BÀI 3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA 2D
3.1 Các phép biến đổi hình học cơ sở
3.1.1 Phương pháp biến đổi Affine 2D
Bản chất của phép biến đổi hình học là thay đổi các mô tả về tọa độ của đối tượng như thay đổi hướng, kích thước, hình dạng.
Trước hết chúng ta tìm hiểu cơ sở toán học để thay đổi tọa độ của 1 điểm P(x,y) thành điểm Q(x’,y’
Ta có công thức như sau:
Dưới dạng ma trận, hệ phương trình trên có dạng x’ y’ như sau:
(𝑥′ 𝑦′) = (𝑥 𝑦). (𝐴 𝐵
𝐶 𝐷) + (𝑇𝑥 𝑇𝑦) Hay nói cách khác Q=P.M+T với M là ma trận biến đổi, T là vectơ tịnh tiến
𝑄 = 𝑃. 𝑀 + 𝑇
Ta có ,
M=(𝐴 𝐵
𝐶 𝐷) là ma trận biến đổi,
T=(Tx Ty) là véc-tơ tịnh tiến
Có nhiều phép biến đổi cơ bản: Tịnh tiến, biến đổi tỉ lệ, đối xứng, biến dạng, quay…
Kỹ thuật đồ họa và Thực tại ảo- Bài 3 Trang 2
3.1.2. Phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến là phép dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác.
Để tịnh tiến một điểm P(x,y) từ vị trí này sang vị trí khác trong mặt phẳng, ta cộng thêm các giá trị mô tả độ dời vào tọa độ của P. Nếu gọi tx, ty lần lượt là độ dời theo trục hoành và trục tung thì tọa độ của điểm mới là Q(x’, y’) với x’=x+tx, y’= y+ty). Lúc này ta
có (tx,ty) là vecto tịnh tiến hay còn gọi là vectơ độ dời.
Ta có định thức như sau:
M = E (ma trận đơn vị) P(x,y) Q = P.M + T Q(x+Tx,y+Ty)
Ma trận của phép chuyển đổi:
[x' y'] = [x y]. *1 0
0 1+ + [Tx Ty]
Chúng ta có thể dịch chuyển toàn bộ đối tượng bằng cách áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm thuộc đối tượng.
Ví dụ: với đoạn thẳng, để tịnh tiến nó, ta chỉ cần tịnh tiến điểm đầu, điểm cuối của đoạn thẳng sau đó vẽ lại đoạn thẳng nối 2 điểm
mới.
Với đa giác, ta tịnh tiến các đỉnh của đa
giác, sau đó vẽ lại đa giác với các đỉnh mới.
Tương tự với các đường tròn hay ellipse, ta
tịnh tiến tâm của chúng tới vị trí mới, sau đó vẽ
lại đối tượng.
3.1.3. Phép biến đổi tỉ lệ
Phép đồng dạng chính là phép biến đổi tỉ lệ. Phép toán này làm thay đổi kích thước của đối tượng.
Để co hay giãn tọa độ của điểm P(x,y), ta gọi hệ số tỉ lệ co giãn theo trục hoành là
Zx và theo trục tung là Zy, ta nhân tỷ lệ co giãn với lần lượt các tọa độ của P như sau.
Kỹ thuật đồ họa và Thực tại ảo- Bài 3 Trang 3 Lúc này ma trận của phép biến đổi tỉ lệ có dạng:
T = 0 (zero) P(x,y) Q = P.M + T Q(x.Zx,y.Zy)
[𝑥′ 𝑦′] = [𝑥 𝑦]. [ 𝑥 0
0 𝑦] Khi các giá trị Zx và Zy <1 thì ta có phép biến đổi thu nhỏ đối tượng
Ngược lại khi các giá trị Zx, Zy >1 thì ta có phép biến đổi phóng to đối tượng.
Khi Zx, Zy bằng nhau, ta gọi là phép đồng dạng, đây là phép biến đổi bảo toàn tính cân xứng của đối tượng
Các bạn cần lưu ý rằng, tâm tỉ lệ là điểm không bị thay đổi qua phép biến đổi tỉ lệ. Phép biến đổi tỉ lệ mô tả như trên còn gọi là phép biến đổi tỉ lệ quanh gốc tọa độ vì có tâm
tỉ lệ là gốc tọa độ.
Như vậy khi thực hiện phép biến đổi thu nhỏ đối tượng thì đối tượng dữ dời về gần gốc tọa độ hơn. Khi phóng lớn đối tượng, đối tượng sẽ dịch chuyển ra xa gốc tọa độ hơn.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(5,6), B(9,6) và C(7,9) . Biến đổi tỉ lệ tam giác theo tỉ lệ (3,2)
Các bước thực hiện:
- Ta biến đổi tỉ lệ của từng điểm theo trục x và trục y
- Công thức phép biến đổi: Q(x.Zx,y.Zy), trong đó Zx là tỉ lệ biến đổi trên trục x, Zy
là tỉ lệ biến đổi trên trục y
- Ta có các đỉnh mới có tọa độ như sau:
A’(xA.Zx, yA.Zy) A’(5.3,6.2)A’(15,12)
B’(xB.Tx, yB .Zy) B’(9.3,6.2)B’(27,12)
C’(xc+Tx, yc+Ty)C’(7.3,9.2)C’(21,18)
Kỹ thuật đồ họa và Thực tại ảo- Bài 3 Trang 4
3.1.4. Phép quay
Phép quay là phép biến đổi nhằm thay đổi hướng của đối tượng. Một phép quay cần
có tâm quay và góc quay. Ta quy ước: góc quay dương là ngược chiều kim đồng hồ, góc quay âm là ngược chiều kim đồng hồ.
Gọi P(x,y) là điểm cần quay. ta có công thức biến đổi của điểm P để quay 1 góc α quanh gốc tọa độ, ta có:
Công thức biến đổi:
Hay Q=P*M
Với M
M= * 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛
−𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠+
Ma trận biến đổi:
[𝑥′ 𝑦′] = [𝑥 𝑦]. * 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛
−𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠+ x’= x.cos - y.sin
y’= x.sin + y.cos
Kỹ thuật đồ họa và Thực tại ảo- Bài 3 Trang 5
Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(5,6), B(9,6) và C(6,9). Quay tam giác quanh
gốc tọa độ 1 góc α=450.
Các bước thực hiện:
- Do tâm quay là gốc tọa độ nên ta lần lượt quay 3 đỉnh A, B, C của tam giác theo chiều ngược chiều kim đồng hồ một góc 450
- Công thức phép quay quanh gốc tọa độ 1 góc α là:
- Ta có Tọa độ mới của 3 đỉnh tam giác: