CHƯƠNG 2. XÁC ĐỊNH ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.3 Phương pháp CFD và các lý thuyết dòng chảy
CFD - Computational Fluid Dynamics là một lĩnh vực khoa học sử dụng các phương pháp số kết hợp với công nghệ mô phỏng trên máy tính để giải quyết các bài toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của môi trường, đặc tính lý hóa của các quá trình trong môi trường đang xét, đặc tính sức bền của môi trường, đặc tính nhiệt động, đặc tính động học, hay đặc tính động lực học hoặc khí động lực học, đặc tính lực, hoặc lực mô-men và tương tác của các môi trường với
15 nhau,… phụ thuộc vào từng đối tượng và phạm vi cụ thể của từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa học mà CFD có thể ứng dụng được.
CFD được phát triển, ứng dụng và mang lại hiệu quả cao trong các lĩnh vực cơ học môi trường chất lưu (khí, lỏng, plasma,…) và môi trường biến dạng, đàn hồi,… Trên thực tế, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa học tiên tiến và công nghệ cao cũng như các ngành khoa học phục vụ dân sinh. Chẳng hạn, CFD được ứng dụng để mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói chung. CFD được ứng dụng vào ngành Đại dương học để mô phỏng tìm quy luật các dòng biển nóng, lạnh và tác động của chúng lên khí hậu toàn cầu,… CFD được ứng dụng trong y tế để mô phỏng quá trình hoàn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng, toàn bộ cơ thể nói chung,…
2.3.2 Hệ Phương trình Navier-Stockes
Hệ Phương trình Navier-Stockes giúp miêu tả và tính toán dòng chảy của các chất lỏng và khí, gọi chung là lưu chất. Những Phương trình này được thiết lập trên cơ sở biến thiên động lượng trong những thể tích vô cùng nhỏ của chất lưu.
Dựa trên định luật 2 Newton, hệ phương trình bảo toàn động lượng của phần tử chất lỏng không nén được chuyển động trong hệ tọa độ Descartes được viết dưới dạng chỉ số như sau:
+ = -
+
(2.1)
Trong đó:
là thành phần vận tốc theo 3 phương x, y, z p là áp suất
ν là hệ số nhớt động học t là thời gian
là 3 thành phần nguồn của phần tử chất lỏng theo 3 phương x, y, z
= 2ν là thành phần ứng suất nhớt
Với chất lỏng Newton, là tenso vận tốc biến dạng:
=
+
) (2.2) , là thành phần vận tốc theo phương (i, j = x, y, z).
Phương trình bảo toàn khối lượng cho chất lỏng nhớt, không nén được viết trong hệ tọa độ Descartes như sau:
+
+
= 0 hoặc div (u) = 0 (2.3) Hai phương trình (2.1) và (2.3) kết hợp thành hệ Phương trình Navier-Stokes cho chất lỏng nhớt, không nén được dùng để mô phỏng chuyển động của phần tử chất lỏng, hệ bao gồm 4 phương trình và 4 ẩn số là , và p.
16 2.3.3 Hệ Phương trình Reynolds Navier-Stokes trong tính toán thủy
động lực học chất lỏng
Hệ phương trình (2.1) và (2.3) chỉ có thể giải được bằng các phương pháp toán học thông thường với một số trường hợp dòng chảy tầng có điều kiện biên đơn giản như dòng phẳng Poiseuille, dòng phẳng Couette,… Đối với các trường hợp dòng có rối, các thành phần vận tốc và áp suất tại một điểm có độ lớn, phương chiều biến đổi liên tục theo thời gian, ngoài thành phần dọc chiều dòng chảy còn có các thành phần vận tốc, áp suất ngang gây xáo trộn các phần tử chất lỏng. Vậy nên bản chất chuyển động của dòng chảy rối là dòng không ổn định.
Để giải được hệ phương trình trên trong trường hợp dòng chảy rối, người ta thường dùng một số phương pháp giải sau:
- Mô hình dòng chảy rối cho hệ phương trình trung bình Reynold Navier Stokes (RANS).
