Chữỡng 2. Cỹc trà trong hẳnh hồc
2.4. Mởt số b i toĂn chồn lồc
B i toĂn 2.1. Cho tam giĂc ABC. Qua A tẳm và trẵ ữớng th¯ng d cưt cÔnh BC cừa tam giĂc sao cho tờng cĂc khoÊng cĂch tứ B v C án d cõ giĂ trà nhọ nhĐt.
Chựng minh. Gồi D l giao iºm cừa d v cÔnh BC, v³ BB0, CC0 vuổng gõc vợi d tÔi B0, C0. Vợi mồi và trẵ cừaD trản cÔnh BC ta cõ
SBAD+SCAD =SABC. Suy ra 1
2AD.BB0+ 1
2AD.CC0 =S, k²o theo BB0+CC0 = 2S
AD. Do â, BB0+CC0 nhọ nhĐt ⇔ 2S
AD nhọ nhĐt ⇔AD lợn nhĐt.
GiÊ sỷ AC ≥ AB, khi õ trong hai ữớng xiản AD, AC, ữớng xiản AD cõ hẳnh chiáu nhọ hỡn. Suy ra AD≤AC vợi AC khổng ời, v
AD=AC ⇔D≡C.
Nhữ vêy, ữớng th¯ng d cƯn tẳm l ữớng th¯ng chựa cÔnh lợn nhĐt trong hai cÔnh AB, AC.
B i toĂn 2.2. Cho hẳnh bẳnh h nh ABCD. Qua A v³ ữớng th¯ng d khổng cưt hẳnh bẳnh h nh. Gồi B0, C0, D0 lƯn lữủt l hẳnh chiáu vuổng gõc cừa cĂc ữớng d. XĂc ành và trẵ cừa ữớng th¯ng d º tờng BB0+CC0DD0 cõ giĂ trà lợn nhĐt.
Chựng minh. Gồi O l giao iºm cừa AC v BD, O0 l hẳnh chiáu vuổng gõc cừa O trảnd. Khi õ,DD0⊥d, BB0⊥d, k²o theoDD0 kBB0. Suy raDD0BB0 l hẳnh thang.
M°t khĂc, vẳ OO0 kDD0 v O l trung iºm BD nản OO0 l ữớng trung bẳnh cừa hẳnh thang DD0BB0. Suy ra OO0 = BB0 +DD0
2 , k²o theo BB0+DD0 = 2.OO0.
Ta lÔi cõ OO0⊥d, CC0⊥d, suy ra OO0 k CC0. M°t khĂc, vẳ ABCD l hẳnh bẳnh h nh nảnO l trung iºmAC. Do õ, OO0 l ữớng trung bẳnh cừa 4ACC0. Suy ra OO0 = CC0
2 , k²o theo CC0 = 2.OO0. Hỡn nỳa, vẳ A ∈d v OO0⊥d nản OO0 ≤ OA. Do â,
BB0+CC0+DD0 = 4.OO0 ≤4.OA vợi OA khổng ời.
DĐu = xÊy ra ⇔O0 ≡d⇔d vuổng gõc AC tÔi A.
B i toĂn 2.3. Cho nỷa ữớng trỏn (O, R) ữớng kẵnh AB, M l iºm trản nỷa
ữớng trỏn. XĂc ành và trẵ M sao cho 1. Diằn tẵch tam giĂc M AB lợn nhĐt;
2. Chu vi tam giĂc M AB lợn nhĐt.
Chùng minh. V³ M H⊥AB, H ∈AB, khi â 1. Ta câ
SM AB = M H.AB
2 =M H.R.
Bði vẳ M H⊥AB, O∈AB nản
M H ≤OM =R.
Do õ, SM AB ≤R2 (khổng ời). Hỡn nỳa, dĐu = xÊy ra ⇔H ≡ O ⇔ M l iºm chẵnh giỳa AB_ .
2. Gồi P l chu vi 4M AB. Bði vẳ AM B\ l gõc nởi tiáp chưn nỷa ữớng trỏn nản AM B\ = 90o. M°t khĂc, vẳ 4M AB vuổng tÔi M cõ M H⊥AB nản M H.AB = M A.AB. Hỡn nỳa, vẳ 4M AB vuổng tÔiM nản theo ành lẵ Pi-ta-go ta cõ
M A2+M B2 =AB2 = 4R2;
PM AB =M A+M B+AB, AB khổng ời;
(M A+M B)2 =M A2 +M B2+ 2M A.M B.
