a. Tập mờ
Tập mờ được coi là phần mở rộng của tập kinh điển. Nếu X là không gian nền ( một tập nền) và những phần tử của nó được biểu thị bằng x, thì tập mờ A trong
X được xác định bởi một cặp các giá trị:
A = {x, àA (x)| x € X}
Với 0 ≤ àA (x) ≤1
Trong đú àA(x) được gọi là hàm liờn thuộc trong x trong A – viết tắt là MF ( Membership Function). Nó không còn là hàm hai giá trị như đói với tập kinh điển nữa, mà là một hàm với một tập các giá trị hay còn gọi là một ánh xạ. Tức
là hàm liên thuộc ánh xạ mỗi một phần tử của X tới một giá trị liên thuộc trong khoảng [0,1].
Các hàm liên thuộc được xây dựng từ những hàm cơ bản như: kết nối hành vi, hàm bậc nhất, hình thang, hình tam giác, hàm phân bố Gaussian, đường cong xicma, đường cong đa thức bậc hai và bậc ba.
2.0 21 Một số dạng hàm liên thuộc cơ bản
b. Các phép toán trên tập mờ
Tương tự như các tập kinh điển, những phép toán cơ bản trên tập mờ là phép hợp, phép giao và phép phủ định cũng được định nghĩa thông qua hàm liên thuộc.
Phép giao
Điểm giao nhau của hai tập mờ A và B được xác định tổng quát bởi một ánh xạ nhị phân T, tập hợp của hai hàm liên thuộc sẽ là như sau:
àAՈB (x) = T[àA(x), àB(x)]
Điểm giao nhau của những phép toán mờ thường được coi như những phép toán tiêu chuẩn T (tiêu chuẩn tam giác), ta có những yêu cầu cơ bản sau
Toán hạng chuẩn T là một ánh xạ thỏa mãn :
Đường biên : T(0,0) = 0 ; T(a,1) = a
Đơn điệu : T(a,b) ≤ T(c,d) nếu a ≤ c và b ≤ d
Giao hoán : T(a,b) = T(b,a)
Kết hợp : T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
Trên cơ sở đó, người ta thường sử dụng một só phép toán giao thỏa mãn chuẩn T như sau :
Min(Zadeh 1965) : T(x,y)= min (x,y)
Dạng tích : T(x,y) = xy
Chuẩn Lukasiewicz : T(x,y) = max{x+y-1, 0}
Min nilpotent : T(x,y)
T chuẩn yếu nhất: Z(x,y) =
Phép hợp
Giống như điểm giao nhau mờ, phép toán kết hợp mờ được xác định khái quát bằng một ánh xạ S
àAᴜB (x) = S[àA(x), àB(x)]
Những toán hạng kết hợp mờ này thường được coi như những toán hạng không tiêu chuẩn T ( hoặc tiêu chuẩn S), chúng phải thỏa mãn những yêu cầu cơ bản sau:
Toán hạng không tiêu chuản T hoặc tiêu chuẩn S là một ánh xạ S(*) thỏa mãn: Đường biên: S(1,1) = 1 , S(a,0) = S(0, a) = a
Đơn điệu: S (a,b) ≤ S(c,d) nếu a ≤ c và b ≤ d
Giao hoán : S(a,b) = S(b,a)
Kết hợp : S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
Trên cơ sở đó, người ta thường sử dụng một só phép toán giao thỏa mãn chuẩn T như sau :
Min(Zadeh 1965) : S(x,y)= min (x,y)
Dạng tích : S(x,y) = x + y -xy
Chuẩn Lukasiewicz : S(x,y) = min{x+y, 1}
Min nilpotent : S(x,y)
T chuẩn yếu nhất: Z(x,y) =
Phép phủ định
Phủ định (Negation) là một trong các phép toán logic cơ bản. Để suy rộng chúng
ta cần tới toán tử N gọi là toán tử phủ định mờ. Toán tử này thỏa mãn điều kiện sau:
Hàm N: [0,1] -> [0,1] không tăng được gọi là hàm phủ định nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
Đường biên: N(0) = 1 và N(1) = 0
Đơn điệu : N(A) N(B) nếu A ≤ B
Nếu N(N(A)) = A thì phép phủ định này gọi là phủ định chặt
Trên cơ sở đó, người ta thường sử dụng một số phép toán phủ định như sau: Zadeh: N(x) = 1- x
Sugeno: Ns(x)
Yager: Nw (x) = (1- xw)1/w
c.Số mờ
- Là tập mờ chuẩn, tức là Hight(A) = 1
- Mọi tập mức Aα, α € ( 0,1] là các khoảng đóng
- Support (A) là tập giới nội hay là một đoạn hữu hạn
Số mờ có thể được biểu diễn bởi một hàm liên thuộc tam giác (được mô tả là A(a,b,c) như hình 1-10).
