2.1 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ
2.1.1 Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm
Như đã biết trong Phần 1.3, số mũ Lyapunov cổ điển của các nghiệm không tầm thường của một hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính luôn không âm. Điều này dẫn đến nhu cầu phải xây dựng một khái niệm số mũ mới phù hợp cho các hệ phân thứ. Mặt khác, chú ý rằng khi định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, người ta đã sử dụng hàm log (là hàm ngược của hàm mũ) để thu được tốc độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ của một hàm số cho trước. Trong khi đó, trong phương trình vi phân phân thứ, hàm Mittag-Leffler một tham số
đóng vai trò tương tự như hàm mũ đối với phương trình vi phân thường. Điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng hàm ngược của hàm Mittag-Leffler thực một tham số để mở rộng khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình phân thứ.
Xét hàm Mittag-Leffler một tham số nhận giá trị thực Eα : R → R≥0. Từ Mục 1.1.4, chúng ta thấy hàm này đơn điệu và có hàm ngược làlogMα :R>0 →R. Hiển nhiên logMα cũng là một hàm liên tục và đơn điệu tăng. Bây giờ chúng ta định nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm tùy ý.
Định nghĩa 2.1.1. Cho f :R≥0→Rd là một hàm nhận giá trị vectơ bất kì. Số mũ Lyapunov phân thứ cấp α của f được định nghĩa bởi
χα(f) = lim sup
t→∞
1
tα logMα (kf(t)k). (2.1) Sau đây chúng ta tính giới hạn tại vô cực của hai đại lượng cơ bản liên quan tới các hàm logMα .
Bổ đề 2.1.1. Xét λ ∈R\ {0}. (i) Nếu λ >0 thì
lim sup
t→∞
1
tαlogMα (eλ
α1
t) =λ;
(ii) Nếu λ <0 thì
lim sup
t→∞
1 tαlogMα
1
−λΓ(1−α)tα
=λ.
Chứng minh. (i) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε1 >0 nhỏ tùy ý (chúng ta có thể giả sử 0< ε1 < λ4), có T1(ε1)>0 sao cho
exp(λα1t)≤Eα((λ+ε1)tα), ∀t≥T1(ε1).
Từ đây cùng với tính đơn điệu tăng của hàm logMα suy ra logMα
exp(λα1t)
≤ logMα (Eα((λ+ε1)tα))
≤ (λ+ε1)tα với mọi t ≥T1(ε1). Vì vậy,
lim sup
t→∞
1 tαlogMα
exp(λα1t)
≤λ+ε1.
Cho ε1 →0 trong bất đẳng thức trên dẫn đến lim sup
t→∞
1 tαlogMα
exp(λα1t)
≤λ. (2.2)
Mặt khác, cũng theo Bổ đề 1.1.10, có T2(ε1) sao cho exp(λα1t)≥αEα((λ−ε1)tα)
≥ exp ((λ−2ε1)α1t)
≥ 1
αexp ((λ−3ε1)α1t)
≥Eα((λ−4ε1)tα), ∀t≥T2(ε1).
Lập luận tương tự như ở trên dẫn tới lim sup
t→∞
1 tαlogMα
exp(λα1t)
≥λ. (2.3)
Kết hợp (2.2) và (2.3) chúng ta thu được lim sup
t→∞
1
tαlogMα
exp(λα1t)
=λ.
(ii) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε2>0 tùy ý, có T3(ε2)>0 sao cho
− 1
λΓ(1−α)tα ≥Eα((λ−ε2)tα), ∀t≥T3(ε2).
Do vậy
lim sup
t→∞
1 tα logMα
1
−λΓ(1−α)tα
≥λ−ε2. Cho ε2 →0 trong bất đẳng thức trên dẫn tới
lim sup
t→∞
1 tαlogMα
1
−λΓ(1−α)tα
≥λ. (2.4)
Mặt khác, có T4(ε2)>0 sao cho
− 1
λΓ(1−α)tα ≤Eα((λ+ε2)tα), ∀t ≥T4(ε2).
Bằng lập luận tương tự như ở trên lim sup
t→∞
1 tαlogMα
1
−λΓ(1−α)tα
≤λ. (2.5)
Kết hợp (2.4) và (2.5) dẫn tới điều phải chứng minh.
Để thuận tiện cho việc tính toán số mũ Lyapunov phân thứ, chúng ta thiết lập dưới đây các mối quan hệ giữa số mũ Lyapunov cổ điển và số mũ Lyapunov phân thứ.
Định lý 2.1.2. Cho hàm tùy ý f :R≥0 →Rd. (i) χα(f)>0 khi và chỉ khi χ(f)>0. Hơn nữa,
χα(f) =χ(f)α = lim sup
t→∞
1
t log(kf(t)k)α
. (2.6)
(ii) χα(f)<0 khi và chỉ khi lim supt→∞tαkf(t)k<∞. Trong trường hợp này,
χα(f) = − 1
Γ(1−α) lim supt→∞tαkf(t)k. (2.7) (iii) χα(f) = 0 khi và chỉ khi
χ(f)≤0 và lim sup
t→∞
tαkf(t)k=∞.
Chứng minh. (i) Giả sửλ :=χα(f)>0. Chúng ta sẽ chỉ ra χ(f)>0 và đẳng thức (2.6) đúng. Quả vậy, cho ε∈(0, λ) tùy ý. Theo Bổ đề 2.1.1(i),
λ = lim sup
t→∞
1
tαlogMα
exp(λα1t) .