Do õ,PM ABlợn nhĐt⇔M A+M B lợn nhĐt⇔(M A+M B)2 lợn nhĐt⇔M A.M B lợn nhĐt ⇔SM AB lợn nhĐt ⇔M chẵnh l iºm chẵnh giỳa AB_ (theo ỵ 1).
B i toĂn 2.4. Cho gõc nhồn xOy v A l mởt iºm nơm trong gõc õ. HÂy tẳm trản hai tia Ox, Oy lƯn lữủt hai iảm B, C sao cho chu vi tam giĂc ABC nhọ nhĐt.
Chựng minh. Gồi A1, A2 lƯn lữủt l iảm ối xựng cừa A qua hai tia Ox, Oy. Bði vẳ A cố ành, xOy cố ành nản A1, A2 cố ành. Theo tẵnh chĐt ối xựng trửc ta cõ
AB =A1B;AC =A2C;
PABC =AB+BC+AC =A1B+BC+CA2. X²t c¡c iºm A1, B, C, A2 ta câ
A1B+BC +CA2 ≥A1A2.
Do õ PABC ≥A1A2 (khổng ời). DĐu = xÊy ra⇔A1, B, C, A2 th¯ng h ng v sưp xáp theo thự tỹ õ.
B i toĂn 2.5. Cho tam giĂc ãu ABC nởi tiáp ữớng trỏn (O;R), M l iºm di ởng trản ữớng trỏn(O). XĂc ành cĂc và trẵ cừa iºmM º tờng M A+M B+M C
Ôt giĂ trà lợn nhĐt.
Chựng minh. X²t M thuởc BC_ . Trản dƠy M A lĐy iºm D sao cho M D =M B, k²o theo 4M BD cƠn. Bði vẳ BM A\ =BCA[ = 60o (hai gõc nởi tiáp cũng chưn AB_ ) nản 4M BD ãu. Do õ,
BD =M B,DBM\ = 60o;
\ABD=ABC[ −DBC\= 60o−DBC;\ M BC\ =M BD\ −\DBC = 60o−DBC.\ Suy ra \ABD =M BC\. X²t4M BC v 4DBA ta câ
M B =BD,M BC\ =\ABD, BC =AB,4ABC ãu. Do â4M BC =4DBA (c.g.c), suy ra M C =DA. Ta câ
M A=M D+DA=M B+M C, k²o theo
M A+M B+M C = 2.M A.
M°t khĂc, vẳ M A l dƠy cung cừa (O;R) v 2R l ữớng kẵnh nản M A ≤ 2R. Do õ, M A+M B+M C ≤4R (khổng ời). DĐu = xÊy ra⇔M A l ữớng kẵnh cừa (O) ⇔M l iºm chẵnh giỳa cung BC. Lêp luên tữỡng tỹ ta suy ra cõ ba và trẵ º M A+M B+M C Ôt giĂ trà nhọ nhĐt l iºm chẵnh giỳa cĂc cung BC, AC, AB. B i toĂn 2.6. Cho tam giĂc cƠn ABC, AB=AC. Mởt iºmM thay ời trản ữớng th¯ng vuổng gõc vợi m°t ph¯ng (ABC) tÔi A v M khổng trũng vợi iºm A.
1. Tẳm quÿ tẵch trồng tƠm G v trỹc tƠm H cừa tam giĂc M BC;
2. Gồi O l trỹc tƠm cừa tam giĂc ABC. HÂy xĂc ành và trẵ cừa M º thº tẵch tự diằn OHBC Ôt giĂ trà lợn nhĐt.
(Ôi hồc Quốc gia H Nởi - 1997)
Chựng minh. 1) Gồi I l trung iºm cừa BC, trồng tƠm 4M BC l G, trồng tƠm cõa 4ABC l G0. Trong 4M IA ta câ
IG
IM = IG IA = 1
3.
Suy ra GG k M A. Do õ, G nơm trản ữớng vuổng gõc vợi m°t ph¯ng (ABC) tÔi G0, õ l ữớng th¯ng chựa GG0. Vợi M I v BD l ữớng cao vợi H l trỹc tƠm 4ABC. Bði vẳ BE⊥CA v M A nản BE⊥(M AC), k²o theo
BE⊥M C. (2.4.1)
Bði vẳ BD l ữớng cao4M BC nản
BD⊥M C. (2.4.2)
Tứ (2.4.1) v (2.4.2) suy ra M C⊥(BDE). Do õ,
OH⊥M C. (2.4.3)
M°t khĂc, vẳ BC⊥M I v M A nản BC⊥(M AI). Suy ra
BC⊥OH. (2.4.4)
Tứ (2.4.3) v (2.4.4) suy raOH⊥(M BC), k²o theo HI⊥OH. Nhữ vêy,H nhẳn oÔn cố ành OI dữợi mởt gõc vuổng khi v ch¿ khi quÿ tẵch H l ữớng trỏn nơm trong m°t ph¯ng (M AI)cõ ữớng kẵnh OI (trứ hai iºm O v I).
