CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KẾT CẤU CHỊU TÁC ĐỘNG BỞI NHIỀUGIA TỐC NỀN
2.1. Cơ sở lý thuyết tính toán hệ một bậc tự do (SDOF) chịu tác động bởi cùng một
2.1.1. Phương trình dao động của hệ một bậc tự do (SDOF) chịu tải động đất
Hình 2.1.Hệ một bậc tự do
Hình 2.2. Mô hình dạng khối của hệ một bậc tự do
- Trong Hình 2.1,hệ một bậc tự do được biểu diễn bởi một khối ở đỉnh của cột.
Độ xoay và độ võng tại chân cột được bỏ qua. Giả sử sàn tuyệt đối cứng. Hình 2.2 biểu diễn gộp khối lượng phân bố đều của hệ một bậc tựdo.
- Xét hệ 1 bậc tự do như trong Hình 2.1chịu dao động nền xg. Hệ sẽ bị chịu tác động bởi 4 loại lực sau đây:
+ Lực quán tính (FI)
+ Lực đàn hồi (FS) + Lực cản (FD) + Ngoại lực (FE)
- Theo định luật Niuton, tổng lực bằng khối lượng nhân gia tốc.
∑ (2-1)
Trong đó:
+ Lực đàn hồi (Fs): Lực này tác động lên sàn khi ở đây có chuyển vị ngang của khối lượng. Đối với hệ tuyến tính, lực này tỉ lệ thuận với chuyển vị tương đối tại đỉnh và chân của cột.
+ Lực cản (FD): Lực này tác động lên sàn khi ở đây có vận tốc ngang tương đối giữa khối lượng và nền. Đối với lực cản nhớt tuyến tính, lực này tỉ lệ thuận với vận tốc và hằng số tỉ lệ với hệ số tắt dần.
+ Ngoại lực (FE): Lực này là ngoại lực tác động lên hệ + Lực quán tính (FI): lực quán tính này do gia tốc của sàn.
- Như Hình 2.2, xt(t) là gia tốc tuyệt đối của khối lượng và xg(t) là chuyển vị tuyệt đối của nền. Chuyển vị tương đối giữa khối lượng và nền biểu diễn bởi x(t)
( ) ( )
̇( ) ̇ ( ) ̇ ( ) (2-2)
̈( ) ̈ ( ) ̈ ( ) - Suy ra lực đàn hồi:
( ) { ( ) ( )} (2-3) - Lực cản:
̇( ) { ̇ ( ) ̇ ( )} (2-4) - Lực quán tính là khối lượng nhân với gia tốc tuyệt đối.
̈ ( ) { ̈( ) ̈ ( )} ( 2-5) - Viết lại phương trình (2-1) dưới dạng các phương trình (2-3), (2-4), (2-5)ta được
( ) ̇( ) { ̈( ) ̈ ( )} (2-6) Hay :
̈( ) ̇( ) ( ) ̈ ( ) (2-7) - Phương trình (2-7) là phương trình dao động của hệ một bậc tự do, chịu tác dụng của gia tốc nền ̈ ( ).
Trong đó:
m: khối lượng của hệ c: lực cản của kết cấu k: độ cứng của hệ kết cấu
x: chuyển vị tương đối của khối lượng với nền ̇: vận tốc tương đối của khối lượng với nền ̈: gia tốc tương đối của khối lượng với nền ̈ : gia tốc nền
- Thế phương trình (2-2) vào phương trình (2-7) ta được:
̈ ( ) ̇ ( ) ( ) ̇ ( ) ( ) (2-8) - Phương trình (2-8) là phương trình dao động của hệ một bậc tự do, chịu gia tốc nền tuyệt đối ̈ (t) . [7]
2.1.2. Giải phương trình dao động của hệ một bậc tự do bằng phương pháp trạng thái không gian
- Phương trình dao động của hệ một bậc tự do (2-7) được viết lại:
̈( ) ̇( ) ( ) ( ) (2-9) + Với ( ) ̈ ( ) là ngoại lực.
