Cơ sở lý thuyết sự hình thành sóng âm trong chất rắn

Chương 1. Tổng quan về cảm biến từ dạng sóng âm bề mặt

1.3. Cơ sở lý thuyết sự hình thành sóng âm trong chất rắn

 Chuyển vị hạt và gradient chuyển vị [113]

Sóng âm được nghiên cứu trên cơ sở là sự biến dạng hay dao động theo thời gian (t) trong môi trường đàn hồi. Các vật chất bao gồm cả mức độ nguyên tử, do lực tác dụng các hạt dao động xung quanh vị trí cân bằng. Khi dao động có rất nhiều loại chuyển động khác nhau có thể tồn tại ở mức độ nguyên tử. Tuy nhiên, hầu hết các loại chuyển động này không liên quan đến quá trình nghiên cứu sóng âm. Với mỗi hạt, các nguyên tử chuyển động ở trạng thái đồng nhất. Do đó, lý thuyết sóng âm được nghiên cứu và phát triển như một hiện tượng vĩ mô xảy ra trong môi trường đàn hồi.

Nội lực hay lực đàn hồi được sinh ra khi các hạt dời khỏi vị trí cân bằng, kết hợp tất cả nội lực bên trong của các hạt tạo ra sự dao động của vật chất. Để xác định định lượng sự dịch chuyển (chuyển vị: displacement) các hạt, biến dạng vật liệu và sự hình thành nội lực, thì cần thiết phải xây dựng mô tả toán học cho các dao động này (Hình 1.8).

Chuyển vi của các hạt vật chất Hình 1.8, mỗi hạt được sắp xếp ở vị trí cân bằng là vector L và vị trí chuyển vị là vector l(L,t) được xác định từ gốc tọa độ. Vector vị trí chuyển vị l được xác định theo thời gian t và cũng là một hàm của

L. Cả hai biến L và l là các giá trị không giới hạn. Như vậy, chuyển vị

(displacement) u của hạt tại L quanh vị trí cân bằng được xác định.

u(L, t) = l(L, t) – L (1.1)

Hình 1.8. Ví trí cân bằng (hạt đen) và biến dạng (hạt trắng) các hạt. [113]

Trường chuyển vị u là đại lượng liên tục để mô tả chuyển động của tất cả các hạt vật chất. Nếu chuyển động là một hàm sin theo thời gian, với  là tần số riêng, thì có ba dạng chuyển động có thể của mỗi hạt đó là:

 Chuyển động tuyến tính ngang qua điểm cân bằng (1.2).

u(L, t) = A(L)sint (1.2)

 Chuyển động đồng thời hai chuyển động tuyến tính lệch pha nhau một góc 900 (1.3).

u(L, t) = A(L)sint + B(L)cost (1.3)

 Chuyển động dạng quỹ đạo elip (1.4). Và trường hợp đặc biệt A = B thì quỹ đạo chuyển động là hình tròn.

𝒖(𝑳, 𝑡) = {𝑨2(𝑳)𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 + 𝑩2(𝑳)𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡}1/2 (1.4)

Biến dạng vật liệu chỉ áp dụng khi các hạt dịch chuyển với nhau một cách tương đối. Với các hạt dịch chuyển tịnh tiến cứng (rigid translation) và quay cứng (rigid rotation) dẫn đến tất cả các hạt của vật duy trì vị trí một cách tương đối.

Xét đạo hàm của (1.1) ta có: du(L, t) = dl(L, t) – dL (1.5) và ý nghĩa vật lý của (1.5) được thể hiện trên Hình 1.9.

Nếu hai hạt a và b cùng chuyển động tịnh tiến thì hai vector chuyển vị u(L, t) và

u(L+dL, t) trong Hình 1.9 là bằng nhau và đạo hàm (du) trong (1.5) là bằng không.

Tính đạo riêng phần trường chuyển vị u(L, t) ta có mối quan hệ (1.6).

𝑑𝒖(𝑳, 𝑡) = 

𝐿1𝒖(𝑳, 𝑡)𝑑𝐿1 + 𝐿

2

𝒖(𝑳, 𝑡)𝑑𝐿2 + 𝐿

3

𝒖(𝑳, 𝑡)𝑑𝐿3

(1.6)

hạt a hạt b Trạng thái

biến dạng

hạt b hạt a Trạng thái

cân bằng

Hình 1.9. Chuyển vị của hạt khi biến dạng. [113]

trong đó: dL1, dL2, dL3, là các thành phần của dL, trong hệ tọa độ trực giao thành phần theo thời gian 𝜕 𝑢(𝐿, 𝑡)𝑑𝑡 được bỏ qua. Trong hệ tọa độ đề-các, ta có:

𝜕𝑡

𝒖(𝑳, 𝑡) = 𝒙̂𝑢𝑥(𝑳, 𝑡) + 𝒚̂𝑢𝑦(𝑳, 𝑡) + 𝒛̂𝑢𝑧(𝑳, 𝑡) (1.7) với 𝒙̂, 𝒚̂, 𝑣à 𝒛̂là các vector đơn vị và (1.6) được viết lại như sau:

𝑢𝑥 𝑑𝒖 = 𝒙̂ (

𝐿

𝑢𝑦 +𝒚̂ (

𝐿

𝑢𝑧

𝑢𝑥 𝑑𝐿𝑥 +

𝐿

𝑢𝑦 𝑑𝐿𝑥 +

𝐿

𝑢𝑧

𝑢𝑥 𝑑𝐿𝑦 +

𝐿

𝑢𝑦 𝑑𝐿𝑦 +

𝐿

𝑢𝑧 𝑑𝐿𝑧)

𝑑𝐿𝑧)

+𝒛̂ (

𝐿 𝑑𝐿𝑥 +

𝐿

𝑑𝐿𝑦 +

𝐿

𝑑𝐿𝑧)

có thể viết lại dưới sạng ma trận như sau:

𝑢𝑥 𝑢𝑥 𝑢𝑥

𝑑𝑢𝑥(𝑑𝑳, 𝑡) [𝑑𝑢𝑦(𝑑𝑳, 𝑡)] =

𝑑𝑢𝑧(𝑑𝑳, 𝑡)

𝐿𝑥

𝑢𝑦

𝐿

𝑥

𝑢𝑧

[𝐿𝑥

𝐿

𝑦

𝑢𝑦

𝐿

𝑦

𝑢

𝑧

𝐿

𝑧

𝐿𝑧

𝑢𝑦

𝐿𝑧

𝑢𝑧

𝐿𝑧

] 𝑑𝐿𝑥 [𝑑𝐿𝑦] (1.8)

𝑑𝐿𝑧

với: [E(L, t)]

=

𝑢 𝑥(𝑳,𝑡 )

𝐿𝑥

𝑢 𝑥(𝑳,𝑡)

𝐿𝑦

𝑢 𝑥(𝑳,𝑡 )

𝐿𝑧

(1.9)

(1.9) được gọi là ma trận gradient chuyển vị (The displacement gradient matrix). Sử dụng ma trận này và quan hệ (1.8), đạo hàm chuyển vị (du) cho bất kể hai hạt với khoảng cách dL. Ma trận gradient chuyển vị [E(L, t)] là phép đo của biến thiên chuyển vị đối với biến dạng vật liệu.

 Biến dạng (Strain) [113]

Xét vật liệu biến dạng chuyển động quay cứng với góc nhỏ , Hình 1.10 thể hiện vị trí của hai hạt a và b trước và sau khi quay. Ta có chuyển vị của hạt a là:

u = 2Lsin/2

và chuyển vị của hạt b là:

u + du= 2(L+dL)sin/2

Như vậy, do gradient chuyển vị là khác không, mặc dù vật liệu không biến dạng.

��

�

�

𝑦

𝑦

𝑧

𝑧

�

� 𝑦 𝑧

𝑢𝑦(𝑳,𝑡)

𝐿𝑥

𝑢𝑦(𝑳,𝑡)

𝐿𝑦

𝑢 𝑦(𝑳,𝑡)

𝐿𝑧

𝑢 𝑧(𝑳,𝑡)

[ 𝐿𝑥

𝑢 𝑧(𝑳,𝑡)

𝐿𝑧

𝑢 𝑧(𝑳,𝑡)

𝐿𝑧 ]

Một đại lượng vô hướng () để xác định biến dạng luôn không đổi đối với chuyển động quay cứng và ngay cả đối với chuyển động kết hợp giữa quay cứng và tịnh tiến đều là:

 = dl(L, t) - dL

Với chuyển động cứng  luôn bằng không, nhưng biến dạng luôn khác không. Tuy nhiên, một cách tính khác có tính thuận lời và phổ biến là:

= dl2(L, t) – (dL)2

𝑦

Hạt b

H



Trong hệ tọa độ Đề-các hai chiều thì được xem như biến dạng được tính từ u(L,

t) khi kết hợp với (1.5) và (1.8) như sau:

 = dl2 – dL2 = (dlx)2 + (dly)2 - (dLx)2 - (dLy)2

= (2 𝜕𝑢𝑥 + (𝜕𝑢𝑥)2 + (𝜕𝑢𝑦)2) 𝑑𝐿2

𝜕𝐿 𝑥 𝜕𝑢 𝑦

𝜕𝐿𝑥

𝜕𝑢 2

𝜕𝐿𝑥 𝑥

𝜕𝑢𝑦 2

+ (2𝜕𝐿

𝑦

+ ( 𝑥 )