2) Tự diằn OHBC cõ Ăy OBC cố ành nản thº tẵch lợn nhĐt khi H ð và trẵ cao nhĐt so vợi ĂyOBC. X²t 4OHI vuổng khi gõcABC[ = 45o, nghắa l 4OHI vuổng cƠn. Khi õ, 4M AI cƠn, k²o theoAM =AI. Nhữ vêy, khi AM =AI thẳ thº tẵch tự diằn OHBC lợn nhĐt.
B i toĂn 2.7. Cho tam giĂc ãu OAB cõ cÔnh bơng a > 0. Trản ữớng th¯ng d i qua O v vuổng gõc vợimp(OAB) lĐy iºm M vợi OM =x. GồiE, F lƯn lữủt l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa A lản M B, OB. Trản oÔn th¯ng EF cưt d tÔi N.
1. Chùng minh AN⊥BM;
2. XĂc ành x º thº tẵch tự diằn ABM N l nhọ nhĐt.
(Ôi hồc Tờng hủp TP.HCM-1995)
Chựng minh. 1) Ta cõ AF⊥OB v AF⊥OM nản AF⊥(M OB), suy ra
AF⊥M B. (2.4.5)
M°t khĂc, theo giÊ thiát ta cõ
AE⊥M B. (2.4.6)
Tứ (2.4.5) v (2.4.6) ta suy ra M B⊥(AEF), do õM B⊥AN.
2) Ta câ 4N OF ∼ 4BOM, suy ra N O
BO = OF
OM ⇔OM.N O =OF.BO = a
2a= a2 2. Thº tẵch cừa tự diằnABM N l
VABM N = 1
3SOAB.M N = a 3
a2√ 3
4 (OM+ON),
v VABM N nhọ nhĐt khi OM +ON nhọ nhĐt. Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ OM +ON ≥2√
OM.ON = 2 ra2
2 =a√ 2.
Khi â,OM =ON = a√ 2
2 ⇔x= a√ 2 2 .
B i toĂn 2.8. Cho hẳnh chỳ nhêt ABCD. Trản cĂc cÔnh BC, CD lƯn lữủt lĐy cĂc iºm K, M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM :M D = 4 : 1. Tẳm t¿ số AB :BC º số o gõc KA lợn nhĐt.
Chùng minh. °t BAK\=x, DAM\ =y (x+y <900), ta câ KAM\ lợn nhĐt ⇔BAK\+DAM\ nhọ nhĐt
⇔(x+y) nhọ nhĐt
⇔tan (x+y) nhọ nhĐt.
Gi£ sû AB:BC = 1 :m (m >0), ta câ tanx= BK
AB = BK BC.BC
AB = 4m 5 ; tany= DM
AD = DM DC.DC
AD = 1 5m;
tan (x+y) = tanx+ tany 1−tanx.tany =
4m 5 + 1
5m
:
1− 4m 5 . 1
5m
= 25 21
4m 5 + 1
5m
; tan (x+y)nhọ nhĐt ⇔ 4m
5 + 1
5m nhọ nhĐt.
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ 4m
5 + 1 5m ≥2
r4m 5 . 1
5m = 4 5. DĐu bơng xÊy ra ⇔ 4m
5 = 1
5m ⇔ m = 1
2. Nhữ vêy, x+y nhọ nhĐt khi v ch¿ khi m= 1
2. Do õ, KAM\ lợn nhĐt khi v ch¿ khi AB:BC = 2 : 1.
B i toĂn 2.9. Cho hẳnh vuổngABCD. HÂy xĂc ành ữớng th¯ng di qua tƠm hẳnh vuổng sao cho tờng cĂc khoÊng cĂch tứ bốn ¿nh cừa hẳnh vuổng án ữớng th¯ng õ thọa mÂn
1. Lợn nhĐt;
2. Nhọ nhĐt.
Chựng minh. X²t trữớng hủpdcưt hai cÔnh ốiBCv AD. Gồiml tờng cĂc khoÊng cĂch tứ bốn ¿nh hẳnh vuổng án D, khi õ
m= 2(AA0 +BB0).
