CHƯƠNG 3 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
3.3 MÔ HÌNH PHẦN TỬ THANH CÓ VẾT NỨT THỞ
Vết nứt là một trong những khuyết điểm thông thường của kết cấu, nó làm giảm độ cứng, cũng như tần số tự nhiên của kết cấu. Hơn nữa, vết nứt đóng hay mở theo thời gian phụ thuộc vào điều kiện tải trọng và biên độ dao động. Độ võng tĩnh dựa vào các thành phần tải trọng của dầm (tải trọng, tải trọng bản thân…) kết hợp
đóng và mở cách đều nhau, hoặc đóng hoàn toàn tùy thuộc vào tải trọng khác nhau ở từng thời điểm.
Nếu độ võng tĩnh dựa trên các thành phần tải trọng của dầm như tĩnh tải, tải trọng bản thân…, thì lớn hơn biên độ dao động, vết nứt sẽ luôn mở. Nếu độ võng tĩnh nhỏ, vết nứt sẽ đóng và mở theo thời gian phụ thuộc vào biên độ dao động.
Những nghiên cứu khác nhau hơn một thập kỷ qua đã chỉ ra rằng dầm với vết nứt thở, vết nứt sẽ đóng và mở suốt quá trình dao động, ứng xử phi tuyến động học bởi vì sự khác nhau giữa độ cứng kết cấu sẽ xảy ra suốt quá trình dao động. Vì vậy nghiên cứu về vết nứt thở người ta tiếp tục sử dụng các mô hình về vết nứt mở nhưng thay đổi quan niệm về ứng xử của vết nứt.
3.3.1 Các dạng mô hình vết nứt
3.3.1.1 Mô hình vết nứt thay đổi về tiết diện
Độ cứng của phần tử tại vị trí có vết nứt bị giảm do có sự thay đổi về tiết diện, giảm độ cứng cục bộ tại vị trí có vết nứt (reducing local stiffness).
Hình 3.4 Thay đổi tiết diện phần tử Độ cứng của vết nứt đối với dầm có tiết diện chữ nhật theo M. I. Friswell và
J. E. T Penny [16]
( ) 0
1 exp( 2 c d)
EI x EI
C x x
(3.14)
với: C(I0Ic) /I Ic. 0 (wd3) / 12, Ic w(ddc) / 123 : moment quán tính của vị trí vết nứt, w, d là bề rộng, chiều cao của dầm không nứt, dc là chiều sâu vết nứt,x là vị
trí dọc dầm, xc là vị trí của vết nứt, α là hằng số được Christies và Barr xấp xỉ từ thực nghiệm là 0.667.
3.3.1.2 Mô hình vết nứt được mô tả như lò xo
L
L
h b c
a
kA y
x
(b) (a)
L0
Hình 3.5 (a) Dầm console có vết nứt thở ; (b) mô hình độ cứng phi tuyến của vết
nứt thở trên dầm console
Trường hợp này dầm được chia làm 2 nửa tại vị trí nứt. Các phần của dầm được nối với nhau và được mô hình như một lò xo xoay để mô tả sự gia tăng độ mềm do vết nứt.
Theo T.G. Chondros và A.D.Dimarogonas [13] dẫn đến biểu thức sau :
1
Kt
C;
6 (1 2)
c
v h a
C I
EI h
(3.15)
trong đó ν là hệ số Poisson, E là module đàn hồi, I là moment quán tính tiết diện
ngang, b và h là chiều rộng và chiều cao của dầm, a là chiều sâu vết nứt và Ic(z = a/h) là hàm vết nứt mở được xác định từ thực nghiệm.
2 3 4 5 6
7 8 9 10
( ) 0.6272 1.04533 4.5948 9.973 20.2948 33.0351 47.1063 40.7556 19.6
I zc z z z z z
z z z z
(3.16)
Mô hình này được sử dụng rất nhiều trong các nghiên cứu trước đây.
