Trong phần này, ta trình bày hai áp dụng của Bổ đề Schwarz tại biên. Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả sau:
Định nghĩa 2.3.1. Một miền Ω ⊂ Cn được gọi là lồi nếu tz1 + (1−t)z2 ∈ Ω,
với z1, z2 ∈ Ω và 0≤ t ≤1. Một miền Ω ⊂ Cn được gọi là hình sao (tương ứng với gốc) nếu tz ∈ Ω, với z ∈ Ω và 0 ≤t ≤ 1.
Định nghĩa 2.3.2. Một ánh xạ chỉnh hình f : Bn → Cn được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu f(0) = 0 và Jf (0) = In, trong đó In là một ma trận đơn vị cấp n.
Định nghĩa 2.3.3. Một ánh xạ chỉnh hình f : Bn → Cn được gọi là song chỉnh hình nếu nó là ánh xạ 1−1 từ Bn đến f (Bn) và detJf (z) 6= 0 với bất kỳ z ∈ Bn.
Định nghĩa 2.3.4. Một ánh xạ song chỉnh hình f : Bn →Cn được gọi là ánh xạ lồi nếu miền ảnh của f là một miền lồi trong Cn.
Định nghĩa 2.3.5. Một ánh xạ song chỉnh hình f :Bn → Cn với f(0) = 0 được gọi là ánh xạ hình sao nếu miền ảnh của f là một miền hình sao tương ứng với gốc.
Từ năm 1993, H.Cartan đã xây dựng một hàm fk : B2 → C2 xác định bởi
fk(z) = z1, z2
(1−z1)k
0
, z ∈ B2, k = 1,2, ...
là song chỉnh hình và thỏa mãn fk(0) = 0, Jfk = I2. Nhưng |detJfk(z)| và các giá trị riêng của Jfk (z)Jfk (z)0 không bị chặn trên hữu hạn và không bị chặn dưới khác 0. Do đó, H.Cartan đã gợi ý nghiên cứu cho các ánh xạ lồi, ánh xạ hình sao và các lớp con khác của các ánh xạ song chỉnh hình trên đa tạp phức nhiều biến. Năm 1999, Liu và Zhang đã chứng minh một định lý biến dạng tổng quát cho các ánh xạ lồi song chỉnh trên Bn, đó là nội dung định lý sau:
Định lý 2.3.6. [10] Giả sử f : Bn →Cn là một ánh xạ lồi song chỉnh hình chuẩn tắc. Khi đó
(1− kzk)cn−n+12 (1 +kzk)cn+n+12
≤ |detJf (z)| ≤ (1 +kzk)cn−n+12
(1− kzk)cn+n+12 , z ∈ Bn, trong đó
n+ 1
2 ≤cn ≤ 1 +
√2
2 (n−1), cn = supn
n
X
i,j=1
a(i)ij ζj
:f(z) = z+ (z0A(1)z, ..., z0A(n)z)0+...
là một ánh xạ lồi song chỉnh hình chuẩn tắc trên Bn, A(i) = (a(i)jk)n×n, (1 ≤ i ≤ n) là các ma trận vuông đối xứng
o
. Ở đây ζ ∈ ∂Bn là một điểm tùy ý cho trước.
Chứng minh. Vì f (z) =z + z0A(1)z, ..., z0A(n)z0 +... là ánh xạ lồi song chỉnh hình chuẩn tắc trên Bn, nên ta có
g(z) =
z0A(1)z, ..., z0A(n)z 0
là một ánh xạ đa thức thuần nhất chỉnh hình bậc 2 từBn vàoBn.(Theorem 2.1, [10]). Lấy ζ ∈ ∂Bn sao cho
max
z∈Bn
kg(z)k = kg(ζ)k. Ta có
∂gi
∂zi (ζ) = ∂
∂zi
n
X
j,k=1
a(i)jkzjzk
z=ζ
= 2
n
X
j=1
a(i)ij ζj.
Từ Hệ quả 2.2.2, ta có 1
2|trJg(ζ)| =
n
X
i,j=1
a(i)ij ζj
≤1 +
√2
2 (n−1). Điều đó có nghĩa là
cn ≤ 1 +
√2
2 (n−1). Định lý được chứng minh.
Cuối cùng, ta xét một kết quả cho ánh xạ hình sao song chỉnh hình chuẩn tắc trên đa tạp phức nhiều biến bằng cách sử dụng bổ đề Schwarz tại biên của hình cầu đơn vị trong Cn. Trước tiên ta nhắc lại bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.7. [1] Giả sử f(z) là một ánh xạ hình sao song chỉnh hình chuẩn tắc trên Bn. Thì với bất kỳ z ∈ Bn, ta có bất đẳng thức sau
kzk2(1− kzk)
1 +kzk ≤ <z0[Jf (z)]−1f (z) ≤ kzk2(1 +kzk)
1− kzk . (2.18) kzk
(1 +kzk)2 ≤ kf (z)k ≤ kzk
(1− kzk)2. (2.19) Hơn nữa các bất đẳng thức trên là nhọn.
Ta có định lý biến dạng của ánh xạ hình sao song chỉnh hình sau
Định lý 2.3.8. [9] Cho f(z) là một ánh xạ hình sao song chỉnh hình chuẩn tắc trên Bn.
(1). Nếu z ∈ Bn thỏa mãn kf (z)k = max
kξk=kzkkf(ξ)k thì
|detJf (z)| ≤ (1 +kzk)n+12 (1− kzk)5n+12 . Đặc biệt, khi n = 1,|f0(z)| ≤ 1+|z|
(1−|z|)3, ta có kết quả trong trường hợp một biến phức.
