Chương III: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRÀO LƯU CÔNG SUẤT 3.1. Xây dựng các hệ phương trình
3.2. Phương pháp Newton – Raphson
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 32 Phương pháp Newton - Raphson được sử dụng phổ biến để giải các phương trình dòng công suất của hệ thống điện. Khai triển chuỗi Taylor đối với hàm có hai hay nhiều biến là cơ sở của phương pháp này.
1. Cơ sở toán học:
a. Trường hợp có một ẩn số:
Xét một hàm phi tuyến y = f(x). Bài toán đặt ra là xác định nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.
Ý tưởng của phương pháp Newton-Raphson là sử dụng phương pháp tính toán lặp từ một biến trạng thái ban đầu được chọn như sau:
Xuất phát từ một điểm M0 có x0 lân cận nghiệm thực, thay thế đường cong lân cận điểm M0 bằng đường tiếp tuyến của đường cong tại M0 – tuyến tính hóa.
Nghiệm của đường thẳng tiếp tuyến y – y0 = f’(x0).(x – x0) xác định được x1 là xấp xỉ của nghiệm thực sau:
x1 = - 𝑦0
𝑓′(𝑥𝑜) + x0 (2.1)
Từ x1 lại xác định được điểm M1(x1, y1) lân cận nghiệm thực. Từ điểm M1 thay thế đường cong bởi đường thẳng tiếp tuyến với f(x) tại M1 ta lại xác định được x2 là xấp xỉ mới:
x2 = - 𝑦1
𝑓′(𝑥1) + x1 (2.2)
Tiếp tục thực hiện bước trên đến khi tìm được xấp xỉ thứ (k+1) là xk+1 từ xk: Xk+1 = - 𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘) + xk (2.3)
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 33 Như vậy, để giải phương trình đã cho, phương trình lặp cần giải là:
f’(xk)Δxk = - f(xk) (2.4) trong đó Δxk = xk+1 - xk
Với mỗi xk, Δxk tương ứng hoàn toàn xác định được, nên ta sẽ có xấp xỉ tiếp theo xk+1 (chú ý phải thỏa mãn điều kiện f’(xk) ≠ 0.
Hình 2.1. Minh họa phương pháp Newton-Raphson a. Hệ phương trình phi tuyến:
Xét hệ phương trình phi tuyến F(x) có nhiểu biến trạng thái X = [x1 x2…xn]T như sau:
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 34 F(x) = [
𝑓1 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛) 𝑓2 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛)
… 𝑓𝑛 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛)
] (2.5)
Khai triển Taylor các hàm fi(X) (bỏ đi các thành phần bậc cao - tuyến tính hóa), ta có:
[
𝑑𝑓1 𝑑𝑥1 𝑑𝑓2 𝑑𝑥1
…
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥1
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥2 𝑑𝑓2 𝑑𝑥2
…
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥2
…
……
…
𝑑𝑓1 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑓2 𝑑𝑥𝑛
. .
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥𝑛]
[
∆𝑥1
∆𝑥2
…
∆𝑥𝑛
] = - [
𝑓1 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛) 𝑓2 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛)
… 𝑓𝑛 (𝑥1 ,𝑥2,….,𝑥𝑛)
] (2.6)
S Đ
Đ S
Hình 2.2. Sơ đồ khối phương pháp Newton-Raphson
Chọn xấp xỉ đầu Gán i = 0
Tính ma trận Jacobian J(X(i))
i: = i + 1 Giải hệ phương trình
ΔX(i) = -[ J(X(i))]-1.F(X(i))
Tính nghiệm xấp xỉ X(i+1) = X(i) + ΔX(i)
ΔX(i) < ε ΔX(i) < N
Không hội tụ Dừng và in kết quả
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 35 Hệ phương trình lặp tổng quát thỏa mãn điều kiện detJ ≠ 0 có dạng:
F’(X(k)).ΔX(k) = - F(X(k)) (2.7) Trong đó : + F’(X(k)) là ma trận Jacobian của hệ
+ F(X(k)) là vector biến hàm
+ ΔX(k) là vector sai số biến trạng thái.
J = [
𝑑𝑓1 𝑑𝑥1 𝑑𝑓2 𝑑𝑥1
…
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥1
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥2 𝑑𝑓2 𝑑𝑥2
…
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥2
…
……
…
𝑑𝑓1 𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑓2 𝑑𝑥𝑛
. .
𝑑𝑓𝑛 𝑑𝑥𝑛]
(2.8)
Điều kiện để quá trình lặp dừng là F(X) = 0. Tuy nhiên, do X là nghiệm gần đúng của hệ phương trình, nên quá trình lặp sẽ kết thúc khi ở bước lặp cuối cùng k+1 nào đó thỏa mãn |F(Xk+1)| ≤ ε với ε đủ nhỏ.