3.3.1.3 Mô hình vết nứt dạng cưa và chữ V
b
a) b) c)
a a Kt
Hình 3.6 Mô hình vết nứt mở a) dạng mô hình vết nứt cưa b) Dạng mô hình vết
Mô hình vết nứt dạng cưa (shaw cut) được sử dụng khá nhiều trong các nghiên cứu trước đây thực tế thì vết nứt không có dạng cưa mà như Hình 2.3. Với giả thuyết mô hình dầm nứt là mô hình dầm có vết nứt mở thì khi dao động vết nứt vẫn luôn mở trong suốt quá trình dao động, giả thuyết này có thể không phản ánh đúng ứng xử của vết nứt không phải luôn mở mà còn đóng trong quá trình dao động mà rất nhiều nghiên cứu hiện nay đang đề cập đến trong phân tích dao động của kết cấu nứt. Trong luận văn này vết nứt sẽ được giả thuyết là vết nứt dạng cưa (shaw cut).
3.3.2 Hệ số cường độ ứng suất
Bề mặt vết nứt có ảnh hưởng trội hơn đối với sự phân bố ứng suất lân cận và xung quanh đỉnh vết nứt. Vùng ứng suất lân cận đỉnh vết nứt có thể chia làm ba dạng cơ bản như trên Hình 3.7.
Mode I: mode mở, trong đó các bề mặt vết nứt sẽ di chuyển theo hướng ngược nhau.
Mode II: mode trượt, trong đó bề mặt vết nứt trượt trên bề mặt vết nứt vuông góc còn lại của vết nứt, tương ứng với trượt trong mặt phẳng.
Mode III: mode xé, các bề mặt vết nứt sẽ trượt với nhau song song với bề mặt còn lại của vết nứt, tương ứng với cắt ngoài mặt phẳng.
Hình 3.7 Các mode nứt cơ bản
Các hệ số K KI, II,KIII được gọi là cường độ ứng suất tương ứng với ba mode trên Hình 3.7. K KI, II,KIII có thể xem như liên quan đến cường độ của tải trọng truyền qua khu vực đỉnh vết nứt. Nói chung các hệ số cường độ ứng suất được cho như sau
/
KI a F a b (3.17)
trong đó σ là đặc trưng ứng suất trong phần tử có vết nứt, a là chiều dài vết nứt, b là bề rộng phần tử vết nứt, F là hàm tỉ số chiều dài vết nứt đối với bề rộng phần tử, hàm không thứ nguyên phụ thuộc vào hình dạng, kích thước vết nứt và mode tải trọng.
Phương trình cho các hệ số cường độ ứng suất được đưa ra bởi các nhà nghiên cứu khác nhau các phương pháp khác nhau bằng thực nghiệm, bằng số hoặc giải thích đối với các trường hợp khác nhau trong các trường hợp vết nứt khác nhau trong các vật thể khác nhau.
Giá trị cho F(a/h) theo Tada et al. [23] với h là chiều cao của dầm
0.923 0.199 1 sin
2 2
tan2 os
2
a
h a h
a h c a
h
tốt hơn 0.5% cho bất kì a
h (3.18)
3.3.3 Mô hình dầm có vết nứt thở
Mô hình vết nứt thở là mô hình đóng và mở của vết nứt trong suốt quá trình dao động, đây là phản ứng của kết cấu khi có vết nứt, kết cấu chịu tải trọng điều hòa. Khi dầm chuyển động theo hướng làm vết nứt đóng lại thì hai bề mặt vết nứt khép dần lại với nhau làm cho độ cứng dầm tăng dần theo mức độ khép và ngược lại.