- Chia phương trình (2-9)cho m ta được:
̈( ) ̇( ) ( ) ( ) (2-10)
- Thế và trong phương trình trên ta được:
̈( ) ̇( ) ( ) ( ) (2-11) - Phương pháp trạng thái không gian phân tích đáp ứng của hệ bằng cách sử dụng hai đại lượng chuyển vị và vận tốc một cách độc lập, 2 đại lượng này được gọi là trạng thái (state). Có thể biểu diễn 2 đại lượng độc lập này dưới dạng vector ―z‖:
( ) { ( )
̇( )} (2-12)
- Mặt khác, phương trình (2-11) có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:
̇( ) { ̇( )
̈( )} [ ] { ( )
̇( )} { ( )} (2-13) - Đặt:
và .
/ (2-14) - Thế (2-14) vào (2-13)ta được:
̇( ) 0 1 { ( )
̇( )} { ( )} (2-15)
̇( ) ( ) ( ) (2-16)
- Phương trình (2-16) là phương trình ma trận vi phân tuyến tính cấp I của dao động và được gọi là phương trình dao động liên tục trạng thái không gian.
Khi t ≥ t0 với t0 là thời điểm bắt đầu có chuyển vị và vận tốc, nghiệm của phương trình (2-16):
( ) ( ) ( ) ∫ ( ) (2-17) - Trong phương trình trên, mà trận eAt được gọi là ma trận chuyển trạng thái và có thứ nguyên giống ma trận A. Nếu t0 = 0 thì:
( ) ∫ ( ) ( ) (2-18) - Trong phương trình (2-18), phần đầu là nghiệm thuần nhất và phần thứ hai là nghiệm đặc biệt với biểu thức tích phân thời gian của hàm cưỡng bức.
( ) { ( )
̇( )} 2 ̇ 3 (2-19)
- Đặt: tk+1= t , tk= t0, Δt = t-t0
Khi đó: ∫ ( ) (2-20) - Sử dụng phương pháp tích phân để tích phân hàm cưỡng bức như dạng phương trình (2-20). Từ hàm cưỡng bức thường được đưa về dạng số, tiệm cận của hàm cưỡng bức nằm trong khoảng thời gian t0 đến t. Hai phương pháp được sử dụng để tích phân hàm cưỡng bức:
+ Phương pháp hàm cưỡng bức Delta.
+ Phương pháp hàm cưỡng bức không đổi.
- Trong phương pháp hàm cưỡng bức Delta, hàm cưỡng bức được số hóa về dạng chuỗi hàm Delta như sau:
( ) ( ) { } ( ) (2-21) Với tk ≤ s ≤ tk+1.
- Thế phương trình (2-21)vào phương trình (2-20) ta được:
∫ ( ) (2-22)
[ ∫ ( )
]
(2-23)
(2-24)
(2-25)
- Trong phương pháp hàm cưỡng bức không đổi, hàm cưỡng bức được giả định là không đổi trong một khoảng thời gian. Giá trị của lực trong khoảng bằng với giá trị của lực tại vị trí khoảng bắt đầu.
( ) { } (2-26) + Với tk ≤ s ≤ tk+1
- Thế phương trình (2-26) vào phương trình (2-20) ta được:
∫
(2-27)
( ) (2-28)
( ) (2-29) - Xét lực động đất tác động lên hệ một bậc tự do, hàm cưỡng bức được viết dưới dạng:
(2-30)
+ Với ak là gia tốc nền tại bước thời gian k - Vector ngoại lực:
{ } { } { } 2
3 (2-31)
- Thế phương trình(2-31)vào phương trình (2-29)ta được:
( ) 2 3 (2-32)
(2-33)
Với: (2-34)
( ) (2-35)
2 3 (2-36)
̇ (2-37)
Với: 2 ̇ 3 và ̇ { ̇
̈ } (2-38)
- Phương trình (2-33) và (2-37) là nghiệm của phương trình dao động xét về khối lượng, chuyển vị, vận tốc và gia tốc. [7]