- Mô phỏng dòng chảy rối là chuyển động của các xoáy nước (LES).
- Mô phỏng dòng chảy rối bằng cách tính toán trực tiếp các thông số trung bình của dòng chảy và các thành phần dao động của vận tốc và áp suất (DNS).
Trong những phương pháp trên thì phương pháp mô hình dòng chảy rối cho hệ phương trình RANS là được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật tính toán hiện nay. Hệ phương trình RANS được viết như sau:
Phương trình liên tục:
̅ + ̅
+ ̅
= 0 (2.4) Trong đó: ̅, ̅, ̅ là các thành phần vận tốc trung bình thời gian theo 3 phương x, y, z.
Phương trình bảo toàn động lượng:
̅
+ ̅ ̅ = - ̅
+ ̅
- ̅̅̅ ̅̅̅
(2.5) Trong đó: , là các thành phần vận tốc mạch động xung quanh các giá trị trung bình. ̅ = 2ν ̅ với ̅ là vận tốc biến dạng trung bình và ̅ ̅ là tenso ứng suất Reynolds.
- ̅ ̅ = [
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
] (2.6) Hai Phương trình (2.3) và (2.4) kết hợp thành hệ phương trình RANS mô phỏng chuyển động rối của phần tử chất lỏng không nén được phụ thuộc theo không gian và thời gian. Ta thấy hệ Phương trình này có 4 phương trình và 10 ẩn số, đó là 4 đại lượng ̅, ̅, ̅, ̅ và 6 thành phần ứng suất rối Reynolds ̅ ̅, do vậy cần phải có thêm 6 phương trình nữa để có thể tìm được các đại lượng đặc trưng của dòng chảy là vận tốc và áp suất.
17 2.3.4 Các mô hình rối
Để có thể tính toán được hệ phương trình (2.3) và (2.4), mô hình dòng chảy rối được phát triển để mô tả được ứng suất rối Reynolds. Các phương trình cần được thêm vào để đóng kín hệ phương trình RANS. Mức độ phức tạp của của một mô hình dòng chảy rối được đánh giá bằng số lượng phương trình vi phân và số lượng các hằng số thực nghiệm thêm vào để mô tả dòng chảy rối. Căn cứ vào số lượng các yếu tố trên, mô hình dòng chảy rối được phân thành bốn mức độ từ cơ bản đến phức tạp như sau:
Mô hình đại số: Đây là mô hình đơn giản nhất của mô hình dòng chảy rối.
Mụ hỡnh này dựa trờn giả thiết của Boussinesq về hệ số nhớt rối àt (giỏ trị này khỏc với hệ số nhớt động lực học à) để tớnh toỏn cỏc giỏ trị ứng suất nhớt Reynolds. Đại diện cho mô hình này là mô hình chiều dài xáo trộn.
Mô hình một phương trình: Những mô hình dựa trên giả thuyết của Boussinesq [1] nhưng phát triển thêm một phương trình để mô tả đại lượng động năng rối k = ̅ ̅ = [ + + ]. Mô hình của Prandtl và Kolmogorov hay mô hình Spalart-Allmaras là những mô hình rối phổ biến thuộc dạng này.
Mô hình hai phương trình: Mô hình này gồm hai phương trình. Một phương trình mô tả đại lượng được thông qua đại lượng hệ số phân tán rối ɛ hay hệ số phân tán riêng ω và một phương trình mô tả đại lượng động năng rối k. Những phương trình này có thể được suy ra từ thực nghiệm hoặc cũng có thể nhận được từ lý thuyết. Hai mô hình k - ε và mô hình k - ω là hai mô hình phổ biến trong mô hình rối với hai phương trình. Ngoài ra còn có thể kể đến những mô hình khác thuộc dạng này như mô hình ứng suất đại số, mô hình ứng suất Reynolds không tuyến tính.
