Chương II Đường kính của một hình
II- Một số bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng mọi hình đường kính d đều có thể phủ bởi một hình vuông cạnh d.
Giải:
O A B
D C
Gọi a là đường thẳng không cắt F. Gọi M là điểm thuộc F sao cho khoảng cách từ M tới a là nhỏ nhất. Qua M kẻ đường thẳng a1 song song với a.
Gọi N là điểm thuộc F sao cho khoảng cách từ N tới a lớn nhất có thể. Qua N
kẻ đường thẳng a2 song song với a. Như vậy hình F nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi a1 và a2, hơn nữa khoảng cách giữa hai đường thẳng này không lớn hơn d.
Gọi b là đường thẳng vuông góc với a và không cắt F. Tạo các đường thẳng b1 và b2 tương tự như a1 và a2.
Hình F nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng a1, a2, b1, và b2. Các đường thẳng này cắt nhau tại 4 điểm là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Giả sử hình chữ nhật đó là ABCD và tâm của nó là O. Như vậy khoảng cách từ O tới mỗi cạnh của hình chữ nhật không lớn hơn d2. Gọi a1’, a2’ là hai đường thẳng phân biệt song song với a và O cách mỗi đường một khoảng d2. Tạo b1’, b2’ tương tự như a1’, a2’. Các đường thẳng này cắt nhau tại 4 điểm là 4 đỉnh của một hình vuông cạnh d chứa hình chữ nhật ABCD nên nó chứa F.
Bài 2: Cho F là một hình có vô hạn đường kính. Chứng minh rằng không thể phủ F bằng một đa giác có cùng đường kính.
Giải:
Giả sử có thể phủ F bằng một đa giác có cùng đường kính. Vì F có vô hạn đường kính nên đa giác phủ nó cũng có vô hạn đường kính. Điều này là vô lí vì đa giác chỉ có hữu hạn đường kính. Vậy điều giả sử là sai hay không thể phủ một hình có vô hạn đường kính bằng một đa giác có cùng đường kính.
Bài 3: Tìm số n nhỏ nhất sao cho nếu có n điểm trong hình chữ nhật 3×4 luôn có hai điểm trong chúng có khoảng cách nhỏ hơn 5.
Giải:
Chia hình chữ nhật 3×4 thành 5 phần mỗi phần có đường kính 5 hình vẽ.
Như vậy theo nguyên lý Dirichle với 6 điểm thì tồn tại ít nhất 2 điểm nằm trong 1 phần hay tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 5.
Với 5 điểm ta có thể lấy 5 điểm A, B, C, D, E như trên hình vẽ mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không nhỏ hơn 5.
Vậy n nhỏ nhất là n=6.
Bài 4: Tìm ví dụ một hình phẳng đường kính d không thể chia ra ba phần với đường kính nhỏ hơn d 3 2.
Giải:
Ví dụ đó là hình tròn đường kính d.
Khi chia hình tròn này thành 3 phần thì tồn tại một phần phải chứa ít nhất một phần ba hình tròn dạng như hình vẽ. Mà một phần ba hình tròn dạng như trên có đường kính là d 3 2 nên một trong các phần đó có đường kính không nhỏ hơn d 3 2.
Bài 5: Chứng minh rằng một hình đường kính d có thể phủ được bởi một hình tam giác đều cạnh d 3.
Giải:
Giả sử F là một hình có đường kính d.
Làm các bước tương tự như trong chứng minh định lí 1 ta có thể phủ F bởi 2 hình tam giác đều có các cạnh tương ứng song song và khoảng cách giữa hai cạnh tương ứng song song không lớn hơn d. Giả sử hai tam giác đó là H và H’ có độ dài đường cao lần
lượt là h và h’.
Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong F. Khi đó M nằm trong hai tam giác đều nói trên. Từ M kẻ các đường vuông góc lên các cạnh của hai tam giác có độ dài lần lượt là h1, h2, h3 và h1’, h2’, h3’ như hình vẽ. Ta có: hi+hi’≤d với i=1,2,3.
h3 h2
h1 M
Ta có S=12ah=12ah1+12ah2+12ah3
⇒h=h1+h2+h3
Tương tự h’=h1’+h2’+h3’
Suy ra: h+h’=(h1+h1’)+(h2+h2’)+(h3+h3’) ≤ d+d+d=3d
Như vậy ít nhất h hoặc h’ không lớn hớn 3d2hay cạnh của H hoặc H’
không lớn hơn d 3. Giả sử đó là tam giác H. Lại phủ H bằng một tam giác đều canh d 3. Khi đó tam giác này cũng phủ F.
Bài 6: Tìm số n nhỏ nhất sao cho từ n điểm trong một hình bất kỳ có đường kính d luôn tìm được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn d 32 .
Giải:
• Với hình tròn có đường kính d. Ba điểm là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này thì khoảng cách giữa hai điểm đôi một là
32
d .
• Ta sẽ chứng minh n=4.
Theo định lí ta có thể phủ một hình có đường kính d bằng một lục giác đều có khoảng cách giữa hai cạnh đối diện là d hoặc cạnh của nó là d 3.
Chia lục giác đều này thành 3 phần như hình vẽ, mỗi phần này có đường kính là d 32 . Như vậy với 4 điểm, theo nguyên lí Dirichle luôn tồn tại ít nhất 2 điểm cùng nằm trong một hình hay khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ hơn
32
d .
Bài 7: Chứng minh rằng một hình đường kính d luôn có thể phủ được
bởi một hình tròn bán kính d 3. Giải:
Như bài 6 ta có thể phủ một hình đường kính a bằng một lục giác đều cạnh d 3. Lục giác này nội tiếp trong đường tròn bán kính d 3. Như vậy F cũng phủ bởi hình tròn này.