CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG TRONG NÉN ẢNH
4.2 Vectơ chuyển đổi sử dụng Haar Wavelets
Trước khi ta giải thích s7 biến đổi của một ma trận, chúng ta hãy xem làm thế nào mà wavelets chuyển đổi các vectơ (hàng của một ma trận). Giả sử
r = là một hàng của một ma trận ảnh cấp 8x8. Tổng quát, nếu chuỗi dữ liệu có độ dài bằng 2 , thì quá trình chuyển đổi sẽ bao gồm bước. Trong trường hợp trên, sẽ cók k
3 bước từ 8=2 .3 Ta th7c hiện phép biến đổi sau trên các phần tử của vectơ r:
1. Chia các phần tử của thành bốn cặp:r
(420, 680), (448, 708), (1260, 1410), (1600, 600).
2. Tính giá trị trung bình của mỗi cặp:
, , , ,
Các giá trị này sẽ là bốn phần tử của vectơ r của bước tiếp theo1 .
3. Trừ mỗi giá trị trung bình cho phần tử đầu tiên của cặp cho ta các số:
-130, -130, -75, 0.
Các số này sẽ là bốn phần tử cuối cùng của vectơ r ở bước tiếp theo.1
4. Tạo vectơ mới là:
=
Chú ý rằng vectơ có thể đạt được từ bằng cách nhân vào bên phải bởi mar1 r r
=
Bốn phần tử đầu tiên của được gọi là các r1 hệ số xấp xỉ và bốn phần tử cuối của r1
được gọi là các hệ số chi tiết.
Với bước tiếp theo, ta xem bốn phần tử đầu tiên của như hai cặp mà chúngr1
ta lấy giá trị trung bình của chúng như trong bước 1 ở trên. Điều này cho ta hai phần tử đầu tiên 564, 1470 của vectơ mới . Đây là các hệ số xấp xỉ mới củar2
chúng ta. Phần tử thứ ba và thứ tư của đạt được bằng cách trừ những giá trị trungr2
bình này cho phần tử đầu tiên của mỗi cặp. Điều này cho ta các hệ số chi tiết mới là -14, -130. Bốn phần tử cuối cùng của là giống như bốn hệ số chi tiết của :r2 r1
= Vectơ ở đây có thể đạt được từ bằng cách nhân vào bên phải ma trận:r2 r1 r1
=
Với bước cuối cùng, lấy trung bình hai phần tử đầu tiên của , và như ở r2
trước, trừ kết quả cho phần tử đầu tiên. Điều này cho ta vectơ sau:
= Như ở trên, có thể đạt được từ bằng phép nhân vào bên phải ma trận:r3 r1 r2
=
Từ đó ta có thể tính được tr7c tiếp từ sử dụng phương trình saur3 r
Đặt
= W = =
Chú ý rằng:
Các cột của ma trận W1tạo ra một tập con tr7c giao của R8(không gian vectơ chiều 8 trên ); tức là những cột này đôi một tr7c giao với nhau. Do đó,R
chúng tạo ra một cơ sở của . Như là một hệ quả, R8 W1là khả nghịch. Điều tương t7 cũng đúng cho W2và W3.
Từ đó, vì là tích của các ma trận khả nghịch nên W cũng khả nghịch và các cột của nó tạo ra một cơ sở tr7c giao của . Nghịch đảo của R8 W được cho bởi:
= Từ đó cho phép ta thu lại hình ảnh gốc từ dạng nén bằng cách sử dụng liên hệ sau:
r = Giả sử rằng là ma trận ứng với một ảnh nào đó. Phép chuyển đổi HaarA
được th7c hiện bằng việc biểu diễn các biến đổi trên mỗi hàng của ma trận vàA
sau đó lặp lại tương t7 trên các cột của ma trận thu được. Ma trận biến đổi hàng là
AW. Việc biến đổi các cột của AW đạt được bằng việc nhân AW vào bên trái ma trận (chuyển vị của ). Do đó, biến đổi Haar lấy ma trận và biến đổi nóW A
thành AW. Ký hiệu là ma trận biến đổi:S
S = Sử dụng các tính chất của ma trận nghịch đảo, ta có thể thu lại ma trận gốc là:
A = = Điều này cho phép ta thấy được ảnh gốc (giải nén ảnh bị nén).
Ta hãy xét một ví dụ.
Ví dụ Giả sử chúng ta có một ma trận ảnh cấp 8x8 biểu diễn bởi ma trận
A =
Ma trận biến đổi hàng là
L = AW =
Biến đổi các cột của đạt được như sauL
S = W L = T
Điểm mấu chốt của việc th7c hiện biến đổi Haar wavelet là những vị trí của ma trận gốc chứa ít biến đổi sẽ kết thúc với những phần tử 0 ở ma trận biến đổi.
Một ma trận được xem là thưa thớt nếu nó có một “tỉ lệ cao các phần tử 0”. Các ma trận
thưa thớt chiếm ít bộ nhớ hơn để lưu trữ. Do ta không thể mong chờ ma trận biến đổi luôn là thưa thớt, ta quy định một giá trị ngưỡng không âm là ε, và sau đó ta cho mọi phần tử trong ma trận biến đổi có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn ε trở thành 0.
Điều này sẽ cho ta một loại ma trận thưa thớt. Nếu ε là 0, ta sẽ không sửa đổi bất cứ phần tử nào của ma trận.
Mỗi lần bạn nhấn chuột vào một hình ảnh để tải về từ Internet, máy tính nguồn nhớ lại ma trận chuyển Haar từ bộ nhớ của nó. Đầu tiên nó sẽ gửi các hệ số xấp xỉ tổng thể và hệ số chi tiết lớn hơn và một lúc sau đó là các hệ số chi tiết nhỏ hơn. Khi máy tính của bạn nhận được thông tin, nó bắt đầu xây d7ng lại một cách chi tiết lớn dần lên cho đến khi hình ảnh ban đầu được khôi phục lại hoàn toàn.