Hiện tượng thở xảy ra khi hai bề mặt đủ gần để khi dao động chúng có thể tiếp xúc với nhau, có nghĩa là bề mặt vết nứt rất nhỏ. Do vết nứt nhỏ nên trong phân tích dầm có vết nứt thở thì khối lượng của dầm được xem như không đổi.
a
lc
L
(a) (b)
k(t)
m
c
Hình 3.8 (a) Hình dạng dầm console có vết nứt;
(b) mô hình hệ 1 bậc tự do tương đương
Xét một dầm được chia thành các phần tử và ứng xử của các phần tử đặt bên phải của phần tử bị nứt giống như lực ngoài tác động lên phần tử bị nứt, trong khi ứng xử của các phần tử đặt bên trái nó bị ràng buộc (Hình 3.9).
h b x
L
a P
M N
Hình 3.9 Mô hình phần tử khung có vết nứt Năng lượng biến dạng của một phần tử không có vết nứt có thể được viết như sau
2
2 (0)
0
2 3
2 2
2 2
= 1
2 3 2
L N M Pz
W dz
EA EI
P l PL
M l MPl N
EI EA
(3.19)
trong đó E là module đàn hồi của vật liệu, Ibh312 là mô men quán tính của mặt cắt ngang, b và h là chiều rộng và chiều cao phần tử khung; M và P, N là moment và lực cắt, lực dọc tại nút cuối của phần tử có chiều dài L.
Năng lượng biến dạng thêm vào do vết nứt
(1) 0
a
W b J da s (3.20)
Mật độ năng lượng biến dạng Js trong trường hợp tổng quát có dạng:
2 2 2
6 6 6
1 1 1
1
s ' Ii IIi IIIi
i i i
J K K K
E
(3.21)
2 2 2
(1)
0a KI 'KII 1 KIII
W b v da
E E
(3.22)
trong đó E’ = E với ứng suất phẳng, E’ = E/(1+v) với biến dạng phẳng, v là hệ số
Poisson, KI II III, , là hệ số cường độ ứng suất với tương ứng 3 mode nứt mở, trượt và xé (Hình 3.7).
Xét đến ảnh hưởng của lực dọc trục phương trình (3.22) trở thành
2 2
(1)
0 '
a KIM KIP KIN KIIP
W b da
E
(3.23)
trong đó
2
6
IM I
K M aF
bh
, IP 3 2 I
K Pl aF
bh
,
IIP II
K P aF
bh
, IN IN
K N aF
bh
(3.24)
với a h là tỉ số giữa độ sâu vết nứt a và chiều cao h của dầm.
Từ Lê Bùi Việt [5], thu được các hệ số cường độ ứng suất
1.122 1.4 7.33 2 13.08 3 14 4
FI (3.25)
2 3
0.5
1.122 0.561 0.085 0.18
II 1
F
(3.26)
Từ Khoa Viet Nguyen [18] cũng thu được các hệ số cường độ ứng suất trình bày ở các phương trình (3.27) và (3.28) bên dưới, luận văn này sẽ tính toán mô hình vết nứt mở dựa trên các hệ số cường độ ứng suất ở các phương trình (3.27) và (3.28) và (3.29).
4
0.923 0.199 1 sin 2 2
( ) tan
2 cos
2
FI
(3.27)
21.122 0.561 0.085 2 0.18 3
( ) 3 2
II 1
F
(3.28)
Từ Tada et al. [23] có được hệ số cường độ ứng suất cho lực dọc trục
1.122 0.231 10.550 2 21.710 3 30.382 4
FIN (3.29)
Số hạng cij 0 của ma trận độ mềm C 0 phần tử không chứa vết nứt là
2 0
0 , 1, 2, 3
ij
i j
c W i j
P P
; P1N P, 2 P P, 3 M (3.30)
Số hạng cij 1 của ma trận độ mềm C 1 gia tăng do sự xuất hiện vết nứt là
2 1
1 , 1, 2, 3
ij
i j
c W i j
P P
; P1N P, 2 P P, 3M (3.31)
Số hạng cij của tổng ma trận độ mềm C phần tử khung với vết nứt mở là
0 1
ij ij ij
c c c (3.32)
Từ điều kiện cân bằng phần tử (Hình 3.10)
1 1 1 1 1 1
T T
i i i i i i i i i
N P M N P M T N P M (3.33)
với T là ma trận chuyển đổi
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
T
T L
(3.34)
Hình 3.10 Phần tử dầm hai điểm nút có vết nứt Từ nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử khung có vết nứt được biểu diễn như sau
1 T
Ko TC T (3.35)
Trường hợp phần tử không nứt, ma trận độ mềm C(0) có dạng sau
3 2
(0)
2
0 0
0 3 2
0 2
L EA
L L
C EI EI
L L
EI EI
(3.36)
Trường hợp phần tử bị nứt, ma trận độ mềm C(1) có dạng sau
3 4 4
2 1
4 1 2 1
4 1 1
6 12
2
6 2
2
12 2
mL m
mR R R
h h
mL nL
C R R mR nlR
h
mR nlR nR
h
(3.37)
với 1 2
0
a
R a FI da, 2 2
0
a
R a FII da, 3 2
0
a
R aF daIN , 4
0
a IN I
R aF F da,
' 4
n 36
E bh
,m ' 2
E bh
.