Gồi M, N lƯn lữủt l trung iºm cừa AB v A0B0. Suy ram = 4M N, do õ
• m lợn nhĐt ⇔ M N lợn nhĐt;
• m nhọ nhĐt ⇔ M N nhọ nhĐt.
1) Bði vẳ M N ≤ MO nản m lợn nhĐt ⇔ N ≡ O⇔d//AB.
2) K´ M H⊥OB. Bði vẳ M N ≥ M H nản M N nhọ nhĐt ⇔ N ≡ H ⇔ d = BD ho°c d=AC.
B i toĂn 2.10. Cho 4ABC vuổng cƠn tÔi A, hai iºm D v E lƯn lữủt di chuyºn trản cĂc cÔnh AB, AC sao cho BD =AE. XĂc ành và trẵ cĂc iºm D, E sao cho
1. DE cõ ở d i nhọ nhĐt;
2. Tự giĂc BDEC cõ diằn tẵch lợn nhĐt.
Chựng minh. 1) Gồi M l trung iºm cừa BC. Bði vẳ 4BDM = 4AEM nản BM D\ =\AN E. Suy ra
DM E\ =DM A\ +AM E\ =DM A\ +BM D\ = 900. Gồi I l trung iºm cừa DE. Ta cõ
DE =DI+IE =AI+IM ≥AM.
Khi â, minDE = AM ⇔I l trung iºm cõa AM ⇔ D l trung iºm cõa AB v E l trung iºm cõaAC.
2) °t AE =x, AB =AC =a, khi â AD=a−x, SABD = x(a−x)
2 . Suy ra SBDEC nhọ nhĐt ⇔SADE lợn nhĐt ⇔ x(a−x) lợn nhĐt.
Bði vẳ x+ (a−x) = a khổng ời nản
x(a−x)lợn nhĐt ⇔x=a−x ⇔ x= a 2. Khi â,D l trung iºm cõa AB v E l trung iºm cõaAC.
B i toĂn 2.11. Cho 4ABC vuổng tÔi A cõBC =a, diằn tẵch l S. Gồi M l trung iºm cừa BC. Hai ữớng th¯ng thay ời qua M v vuổng gõc vợi nhau cưt cĂc cÔnh AB, AC ð D, E. HÂy tẳm
1. GiĂ trà nhọ nhĐt cừa oÔn th¯ng DE; 2. GiĂ trà nhọ nhĐt cừa diằn tẵch 4M DE.
Chựng minh. 1) GồiO l trung iºm cừaDE. Ta cõOA=OD =OE =OM, suy ra DE =OA+OM ≥AM = a
2. Do â, minDE = a
2 ⇔O l trung iºm cõa AM ⇔ D l trung iºm cõa AB v E l trung iºm cõaAC.
2)
K´ M H⊥AB, M K⊥AC,M E ≥M K, M D ≥M H. Ta câ 2SM DE =M D.M E ≥M H.M K = AC
2 .AB 2 = S
2. Suy ra
minSM DE = S
4 ⇔D≡H v E ≡K.
KT LUN
Luên vôn BĐt ¯ng thực v cỹc trà trong hẳnh hồc  Ôt ữủc mửc ẵch v nhiằm vử ã ra, cử thº luên vôn  thỹc hiằn ữủc cĂc vĐn ã sau.
1. Hằ thống lÔi mởt số bĐt ¯ng thực Ôi số cỡ bÊn, bĐt ¯ng thực trong tam giĂc, trong ữớng trỏn v trẳnh b y lới giÊi chi tiát mởt số b i toĂn nhớ Ăp dửng cĂc bĐt ¯ng thực trản.
2. Hằ thống lÔi mởt số kián thực hẳnh hồc ữủc vên dửng trong luên vôn. Mởt số ành lẵ ữủc chúng tổi chựng minh chi tiát.
3. Trẳnh b y mởt số kián thực cƯn vên dửng º giÊi cĂc b i toĂn cỹc trà trong hẳnh hồc ph¯ng. GiÊi chi tiát mởt số b i toĂn vên dửng cĂc kián thực n y.
Vợi mong muốn nghiản cựu mởt cĂch cõ hằ thống, kÿ c ng hỡn v cõ tƯm nhẳn tờng quan hỡn ối vợi cĂc dÔng toĂn vã bĐt ¯ng thực v cỹc trà trong hẳnh hồc, chúng tổi hy vồng rơng bÊn luên vôn cỏn tiáp tửc phĂt triºn hỡn v ữủc phửc vử tốt cho cổng viằc giÊng dÔy cừa mẳnh.
T i liằu tham khÊo
[1] Vụ Hỳu Bẳnh (2015), CĂc b i toĂn vã giĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt trong hẳnh hồc ph¯ng ð THCS, NXB GiĂo dửc.