Cùng với định nghĩa của χα(f) dẫn đến lim sup
t→∞
1
tαlogMα (e(λ+ε)
1
αt)>lim sup
t→∞
1
tα logMα (kf(t)k) và
lim sup
t→∞
1
tαlogMα (kf(t)k)>lim sup
t→∞
1 tα logMα
e(λ−ε)
1 αt
.
Từ những khẳng định trên và tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược logMα , có T1 >0 để
e(λ+ε)
α1t ≥ kf(t)k ≥e(λ−ε)
α1t, ∀t≥T1.
Do đó,
(λ+ε)1α ≥lim sup
t→∞
1
t log(kf(t)k)≥(λ−ε)α1. Cho ε→0, thì χ(f) = χα(f)1α.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu χ(f) > 0 thì χα(f) > 0. Quả vậy, đặt γ :=χ(f)>0. Từ định nghĩa của χ(f), có T2 >0 mà
||f(t)|| ≥eγ2t, ∀t > T2. Điều này cùng với Bổ đề 2.1.1(i) cho
χα(f) = lim sup
t→∞
1
tαlogMα (kf(t)k)≥lim sup
t→∞
1
tαlogMα eγ2t
=γ 2
α
>0.
(ii) Trước hết chúng ta chứng minh rằng nếuχα(f)<0thì lim supt→∞tα||f(t)||<
∞và (2.7) đúng. Đặtλ:=χα(f)<0và lấyε∈(0,−λ)tùy ý. Theo Bổ đề 2.1.1(ii), thì
λ= lim sup
t→∞
1 tαlogMα
1
−λΓ(1−α)tα
, kết hợp với định nghĩa của χα(f) cho
lim sup
t→∞
1 tα logMα
1
−(λ+ε)Γ(1−α)tα
>lim sup
t→∞
1
tαlogMα (kf(t)k) và
lim sup
t→∞
1
tαlogMα (kf(t)k)>lim sup
t→∞
1 tα logMα
1
−(λ−ε)Γ(1−α)tα
. Do tính đơn điệu của hàm Mittag-Leffler ngược logMα , có T3>0 mà
1
−(λ+ε)Γ(1−α)tα ≥ kf(t)k ≥ 1
−(λ−ε)Γ(1−α)tα, ∀t ≥T3. Do đó,
1
−(λ+ε)Γ(1−α) ≥lim sup
t→∞
tαkf(t)k ≥ 1
−(λ−ε)Γ(1−α). Cho ε→0, chúng ta thu được
lim sup
t→∞
tαkf(t)k= 1
−λΓ(1−α).
Để hoàn thành chứng minh của (ii), chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu γ := lim sup
t→∞
tα||f(t)||<∞
thì χα(f)<0. Xét trường hợp lim supt→∞tα||f(t)||= 0. Với bất kì ε > 0, tồn tại T4 >0 thỏa mãn
kf(t)k< ε
tα, ∀t≥T4. (2.8)
Giả sử phản chứng rằng tồn tại một hằng số L >0 sao cho
λ=χα(f)>−L. (2.9)
Từ đây chúng ta tìm được một dãy số thực dương tăng dần về vô cực {tn}∞n=1 để cho
n→∞lim 1
tαn logMα (kf(tn)k)>−L.
Gọi N1 >0 là một số nguyên dương thỏa mãn 1
tαn logMα (kf(tn)k)≥ −L, ∀n ≥N1.
Từ tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược chúng ta có kf(tn)k ≥Eα(−Ltαn), ∀n ≥N1.
Điều này cùng với Bổ đề 1.1.10 dẫn đến kf(tn)k ≥ 1
2LΓ(1−α)tαn, ∀n ≥N2,
ở đây N2> N1 là một số nguyên dương đủ lớn. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với (2.8). Vậy giả thiết phản chứng (2.9) là sai và χα(f) = −∞. Bây giờ xét trường hợp 0< γ:= lim supt→∞tα||f(t)||<∞. Từ định nghĩa của khái niệm cận trên đúng, chúng ta tìm được T5 >0 sao cho
||f(t)|| ≤ 2γ
tα, ∀t > T5. Do đó,
lim sup
t→∞
1
tα logMα (kf(t)k)≤lim sup
t→∞
1
tαlogMα 2γ tα
=− 1
2γΓ(1−α) <0.
Như vậy trong cả hai trường hợp chúng ta đều có χα(f)<0. (iii) Suy ra trực tiếp từ (i) và (ii).
Sau đây là một số tính chất đơn giản của các số mũ Lyapunov phân thứ.
Chứng minh của các tính chất này thu được từ định nghĩa và Định lý 2.1.2.
Bổ đề 2.1.3. Những phát biểu sau đây đúng.
(i) Cho hàm f :R≥0 →Rd và hằng số c∈R\ {0} tùy ý, chúng ta có
χα(c f) =
χα(f), nếu χα(f)>0, χα(f)
|c| , nếu χα(f)≤0.
(ii) Cho f, g : R≥0 → Rd là các hàm tùy ý và χα(f) ≥ 0. Khi đó, χα(f +g) ≤ max{χα(f), χα(g)}, dấu đẳng thức xảy ra khi χα(f)6=χα(g).
(iii) Cho f, g : R≥0 → Rd là các hàm tùy ý thỏa mãn χα(f), χα(g) < 0. Khi đó, χα(f+g)<0.
(iv) Cho f, g:R≥0 →R≥0 là các hàm liên tục bất kì. Khi đó, χα(max{f, g}) = max{χα(f), χα(g)}, ở đây max{f, g}:R≥0 →R≥0 được định nghĩa bởi
max{f, g}(t) = max{f(t), g(t)}, ∀t ∈R≥0.