Ở đây a và c tương ứng là giá trị giới hạn nhỏ nhất và lớn nhất, b là tâm của số
mờ. Theo đó, hàm thành viên của nó được định nghĩa là :
0 nếu x ≤ b - a nếu b – a < x < m A(x) = 1 nếu x = b
nếu b < x <b+c
0 nếu x ≥ b + c
Hình 2-2 Số mờ tam giác
d. Luật Nếu- Thì mờ
Biến ngôn ngữ
Hàm liên thuộc của biến ngôn ngữ T (tuổi)
Một biến ngôn ngữ được đặc trưng bởi tập năm yếu tố (x, T(x),X,G,M) trong đó
x là tên của biến , T(x) là tập hợp các thuật ngữ của x, nó là giá trị ngôn ngữ hay thuật ngữ ngôn ngữ; X là không gian nền, G là cú pháp tạo ra các thuật ngữ trong T(x) và M là thuật ngữ nghĩa liên kết mỗi giá trị ngôn ngữ A với nghĩa M(A) của nó, M(A) xác định một tập mờ trên X.
Ta xét một ví dụ: Nếu tuổi là một biến ngôn ngữ thì tập hợp các thuật ngữ T(tuổi) có thể là: T(tuổi) = {trẻ, không trẻ, rất trẻ, không quá trẻ…trung niên, không phải trung niên… già, không quá già, già hơn, không quá già và không quá trẻ}
Mỗi một thuật ngữ trong T(tuổi) được đặc trưng bởi một tập mờ trong không gian nền X = [0,100]. Thông thường chúng ta dùng “ tuổi trẻ” để gán giá trị
“trẻ” cho biến tuổi. Ngược lại khi tuổi được xem như là giá trị số chúng ta sử dụng phương trình” tuổi = 20 ” . Luật cú pháp nói lên cách mà giá trị ngôn ngữ trong tập thuật ngữ T(tuổi) được gán. Luật ngữ nghĩa xác định hàm liên thuộc của mỗi giá trị ngôn ngữ trong tập thuật ngữ. Từ ví dụ trên ta thấy, các thuật ngữ bao gồm một vài thuật ngữ chính (trẻ, trung niên, già) được biến đổi bởi các phép phủ định (không), các trạng từ (rất, hơn, khá…) và các liên từ(và , hoặc).
Luật Nếu – Thì mờ
Một luật nếu- thì mờ ( còn gọi là luật mờ, phép kéo theo mờ, hoặc câu điều kiện
Nếu x là A thì y là B
Trong đó A,B là các giá trị ngôn ngữ được xác định bởi các tập mờ trong không gian nền X và Y. Thông thường ‘x là A’ được gọi là tiên đề hay giả thuyết còn ‘ y
là B’ được gọi là kết quả hay kết luận. Các ví dụ của luật nếu – thì mở rộng khắp trong các diễn giải ngôn ngữ hàng ngày như :
- Nếu áp suất cao thì thể tích nhỏ
- Nếu quả cà chua màu đỏ thì nó chín
Luật nếu – thì mờ thường được viết tắt dưới dạng A => B miêu tả quan hệ giữa hai biến x và y, điều này cho thấy rằng luật nếu – thì mờ xác định một mối quan
hệ hai ngôi R trên không gian tích XxY.