Giả thiết hai bề mặt vết nứt rất gần nhau và bề rộng vết nứt rất nhỏ nên khối lượng của phần tử có vết được xem như không thay đổi.
Theo nghiên cứu của Ariaei et al. [7] độ cứng phần tử vết nứt thở như sau
"
"
max
1 1
b e 2 o e
K K K K d
d
(3.38)
với Kb và Ko là độ cứng của phần tử có vết nứt thở, vết nứt mở; Ke là độ cứng của phần tử không có vết nứt; d d", max" là độ cong tức thời của phần tử, độ cong cực đại của phần tử tại vị trí có vết nứt. Phương trình (3.38) cho thấy khi d" dmax" độ cứng
Kb lớn nhất và bằng Ke – độ cứng phần tử không nứt. Khi d"dmax" độ cứng Kb nhỏ nhất và bằng K0 – độ cứng phần tử nứt mở. Bằng phương pháp này, độ cứng của phần tử nứt thở có thể được xác định dựa vào độ cứng phần tử nứt mở và phần tử không nứt mà không cần phải tham khảo đến một tần số đã biết.
Để xây dựng mô hình khung có phần tử có vết nứt thở, trước tiên cần phải xây dựng mô hình phần tử có vết nứt thở. Sau khi đã có mô hình phần tử có vết nứt thở, xây dựng mô hình khung bao gồm các phần tử không có vết nứt và phần tử có vết nứt thở.
Ma trận độ cứng, ma trận khối lượng của phần tử nguyên không có vết nứt được xây dựng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn, ma trận độ cứng phần tử có vết nứt thở được xây dựa trên phương pháp cơ học rạn nứt, ma trận khối lượng của phần tử nứt thở xem như không đổi so với ma trận khối lượng phần tử không nứt.
Từ đó xây dựng được mô hình khung có vết nứt thở bằng cách ghép nối các phần tử không có vết nứt và phần tử có vết nứt thở.
Hình 3.11 Mô hình khung có vết nứt Phương trình dao động của kết cấu khung phẳng chịu tải trọng động
M d.. C d . K d P (3.39)
Theo phương pháp PTHH của Chu Quốc Thắng [4], ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M tổng thể được ghép nối từ các ma trận độ cứng và khối lượng phần tử Ke và Me là
M là ma trận khối lượng tổng thể,
1
ne
e e
M M
(3.40)
K là ma trận độ cứng tổng thể,
1
ne
e e
K K
(3.41)
Ở đây, dấu được hiểu là phép cộng có sắp xếp khi ghép nối phần tử, ne là số phần tử chia.
Khung có n bậc tự do, lực kích thích tác dụng lên bậc tự do thứ k với độ lớn
0sin
Pk P t , P0 là biên độ lực kích thích, là tần số lực kích thích, vector tải tổng thể như sau
P là vector tải tổng thể, P 0 0...0 Pk 0...0 0T (3.42)