CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH CẦU BẰNG PHƯƠNG PHÁP DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN
2.2. Một số phương pháp xác định thông số động lực học sử dụng trong quan trắc sức khỏe cầu
2.2.4. Xác định các thông số dao động kết cấu bằng phương pháp dao động ngẫu nhiên
Kỹ thuật xác định các thông số dao động từ phương pháp kích thích dao động ngẫu nhiên có nhiều ưu điểm hơn kích thích bằng phương pháp lực như: biên độ dao động kết cấu nhỏ rất phù hợp trong việc phân tích kết cấu làm việc trong giai đoạn tuyến tính, có thể quan trắc được liên tục và giá thành rất thấp. Tuy nhiên phương pháp này cũng tồn tại nhược điểm trong một số kết cấu có độ cứng lớn, cầu nhịp ngắn tỷ số giữa tính hiệu và nhiễu khá nhỏ làm cho quá trình phân tích khó khăn và độ tin cậy không cao.
Sự làm việc của một cây cầu dưới tác động của gió, địa chấn và các tải trọng động khác phụ thuộc vào đặc tính cấu trúc của nó chẳng hạn như khối lượng, độ cứng, sự tắt dần và tải trọng phân bố của nó. Mặc dù các thuộc tính này có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng các mô hình phân tích phức tạp, các ứng xử thực tế của cây cầu vẫn cấn được xác minh từ những kiểm tra rung động với kết cấu thật. Kiểm tra dao động của kết cấu thật sẽ tạo điều kiện cho việc xác định đặc điểm dao động kết cấu như: tần số tự nhiên, hệ số cản và biểu đồ mẫu (mode shape), có số lượng kết quả làm cơ sở để xác nhận và / hoặc cập nhật các mô hình phân tích của cấu trúc, như cung cấp các thuộc tính cấu trúc thực tế và điều kiện biên. Hơn nữa, đo lường và phân tích thường xuyên những đặc điểm này sẽ tạo điều kiện cho việc đánh giá cấu trúc, giám sát an toàn và sức khỏe.
Hai phương pháp phân tích đặc trương động học kết cấu dựa vào kỹ thuật dao động ngẫu nhiên phổ biến là phương pháp chia khoản ngẫu nhiên (Random Decrement) [7]
kết hợp với Miền thời gian Ibrahim (RD-ITD) [8] và Kỹ thuật kích thích tự nhiên (NExT) [5] kết hợp với Thuật toán phân tích theo giá trị riêng (NExT-ERA) [9][13].
Một vài thuật toán phân tích đặc trưng động học của kết cấu dựa vào kỹ thuật dao động ngẫu nhiên được áp dụng như Random Decrement Technique hay SSI (stochastic state space system identification). Đây là những thuật toán chỉ sử dụng thông tin từ phản ứng kết cấu (thông tin đầu ra) để xác định các đặc tính dao động (tần số dao động riêng, dạng dao động và hệ số cản) của kết cấu.
2.2.4.1. Phương pháp chia khoảng ngẫu nhiên (Random Decrement)
Phương pháp chia khoảng ngẫu nhiên (Random Decrement - RD) [7] dựa trên giả định rằng phản ứng động của một cấu trúc dưới môi trường rung động kích thích tại một thời điểm tức thì t0 đến t + t0 có thể được chia thành ba các thành phần:
1. Phần xác định của phản ứng bước do dịch chuyển ban đầu tại thời điểm t = t0. 2. Phần xác định của hàm đáp ứng xung do vận tốc ban đầu v0.
3. Phần ngẫu nhiên do kích thích ngẫu nhiên áp dụng cho cấu trúc trong khoảng thời gian t0 đến t + t0.
Quy trình RD bắt đầu bằng cách chọn một giá trị ban đầu thích hợp của phản ứng, từ đó các phân đoạn cách đều nhau của biểu đồ gia tốc (t + t0 ) được trích xuất. Những phân đoạn này sau đó được tính trung bình để tạo ra các phần ngẫu nhiên và giữ lại chỉ phần xác định của phản ứng.
Trong phương trình (2.9), chỉ ra rằng nếu y (t) là một biểu đồ gia tốc ngẫu nhiên lấy mẫu từ ti đến ti+τ, sau đó dao động tự do (dao động tắt dần) đáp ứng x(τ) thu được sau khi lấy trung bình N bộ gia tốc với thời gian bằng nhau. Để tránh tạo ra phần xác định trung bình, phân đoạn biểu đồ gia tốc có thể được thực hiện bắt đầu ngay với các điều kiện sau: (1) không đổi mức độ, sẽ cung cấp dao động tắt dần, (2) độ dốc dương và mức 0, sẽ tạo ra phản ứng tắt dần dương, (3) độ dốc âm và mức 0, sẽ tạo ra phản ứng tắt dần âm.
x(τ) = 1
𝑛∑𝑁𝑖=1𝑦(𝑡𝑖 + 𝜏) (2.9) Nếu kích thích một hệ thống tuyến tính bởi phép khử Gaussian, sau đó tín hiệu RD phát sinh ngẫu nhiên của phản hồi đó sẽ có đặc điểm tương tự như một phản ứng dao động tự do của hệ thống tuyến tính đó dưới trạng thái xác định ban đầu.
2.2.4.2. Miền thời gian Ibrahim (ITD)
Kết hợp với Tắt dần ngẫu nhiên, Miền thời gian Ibrahim (ITD) [8] được sử dụng.