[2] Bở giĂo dửc v o tÔo- Hởi toĂn hồc Viằt Nam (2009), CĂc b i toĂn chồn lồc - 45 nôm TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr´ , NXB GiĂo dửc.
[3] Phan ực Chẵnh (2014), SĂch GiĂo khoa ToĂn 9, NXB GiĂo dửc.
[4] Vụ ẳnh Hỏa (2005), BĐt ¯ng thực hẳnh hồc, NXB GiĂo dửc.
[5] Phan Huy KhÊi (1994), Hằ thực lữủng trong tam giĂc v tự giĂc, NXB GiĂo dửc.
[6] Nguyạn ực TĐn (2000), Chuyản ã bĐt ¯ng thực v cỹc trà trong hẳnh hồc ph¯ng, NXB Thanh niản.
[7] Vó Mởng Trẳnh (2018), T i liằu bỗi dữùng hồc sinh giọi ToĂn THCS, NXB DƠn trẵ.
[8] Nguyạn Thữủng Vó (1989), 200 B i toĂn chồn lồc vã hằ thực lữủng trong tam giĂc, NXB GiĂo dửc.
DAI HOC DANANG CONG. BoA XAHOI CHU. NGHiA VIET. NAM TRUONG D~I HQC SU P~M DQcI~p-T., do- H~nh phuc
'Imob m 1 ~Jn
ss.oô IQD-DHSP tằNgng, ngay ('-T thang 1.1. ndm ôu::
QUYETDJNH
vi vi~c giao di tai vatrach nhlem huong din lu~n van thac sl
HIEU TRUONG TRUONG DAl HOC SU PHAM. ...
Can cir Nghi dinh s6 32/CP ngay 04/4/1994 ella Chinh phu v€ viec thanh l?p B~i hoc Dfl N~g;
Can ctr Thong tu s6 08/2014/TT-BGDDT ngay 20/3/2014 cua Be} Giao due va Dao tao v€ viec ban hanh Quy chSt6 clurc va boat dong cua dai h9C vung va cac co sa giao due dai h9C thanh vien;
Can cir Quyet dinh s6 6950IQD-DHDN ngay 01112/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiern vu,quyen han cua Dai h9C Da Nfug, cac co sa giao due dai h9Cthanh vien va cac don vitrue thuoc;
Can cir Thong tu s6 1,5/20141TT-BGDBT ngay 15/5/2014 ella Be} Giao due va Daot~o v€ vi~cban hanh Quy chSDao t~otdnh de}th~c si;
Can Clr QuySt dinh 1060/QD-DHSP ngay 01/11/2016 ella Hi~u tru6ng Truang D~i h9C Su ph~m - DiffiN v€ vi~c ban hanh Quy dinh daot~o trinh de}th~c Sl;
Xet d€ nghi clla Ban Chllnhi~m Khoa Toan v~ vi~c ra QuySt dinh giao d~ tai vatraeh nhi~m huang dfut lu?n van th~c Sl;
Xet d~nghi clla ong Truang Phong Dao t~o, QUYETDJNH:
Diiu 1: Giao cho h9C vien Le Bao Nhi, nganh Phlfong phap toan sO' dp d?t t~i dan vi ph6i hgp dao t~o Truang D~i h9CQuang Binh, khoa 36, thllc hi~n d~ tai lU?n van Bit ding thuc va CI}'C tr! trong hinh hQc, duai S\f huang d~n clla hu'ung dan 1: TS. Le Hoang Tri; hu'ung dim 2:TS. LO'O'ngQuAcTuy~n,Tru'Ong D~i hQc SO'ph~m - D~i hQcDa Ning.
Diiu 2: H9C vien eao hQCva nguai huang d~ncoten aDi~u 1dugc huang .cac quy€n 19i va thlle hi~n nhi~m Vl,l dung theo Quy chS dao t~o trinh de}th~c SI do Be}Giao d\lc vaDa.ot~o ban hanh va Quy dinh v~dao t~otrinh de}th~cSIcua Truang D~i h9c Su ph~m - D~i h9C Da N~ng.
Diiu 3: Cac ang (ba) Truang Phong T6 chue - Hanh chinh, Dao t~o, KS ho~ch - Tai ehin\1,Khoa Toan, nguai huang d~nlu~nvan va h9C vien co ten tren din cu QuyStdinh
thihfmhlfe._,
m~UTRlf6NG
Nai nh~n:
-Nhu Di~u3;
-LUll:VT,Daot~o.