Vai trò của bậc phân số trong mô tả động lực học hệ thống

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Tính toán phân số trong điều khiển

2.1.2 Vai trò của bậc phân số trong mô tả động lực học hệ thống

Ứng dụng đầu tiên của tính toán phân số được thực hiện bởi Abel năm 1823. Ông khám phá ra rằng nghiệm của phương trình tích phân cho bài toán tautochrone có thể giải được thụng qua tớch phõn của đạo hàm bậc ẵ. Sau đú ở thế kỷ 19, cỏc phương pháp ký hiệu dùng để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được phát triển bởi Boole tạo động lực quan trọng trong việc sử dụng tính toán phân số; hoặc là các phương pháp tính toán của Heaveside được phát triển để giải các bài toán trong lý thuyết điện từ. Ở thế kỷ 20, các đóng góp vào lĩnh vực này được thực hiện trong cả lý thuyết và ứng dụng bởi các nhà khoa học nổi tiếng như Weyl và Hardy (tính chất của

25 đạo hàm-tích phân), Erdély (phương trình tích phân), Riesz (các hàm đa biến), Scott Blair (cơ học lưu chất).

Để làm rõ hơn ứng dụng của tính toán phân số, ta khảo sát một số phương trình nổi tiếng trong các lĩnh vực khác nhau.

❖ Phương trình Langevin phân số

Phương trình Langevin mô tả chuyển động Brownian của một chất điểm trong dòng chảy, có dạng như sau

2

2

1 ( )

e e

d x dx

dt = −m dt +m  t (2.8)

Trong đó, me và x là khối lượng và vị trí của chất điểm. Thành phần nhiễu ( ) t đại diện cho lực tác động của giữa chất điểm chuyển động và các phân tử của dòng chảy (và có hàm phân bố xác suất Gaussian)

Tuy nhiên, phương trình chuyển động trên không hoàn toàn mô tả được thủy động học vì nó bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng thay đổi và lực ma sát nhớt do gia tốc của chuyển động. Vì thế, phương trình Langevin bậc phân số được đề xuất để bổ sung các thành phần động học còn thiếu này [101]

2

1/2

0 0 2

1 1

1 ( ) ( )

e e

d x D x t t

dt = −  +   + m 

 (2.9)

Trong đó:

2 0

= a

  với a là bán kính của chất điểm (giả sử hình cầu);  là độ nhớt động học; 1e là hệ số ma sát theo một đơn vị khối lượng.

❖ Phương trình Van der Pol bậc phân số

Phương trình Van der Pol (VdP) được đề xuất bởi Van der Pol vào năm 1926 trên tạp chí Nature để mô tả hiện tượng tự duy trì dao động trong mạch điện sử dụng ống chân không [102]. Phương trình VdP có dạng như sau:

26

( 2 1) 0

x+ x − x+ =x (2.10)

Phương trình VdP được xem như là mô hình cơ bản của các quá trình dao động trong vật lý, điện tử, sinh học, thần kinh học, xã hội học và kinh tế. Trong lĩnh vực vật

lý và điện tử, hệ khối lượng-lò xo-giảm chấn với hệ số giảm chấn phụ thuộc phi tuyến vào vị trí, hoặc mạch điện RLC với điện trở phi tuyến âm là các mô hình nổi tiếng của phương trình này.

Năm 2004, Barbosa và các cộng sự đề xuất phiên bản phương trình VdP với đạo hàm bậc phân số bằng cách thay thế tụ điện bằng “fractance” (chuỗi mạch RC nhằm

tạo ra đạo hàm bậc phân số) trong mô hình mạch RLC [103]. Phương trình VdP bậc

phân số có dạng như sau:

( 2 1) 0

D x + x − x+ =x (1  2) (2.11)

Tiếp theo nghiên cứu trên, Barbosa đã giới thiệu phương trình VdP với cả hai đạo hàm bậc phân số [104]

1 2

( 1) 0

D+x+ x − D x + =x (0  1) (2.12)

Hình (2.1) biễu diễn đặc tính pha của phương trình VdP với các điều kiện đầu

1(0) 0; 2(0) 1

x = x = (trong đó, x2 =x1) trong các trường hợp khác nhau. Trong cả 3 trường hợp ta đều có  =1;  =1 tương ứng với phương trình VdP bậc nguyên (2.10), hai trường hợp còn lại ta có  lần lượt bằng 0.4 và 0.8 tương ứng với bậc không nguyên của phương trình (2.12). Dựa trên hình vẽ ta thấy bậc không nguyên vẫn đảm bảo đặc tính tự dao động của phương trình VdP, tuy nhiên tương ứng với bậc đạo hàm khác nhau (hệ số ) phương trình FO-VdP có thể biễu diễn nhiều dạng đặc tính khác nhau. Đó chính là sự linh động (flexibility) và đa dạng (variation) của tính toán phân số trong mô tả động học của hệ thống.

27

Hình 2.1 Mặt phẳng pha của phương trình VdP khi  =1 với các bậc đạo hàm khác

nhau [104]

❖ Phương trình Bernoulli phân số

Phương trình sai phân Bernoulli gốc có dạng như sau:

( ) ( ) n

dy f x y g x y

dx+ = (2.13)

Khi n = 0 hoặc 1, phương trình (2.13) trở thành phương trình ODE tuyến tính.

Trong tài liệu [105], Hristov đề xuất phương trình Bernoulli phân số cho bài toán quá trình truyền nhiệt với nhiệt thông có biên phi tuyến (non-linear boundary heat flux), phương trình Bernoulli phân số có dạng sau:

0.5 4

0Dt s = +A Bs +Cs (2.14)

Trong đó, s =T Ts a chỉ tỉ lệ của nhiệt độ bề mặt và nhiệt độ môi trường xung

quanh; A, B, và C là các hằng số phụ thuộc vào các thông số của quá trình truyền nhiệt. Khi đó, phương trình Bernoulli phân số tổng quát được mô tả như sau:

( ) ( ) n

d y f x y g x y

dx + = (0  2) (2.15)