(2). Nếu z ∈ Bn thỏa mãn kf (z)k = min
kξk=kzkkf(ξ)k thì
|detJf (z)| ≥ (1− kzk)n+12 (1 +kzk)5n+12 .
Đặc biệt, khi n = 1,|f0(z)| ≥ 1−|z|
(1+|z|)3, ta có các kết quả trong trường hợp một biến phức.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng z 6= 0.
Đặt kzk = r ∈ (0,1), M = max
kξk=rkf (ξ)k và m = min
kξk=rkf (ξ)k.
(1). Lấy g(ω) = f(rω)M , ω ∈ Bn. Thì g : Bn → Bn thỏa mãn g(0) = 0 và g là song chỉnh hình trong lân cận của Bn. Đặt
z0 = zr và ω0 = g(z0) = fM(z). Khi đó z0, ω0 ∈ ∂Bn và
Jg(z0) = r
MJf (rz0) = r
MJf (z). Theo Định lý 2.1.7 tồn tại λ ∈ R sao cho
Jg(z0)0ω0 = λz0 và
1 ≤λ = ω00Jg(z0)z0 = f (z)0Jf (z)z
M2 .
Từ
ω00 = λz00[Jg(z0)]−1, ta có
f (z)0
M = λM
r2 z0[Jf (z)]−1.
Từ đó ta có f (z)0 và z0[Jf (z)]−1 có cùng hướng. Chú ý rằng M = kf (z)k và từ (2.18) ta có
λ = f (z)0Jf (z)z
M2 = kf (z)k f (z)0 kf (z)k
Jf (z)z
kf (z)k2 = z0[Jf (z)]−1
z0[Jf (z)]−1
Jf (z)z kf (z)k
= kzk2
z0[Jf (z)]−1f (z) = kzk2
<z0[Jf (z)]−1f (z) ≤ 1 +kzk 1− kzk. Do vậy,
|detJg(z0)| ≤ λn+12 ≤
1 +kzk 1− kzk
n+12 .
Vì Jg(z0) = Mr Jf (z), nên từ (2.19) ta có
|detJf (z)| = M
r n
|detJg(z0)| ≤
kf (z)k kzk
n
1 +kzk 1− kzk
n+12
≤ (1 +kzk)
n+1 2
(1− kzk)5n+12 . (2). Lấy
h(ω) = f (rω)
M , ω ∈ Bn.
Khi đó h(0) = 0 và h là song chỉnh hình trong một lân cận của Bn với h(Bn) ⊃ Bn. Đặt
z0 = z
r, ω0 = h(z0) = f (z) M . Ta có
z0, ω0 ∈ ∂Bn và Jh(z0) = Mr Jf (rz0) = Mr Jf (z).
Hơn nữa h−1 : Bn → Bn thỏa mãn h−1(0) = 0 và h−1 là chỉnh hình trong một lân cận của Bn với h−1(ω0) = z0. Tương tự như chứng minh trên ta cũng có thể kết luận rằng f (z)0 và z0[Jf (z)]−1 có cùng phương. Theo Định lý 2.1.7 và (2.18), tồn tại λ ∈ R sao cho
1≤ λ = z00[Jh−1(ω0)]ω0 = z00[Jh(z0)]−1ω0 = z0 r
h r
mJf (z)i−1f (z) m
= z0[Jf (z)]−1f (z)
kzk2 = <z0[Jf (z)]−1f (z)
kzk2 ≤ 1 +kzk 1− kzk. Mặt khác, theo Định lý 2.1.7 ta có
|detJh−1(ω0)| = 1
|detJh(z0)| ≤λn+12 ≤
1 +kzk 1− kzk
n+1 2
. (2.20) Do vậy, từ (2.20) m = kf (z)k, từ (2.19) và do Jh(z0) = mrJf (z), ta có
1
|detJf (z)| = r m
n 1
|detJh(z0)| =
kzk kf (z)k
n
1
|detJh(z0)| ≤ (1 +kzk)
5n+1 2
(1− kzk)n+12 . Tức là
|detJf (z)| ≥ (1− kzk)
n+1 2
(1 +kzk)5n+12 . Định lý được chứng minh.
Kết luận
Luận văn "Bổ đề Schwarz trên biên của hình cầu đơn vị trong Cn và một số ứng dụng" đã trình bày được các kết quả chính sau:
- Một số bất đẳng thức tại một điểm biên cho các dạng khác nhau của các hàm chỉnh hình và tìm các điều kiện để đạt được dấu đẳng thức (Định lý 1.2.1; Định lý 1.2.2; Định lý 1.2.3; Định lý 1.2.4; Định lý 1.2.6).
- Tổng quát Bổ đề Schwarz tại biên cổ điển cho các ánh xạ chỉnh hình trên hình cầu đơn vị trong Cn (Định lý 2.1.6; Định lý 2.1.7).
- Tổng quát Bổ đề Schwarz tại biên cổ điển cho các ánh xạ đa thức thuần nhất chỉnh hình trên hình cầu đơn vị trong Cn (Định lý 2.2.1).
- Áp dụng của Bổ đề Schwarz tại biên để chứng minh định lý biến dạng tổng quát cho các ánh xạ lồi song chỉnh hình chuẩn tắc trên hình cầu đơn vị trong Cn (Định lý 2.3.7) và định lý biến dạng tổng quát cho các ánh xạ hình sao song chỉnh hình chuẩn tắc trên hình cầu đơn vị trong Cn (Định lý 2.3.8).