2. Ứng dụng trong giải tích lưới điện:
* Xét hệ thống có n+1 nút (trừ nút cơ sở):
Nếu đường dây nối giữa nút i và j có tổng dẫn nối tiếp là Yij̇ : Yij̇ = Yij∠𝜃𝑖𝑗 = Gij + jBij
Điện áp nút được biểu diễn dưới dạng:
U̇i = Ui∠𝛿𝑖= Ui(cos𝛿𝑖 + jsin𝛿𝑖) Công suất phức liên hợp tại nút i:
Pi – jQi = Ûi. ∑nj=1Yij̇ .U̇j = ∑𝑛𝑗=1𝑌𝑖𝑗𝑈𝑖𝑈𝑗∠(𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 − 𝛿𝑖) (2.9)
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 36 Khai triển phương trình (2.9) và cân bằng phần thực và ảo ta có:
Pi = ∑𝑛𝑗=1𝑌𝑖𝑗𝑈𝑖𝑈𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 − 𝛿𝑖) (2.10)
Qi = - ∑𝑛𝑗=1𝑌𝑖𝑗𝑈𝑖𝑈𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 − 𝛿𝑖) (2.11) Tách riêng thành phần i của (8) và (9) ta có:
Pi = Ui2.Gii + ∑𝑛𝑗=1𝑌𝑖𝑗𝑈𝑖𝑈𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗 − 𝛿𝑖)
𝑗≠𝑖
(2.12)
Qi = - Ui2.Bii - ∑𝑛𝑗=1𝑌𝑖𝑗𝑈𝑖𝑈𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑖𝑗 + 𝛿𝑗− 𝛿𝑖)
𝑗≠𝑖
(2.13)
Sự khác nhau giữa công suất phản kháng và tác dụng đã cho và công suất phản kháng và tác dụng tính được ở bước lặp bất kỳ xác định theo công thức:
ΔPi = Pi,d – Pi,t (2.14) ΔQi = Qi,d – Qi,t (2.15) Trong đó:
• Pi,d vàQi,d là công suất tác dụng và phản kháng đã cho ở nút i
• Pi,t vàQi,t là công suất tác dụng và phản kháng tính được tại nút i theo công thức (10) và (11).
Trong n+1 nút của hệ thống ta có nút cân bằng (giả sử đánh số 0) có các giá trị đã biết là U0 và 𝛿0. Vậy lưới điện còn lại n nút: nc nút PQ và ng nút PV.
- Các nút PV không cho Q nên ta loại bỏ phương trình ΔQ, chỉ có biến trạng thái δ.
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 37 - Các nút PQ lập cả 2 phương trình ΔP và ΔQ, có hai biến trạng thái là U và δ.
Như vậy hệ sẽ có (2nc + ng) = (n+nc) phương trình, (n+nc) ẩn. Các biến nút còn lại là Q ở nút PV và P,Q ở nút cân bằng có thể tính dược dể dàng sau khi đã giải hệ phương trình.
Theo phương pháp Newton-Raphson ta sẽ có n phương trình ΔPi và nc phương trình ΔQi
𝛥𝑃𝑖 = ∑ 𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑈𝑗 𝒏𝒄
𝑗=1 . ∆𝑈𝑗 + ∑ 𝜕𝑃𝑖
𝜕𝛿𝑗
𝒏𝑗=1 . ∆𝛿𝑗 (i=1,n) Nhân và chia 𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑈𝑗 . ∆𝑈𝑗 với các module điện áp tương ứng của chúng ta nhận được:
ΔPi = ∑ 𝑈𝑗 𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑈𝑗.∆𝑈𝑗
𝑈𝑗 𝒏𝒄
𝑗=1 . + ∑ 𝜕𝑃𝑖
𝜕𝛿𝑗
𝒏𝑗=1 . ∆𝛿𝑗 (i=1,n) (2.16) Tương tự với ΔQi ta có:
ΔQi = ∑ 𝑈𝑗𝜕𝑄𝑖
𝜕𝑈𝑗.∆𝑈𝑗
𝑈𝑗 𝒏𝒄
𝑗=1 + ∑ 𝜕𝑄𝑖
𝜕𝛿𝑗
𝒏𝑗=1 . ∆𝛿𝑗 (i=1,nc) (2.17) Các phương trình cân bằng công suất của hệ thống được viết tổng quát như sau:
[ ΔP1
⋮ ΔP𝐧 ΔQ1
⋮ ΔQ𝐧𝐜]
=
[
𝑈1.𝜕𝑃1
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑃1
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑃𝜕𝛿1
1 … 𝜕𝑃1
𝜕𝛿𝒏
⋮ ⋮ ⋮
𝑈1.𝜕𝑃𝒏
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑃𝒏
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑃𝜕𝛿𝒏
1 … 𝜕𝑃𝒏
𝜕𝛿𝒏
𝑈1.𝜕𝑄1
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑄1
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑄𝜕𝛿1
1 … 𝜕𝑄1
𝜕𝛿𝒏
⋮ ⋮ ⋮
𝑈1.𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄.𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝛿1 … 𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝛿𝒏] .