Trong phương pháp này, tần số tự nhiên, hệ số cản và hình dạng dao động (mode shape) được ước tính trực tiếp từ phản ứng tắt dần tự do của các phân rã ngẫu nhiên. Hãy xem
29
xét một ma trận phương trình tắt dần tự do X với bậc tự do được đo tại các vị trí phản ứng q trong thời gian L:
X = ФΛ (2.10) Với
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
L L
q q q L
x t x t x t
x t x t x t
X
x t x t x t
, (2.11)
11 12 12
21 22 22
1 2 2
N N
q q q N
, (2.12)
Và
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
2 1 2 2 2
L
L
N N N L
t t t
t t t
t t t
e e e
e e e
e e e
(2.13)
Trong phương trình (2.10), giả sử rằng 2N ≤ q ≤ L. Ma trận Ф là ma trận vectơ riêng có phần tử Фij biểu thị thành phần vectơ thứ j đo tại vị trí i. Ma trận Λ là ma trận giá trị riêng có phần tử eλjtk là kết quả của giá trị riêng thứ j và bước thứ k.
Bây giờ, hãy xem xét tập dữ liệu L thứ hai, được đo cùng một lúc q vị trí, nhưng đã thay đổi khoảng thời gian Δt đối với lần đầu lấy mẫu. Phương trình mới bây giờ là:
. X
(2.14) Trong phương trình. (2.14), X
hiện là ma trận của dao động tắt dần với phần tử của x ti( )k x ti( k t)
và phần tử ma trận
trở thành ij ij.ej t
. Theo mối quan hệ trong các phương trình. (2.10) và (2.14), ta có thể định nghĩa một ma trận hệ thống A với kích thước qxq liên kết với ma trận vectơ riêng ban đầu với ma trận đã dịch chuyển như sau:
. A
(2.15) Sau một số thao tác ma trận, và bằng cách thay thế và
trong phương trình (2.15) với các phương trình. (2.10) và (2.14) tương ứng, phương trình thu được như sau:
.
A X X
(2.16)
Phương trình (2.16) nêu rõ ma trận hệ thống A có thể được xác định thông qua kỹ thuật giả nghịch đảo bằng cách chỉ cần biết dao động tắt dần ban đầu và ma trận đáp ứng thay đổi của nó. Hơn nữa, sử dụng định nghĩa của trong phương trình (2.14), phương trình (2.15) có thể được viết lại thành:
0
j t
A e I j
(2.17) Phương trình (2.17) là bài toán giá trị riêng chuẩn, liên quan đến mỗi vectơ riêng
j . Giải phương trình. (2.17) sẽ mang lại vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng của ma trận hệ thống A.
2.2.4.3. Kỹ thuật dao động tự nhiên (Natural Excitation Technique-NExT)
Nguyên lý cơ bản của NexT [5] là hàm tương quan giữa hai phản ứng dưới tác dụng dao động ngẫu nhiên giống như dạng của phản ứng hàm xung hoặc một dao động tự do của kết cấu.
Phương trình dao động của hệ có n bậc tự do được biễu diễn dưới dạng ma trận như sau:
[ ]{ ( )} [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} m x t c x t k x t { ( )} f t (2.18) Trong đó [m] ma trận khối lượng, [c] ma trận cản, [k] ma trận độ cứng, { ( )}, { ( )}, { ( )}x t x t x t lần lượt là vector gia tốc, vận tốc và chuyển vị và f(t) là vector lực.
Giả thiết rằng hệ số cản tỷ lệ, phương trình (2.18) viết dưới dạng mô hình tọa độ như sau:
2 1
2 T{ ( )}
r r r r r r r
n n r
q q q f t
m
(2.19)
Trong đó ký hiệu r là giá trị tương ứng với mode thứ r, q q q, , lần lượt là gia tốc, vận tốc và chuyển vị trong mô hình tọa độ, là hình dạng dao động, n là tần số tự nhiên và m là khối lượng mô hình. Những phương trình này có thể giải bằng phương pháp tích phân của tích dưới dạng như sau
1
( ) ( )
n r T t r T r
r
x f g t d
(2.20)
Phản ứng xik tại vị trí i gây ra bởi lực tác dụng fk(t) tại vị trí k, có thể được biểu diễn như sau
1
( ) ( )
n t
r r r
ik i k k
r
x f g t d
(2.21)
31
Trong đó ir là thành phần thứ i của vector hình dạng,
( ) (1/ ) r nrtsin( )
r r r r
d d
g t m e t biểu diễn hàm phản ứng xung tương tứng với mode r, drlà tần số dao động có hệ số cản của mode r.
Khi fk(t) là hàm Dirac delta phương trình (2.21) có thể viết thành
1
sin( )
r r n
r r
n
t r
i k
ik r r d
r d
x e t
m
(2.22)
Giả thiết fk(t) là hàm ngẫu nhiên trắng (white noise), tương quan chéo giữa phản ứng tại điểm i và điểm j kích thích bởi lực đặt tại điểm k được định nghĩa như sau
( ) ( )
k k k
ij i j
R E x tT x t (2.23) Tương quan chéo giữa hai phản ứng ngẫu nhiên biễu diễn như sau
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
t t T
n n
k r r s s r s
ij i k j k k k
r r
R g t T g t E f f d d
(2.24)
Dựa trên giả thiết fk(t) là hàm ngẫu nhiên trắng nên hàm tương có dạng như sau
k( ) k( ) k ( )
E f f (2.25) Với (t) là hàm Dirac delta, phương trình (7) có thể rút gọn như sau
1 1
( ) ( )
n n t
k r r s s r s
ij k i k j k
r r
R g T g d
(2.26)
Từ phương trình (2.21 & 2.26) chứng minh được rằng hàm tương quan chéo giữa hai kết quả phản ứng dưới lực kích thích có dạng nhiễu trắng có thể biểu diễn dưới dạng dao động tắt dần hình sin nhân với hệ số . Vì vậy những hàm dao động hình sin tắt dần có tính chất tương tự như hàm xung.