạng tuyến tính trong (2.12)), 1 ≤ i ≤ u,1 ≤ t ≤ l có vị trí tổng quát trên C. Khi đó, chúng ta áp dụng Bổ đề 2.1 cho ánh xạ F với các siêu phẳng Hbijt, 1 ≤i ≤ u,1≤ t≤ l để có được
u
X
i=1 l
X
t=1
NF(Hbijt, r)−NW(0, r) ≤
u
X
i=1 l
X
t=1
NF(Q)(Hbijt, r), (2.18) ở đó Q:= w(n+ 1)−1. Từ (2.13) ta có
NF(Hbij, r) = NhiLj(f)(0, r) ≥ NLj(f)(0, r), vì hi là các hàm nguyên và
NF(Q)(Hbijt, r) = Nh(Q)
iLj(f)(0, r) ≤NL(Q)
j(f)(0, r) +Nh(Q)
i (0, r).
Vì NLj(f)(0, r) = Nf(Hj, r) và Nh(Q)
i (0, r) ≤ Thi(r) ≤ o(Tf(r)), các bất đẳng thức trên trở thành
u
l
X
t=1
Nf(Hjt, r)−NW(0, r) ≤ u
l
X
t=1
Nf(Q)(Hjt, r) +o(Tf(r)). (2.19)