[
∆𝑈1 𝑈1
⋮
∆𝑈𝑛𝑐 𝑈𝑛𝑐
∆𝛿1
⋮
∆𝛿𝑛]
(2.18)
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 38 Trong đó ma trận J =
[
𝑈1.𝜕𝑃1
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑃1
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑃𝜕𝛿1
1 … 𝜕𝑃1
𝜕𝛿𝒏
⋮ ⋮ ⋮
𝑈1.𝜕𝑃𝒏
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑃𝒏
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑃𝜕𝛿𝒏
1 … 𝜕𝑃𝒏
𝜕𝛿𝒏
𝑈1.𝜕𝑄1
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄. 𝜕𝑄1
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑄𝜕𝛿1
1 … 𝜕𝑄1
𝜕𝛿𝒏
⋮ ⋮ ⋮
𝑈1.𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝑈1 … 𝑈𝒏𝒄.𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝑈𝒏𝒄 𝜕𝑄𝜕𝛿𝒏𝒄
1 … 𝜕𝑄𝒏𝒄
𝜕𝛿𝒏]
là ma trận
Jacobian của hệ thống.
Phương trình (2.18) có thể viết gọn hơn như sau:
[∆𝑃
∆𝑄] = [𝐽1 𝐽2
𝐽3 𝐽4] [∆𝑈/𝑈
∆𝛿 ] (2.19)
Trong đó J1, J2, J3, J4 là các ma trận con của ma trận Jacobian. Các phần tử trong các ma trận con được xác định theo các phương trình công suất (2.11) và (2.12).
Để xác định các phần tử không đường chéo của ma trận con J1 cần lấy đạo hàm riêng 𝜕𝑃𝑖/𝜕𝑈𝑗 và sau đó nhân với Uj sẽ nhận được:
Uj∂Pi
∂Uj = YijUiUjcos(θij+ δj− δi) (2.20) Các phần tử đường chéo của ma trận con J1 được xác định tương tự:
Ui∂Pi
∂Ui = Ui{2Ui.Gii + ∑nj=1YijUjcos(θij+ δj− δi)
j≠i
} (2.21)
Các phần tử không đường chéo của ma trận J2 được xác định bằng:
∂Pi
∂δj = −YijUiUjsin(θij+ δj − δi) (2.22)
∂Pi
∂δi = ∑nj=1YijUiUjsin(θij+ δj− δi)
j≠i
= − ∑ ∂Pi
∂δj nj=1
j≠i
(2.23)
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 39 Từ phương trình (2.12) ta nhận được các công thức đối với các phần tử không đường chéo và đường chéo của ma trận con J3 như sau:
𝑈𝑗∂Qi
∂Uj = −YijUiUjsin(θij+ δj − δi) (2.24) Ui∂Qi
∂Ui = - Ui{2Ui.Bii + ∑nj=1YijUjcos(θij+ δj− δi)
j≠i
} (2.25)
Các phần tử không đường chéo và đường chéo của ma trận con J4 được xác định theo các công thức sau:
∂Qi
∂δj = −YijUiUjcos(θij+ δj− δi) (2.26)
∂Qi
∂δi = ∑nj=1YijUjcos(θij+ δj− δi)
j≠i
= − ∑ ∂Qi
∂δj nj=1
j≠i
(2.27)
Sơ đồ khối thuật toán Newton-Raphson để tính toán chế độ xác lập của lưới điện được thể hiện trong hình 2.3.
Nhược điểm của phương pháp này là yêu cầu bộ nhớ máy tính, nhưng ưu điểm lớn là tốc độ hội tụ nhanh nếu sai số ban đầu nhỏ ( chênh lệch giữa nghiệm đầu và nghiệm thực). Trái lại nếu sai số ban đầu lớn, quá trình lặp có thể phân kì. Nếu không xác định được xấp xỉ ban đầu thỏa mãn, ta có thể chọn giá trị điện áp các nút PQ bằng định mức, điện áp các nút PV theo giá trị đã cho và góc pha của các nút lấy bằng 0 (bằng nút cân bằng).
Tuy thời gian tính mỗi bước lặp của phương pháp Newton-Raphson lớn, nhưng số bước lặp yêu cầu thường nhỏ, hầu như không phụ thuộc vào số nút của lưới điện tính toán. Do đó, sử dụng phương pháp này có lợi cho tính toán hệ thống điện có số nút bất kỳ.
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 40
Đ S
Hình 2.3. Sơ đồ khối áp dụng phương pháp Newton-Raphson trong tính toán trào lưu công suất
Nhập số liệu:
-Đọc dữ liệu vào, ma trận tổng dẫn Y.
-Thiết đặt giá trị ban đầu của điện áp, góc pha tất cả các nút.
Tính toán độ lệch công suất tác dụng ΔP và độ lệch công suất phản kháng ΔQ
Kết quả hội tụ
Thành lập ma trận Jacobian
Giải phương trình ma trận Jacobian tìm giá trị điện áp, góc pha các nút
Cập nhật giá trị điện áp, góc pha mới cho các nút
Kết quả
Học viên thực hiện: Phạm Đình Sáng Trang 41
CHƯƠNG IV
TÁI CẤU TRÚC LĐPP SỬ DỤNG CÁC GIẢI THUẬT TÌM KIẾM TỐI ƯU