Mô hình bậc hai: Với mô hình này, tất cả các thành phần của ứng suất rối Reynolds được mô tả bằng các phương trình vi phân từng phần như mô hình ứng suất chuyển động, mô hình đại số ứng suất Reynolds…
2.3.5 Tổng quan về lý thuyết lớp biên
Trong động lực học chất lỏng, theo định luật lớp biên (law of the wall) [6]
thì vận tốc trung bình của dòng rối tại một điểm sẽ tỷ lệ với logarit của khoảng cách từ điểm đó đến tường hoặc ranh giới của vùng chất lỏng. Định luật này thường áp dụng để xác định tính chất dòng chảy gần biên (thường < 20% chiều cao dòng chảy). Với là chỉ số thể hiện độ dày của lớp lưới đầu tiên:
= (2.7) = √ (2.8) Trong đó là vận tốc ma sát có thể được sử dụng để xác định vận tốc không thứ nguyên, là ứng suất cắt tại biên, y là khoảng cách từ phần tử đang xét đến biên. Giá trị của lớp lưới đầu tiên là rất quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến mô tả dòng chảy gần tường.
Vận tốc không thứ nguyên được cho bởi công thức:
18 = (2.9)
Hình 2.3: Các vùng không gian định nghĩa dòng chảy
Trong định luật lớp biên, xác định ra 3 vùng không gian cần lưu ý thể hiện đặc trưng của dòng chảy gần lớp biên:
Viscous Sublayer là vùng không gian được xác định nhỏ hơn 5 đơn vị lớp biên (5 lớp lưới đầu tiên cần tường), theo đó yêu cầu giá trị < 5 để nắm bắt đúng hiện tượng. Lớp này chịu ảnh hưởng bởi nhớt gần tường nên có thể coi ứng suất cắt của chất lỏng bằng ứng suất cắt tại lớp biên ( ). Tại vùng này thì ứng suất gây ra bởi nhớt sẽ quyết định vận tốc dòng chảy, do đó:
= (2.10) Buffer Layer nằm trong khoảng từ 5 đến 30 đơn vị lớp biên (5 đến 30 lớp lưới gần tường) yêu cầu trong khoảng từ 5 đến 30, thường được coi là vùng đệm hay vùng chồng chéo vừa thể hiện tính chất lớp biên, lại vừa có rối như vùng chất lỏng xa lớp biên.
Logarithmic layer là vùng xa lớp biên, nơi mà ứng suất rối chiếm ưu thế tác động lên dòng chảy, khi đó vận tốc dòng được cho bởi công thức:
= × ln (E ) (2.11) Trong đó: k là hằng số Von Karman có giá trị bằng 0.41 và E = 9.8 với lớp biên nhẵn.
Ngày nay, việc sử dụng các mô hình rối là rất quan trọng trong hầu hết các bài toán mô phỏng CFD. Tuy nhiên một số mô hình rối như k – ε thực hiện rất tốt việc mô tả dòng chảy rối tự do nhưng chưa thể hiện rõ bản chất các hiện tượng của dòng rối tại khu vực gần lớp biên. Việc áp dụng lý thuyết lớp biên vào bài toán mô phỏng phải thỏa mãn điều kiện về tương ứng với mô hình rối được sử dụng. Trong mô phỏng CFD, điều kiện đối với một số mô hình rối như sau:
- k - ɛ tiêu chuẩn: 10 ≤ ≤ 200 - k - SST: ≤ 1
- Spalart–Allmaras: 1 ≤ ≤ 30
Để giải một bài toán CFD, việc chọn mô hình rối phù hợp là rất quan trọng, nó phụ thuộc vào nhu cầu của bài toán muốn giải quyết vấn đề gì. Vì vậy, để giải quyết vấn đề lớp biên thì tối ưu nhất là chọn mô hình rối k - SST hoặc Spalart–
Allmaras với điều kiện < 5 cũng là điều kiện để nắm bắt được hiện tượng của khu vực Viscous Sublayer.
19