𝜕𝐿𝑦 + ( )

𝜕𝐿𝑦 ) 𝑑𝐿2

+ (2 𝜕𝑢 𝑥 + 2 𝜕𝑢𝑦 + 2 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑢𝑥 + 2 𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑢𝑦

) 𝑑𝐿 𝑑

𝐿 (1.10)

𝜕𝐿𝑦 𝜕𝐿

𝑥

𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐿𝑦 𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐿𝑦 𝑥 𝑦

Tả có thể biểu diễn (1.10) lại dưới dạng ma trận như sau:

(𝑑𝑙)2 − (𝑑𝐿)2 = 2

([𝑑𝐿 𝑑

𝐿 ] [𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑥𝑦

] [𝑑𝐿𝑥

])

𝑥 𝑦

𝑆𝑦𝑥 𝑆𝑦𝑦

𝑑𝐿𝑦

= 2𝑆𝑥𝑥𝑑𝐿2 +

2𝑆 𝑑𝐿2 +

2(𝑆 +

𝑆 ) 𝑑𝐿 𝑑

𝐿 (1.11)

Trong đó:

𝑥 𝑦𝑦

𝑆 = 𝜕𝑢

𝑦

+𝑥

𝑥𝑦

1 (𝜕𝑢𝑥

)

𝑦𝑥

+1

𝑥 𝑦

𝜕𝑢𝑦

( )

𝑥𝑥 𝜕𝐿

𝑥

2 𝜕𝐿𝑥 2 𝜕𝐿𝑥

𝑆𝑦𝑦 = 𝜕𝑢𝑦

𝜕𝐿 𝑦

2

+ 1 (𝜕

𝑢𝑥

)

2 𝜕𝐿𝑦

1 𝜕𝑢𝑦 2

+ ( )

2 𝜕𝐿𝑦

𝑆𝑥𝑦 = 𝑆𝑦𝑥

=

1 (𝜕𝑢𝑥 2 𝜕𝐿𝑦

𝜕𝑢𝑦 +𝜕𝐿

𝑥

𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑢𝑥 +𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐿𝑦

𝜕𝑢𝑦 𝜕𝑢𝑦

+ )

𝜕𝐿𝑥 𝜕𝐿𝑦

ạt a

2 2

Hình 1.10. Chuyển động quay cứng của vật liệu. [113]

Tương tự khi áp dụng cho hệ tọa độ Đề-các với không gian 3 chiều ta có:

(L, t) = 2Sij (L, t) dLi dLj (1.12) với:𝑆 (𝑳, 𝑡) = 1 (𝜕𝑢𝑖 + 𝜕𝑢𝑗 + 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘) ; i, j, k = x, y, z (1.13)

𝑖𝑗 2 𝜕𝐿𝑗 𝜕𝐿𝑖 𝜕𝐿𝑖 𝜕𝐿𝑗

trong đó, các chỉ số i, j, k có thể nhận các chiều x, y, z của hệ trục tọa độ.

Các phần tử Sij(L, t) là các thành phần của trường biến dạng (Strain field) và dùng để xác định biến dạng  của trường chuyển vị u(L, t). Tính chất biến dạng của các loại vật rắn là khác nhau, như cao su thì gradient chuyển vị lớn hơn nhiều so với vật liệu thông thường. Đối với những vật liệu cứng (bền vững) thì gradient chuyển vị cần giữ ở dưới khoảng từ 10-4 đến 10-3 để tránh cho vật liệu bị gãy. Như vậy, với các vật liệu có gradient chuyển vị nhỏ hơn khoảng bên trên thì thành phần bậc hai trong (1.13) là không đáng kể và quan hệ biến dạng – chuyển vị (strain-displacement) được tuyến tính hóa như sau:

𝑆𝑖𝑗 (𝑳, 𝑡) = 1 (𝜕𝑢𝑖(𝑳,𝑡)

+

) ; với i, j = x, y, z (2.14)

2 𝜕𝐿𝑗 𝜕𝐿𝑖

Như vậy, theo từng trục tọa độ ta có dLi = dli – dui, đạo hàm riêng phần của chuyển vị trong (1.14) được xác định như sau:

𝜕𝑢𝑖

= 𝜕𝑢𝑖

(1 − 𝜕𝑢𝑖

)−1

𝜕𝐿𝑗 𝜕𝑙𝑗 𝜕𝐿𝑗 Theo lý thuyết tuyến tính hóa, không cần thiết phải phân biệt vector ở vị trí biến dạng

l với vector tại vị trí cân bằng L, như vậy ta có:

𝑳  𝑙 = 𝒙̂𝑥 + 𝒚̂𝑦 + 𝒛̂𝑧 = 𝒓 (1.15)

Như vậy, trong hệ tọa độ đề-các quan hệ biến dạng – chuyển vị được tuyến tính hóa và được viết lại:

𝑆 (𝒓, 𝑡) = 1 (𝜕𝑢𝑖 + 𝜕𝑢𝑗) ; với i, j = x, y, z (1.16)

𝑖𝑗 2 𝜕𝑟𝑗 𝜕𝑟𝑖

Và ma trận gradient chuyển vị cũng được sấp xỉ, (1.9) được viết lại như sau:

ij (r,t) =

𝜕𝑢 𝑖

𝜕𝑟𝑗

(1.17)

Tiêu chuẩn hóa ký hiệu các đại lượng theo cách viết dạng ký hiệu tượng trưng (symbolic notation), như các quan hệ phía trên thì các đại lượng thường được biểu diễn dưới dạng chỉ số. Cách viết này đôi khi làm cho các quan hệ có cảm giác phức

𝜕𝑢𝑗(𝑳,𝑡 )

E

tạp và không gọn, vì vậy việc tiến hành tiêu chuẩn hóa các kí hiệu sao cho không ảnh hưởng đến mối quan hệ toán học và bản chất vật lý của các đại lượng là cần thiết. Như: cách viết của vector chuyển vị và gradient chuyển vị là u và E, trường biến dạng là S, ... (Tức là thay thế cách viết dạng chỉ số thành cách viết bằng chữ đậm). Cách quy ước này cũng áp dụng cho các tensor bậc cao hơn. Như vậy, trường chuyển vị u là tensor bậc 1 (tương đương với vector), gradient chuyển vị E và trường biến dạng S là các tensor bậc hai (tương đương với ma trận). Như vậy, quan hệ (1.17) được viết lại như sau.

E = u (1.18)

hay: du = E dr (1.19)

2

2

Khi tuyến tính hóa quan hệ giữa trường biến dạng và gradient chuyển vị có ý nghĩa vật lý là gradient chuyển vị được thể hiện qua hai thành phần đối xứng và không đối xứng, cụ thể viết dưới dạng ma trận như sau.

[E ] = 1 ([E ] + [̃E ]) + 1 ([E ] − [̃E ])

2 2

đối xứng không đối xứng

Xem xét quan hệ giữa (1.16) và (1.17) thì ma trận [S] chính là thành phần đối xứng của ma trận [E ], trong đó dấu  là phép chuyển vị của ma trận.

vậy ta có: [𝑆] = 1 ([E ] + [̃E ])

hay: 𝑺 = 1 (E + Ẽ ) (1.20)

và quan hệ biến dạng – chuyển vị được viết lại như sau:

𝑺 =1 (∇𝒖 + ∇̃𝒖)

với: 21 (∇𝒖 + ∇̃𝒖)

= ∇ 𝒖 (1.21)

2 𝑠

thì: 𝑺 = ∇𝑠𝒖 (1.22)

Khi giải quyết các bài toán cụ thể, điều cần thiết là lựa chọn một hệ trục tọa độ phù hợp và khai triển các trường thành các phần tử tương ứng với các trục tọa độ.

Như vậy, các tensor biến dạng (1.16) có tính đối xứng, mỗi phần tử có thể biểu diễn bởi một hoặc hai chỉ số và được xác định như sau.

𝑆 1 𝑆 1 𝑆 𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑥𝑦

𝑆𝑥𝑧 1 2 6 2 5

𝑺 = [𝑆 𝑆

𝑆 ] =

1 𝑆 𝑆

1 𝑆 (1.23)

𝑥𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑧 2 6 2 2 4

𝑆𝑥𝑧 𝑆𝑦𝑧

𝑆𝑧𝑧 1

𝑆

1 𝑆 𝑆

[2 5 2 4 3 ] hoặc có thể viết dưới dạng ma trận cột tùy theo cách tính toán sau này.

𝑆1 𝑆2

𝑆3

𝑺 = 𝑆 (1.24)

4

𝑆5

[𝑆6]

𝜕𝑢𝑥

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑥 0 0

𝑆

𝜕𝑢1𝑦 𝜕𝑦 0 𝜕𝑦𝜕 0

𝑆2 𝜕𝑢

𝑧 0 0 𝜕 𝑢𝑥 Từ (1.16) và (1.23) ta có:

𝑆3

= 𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 [𝑢𝑦]

𝑆4 𝜕𝑢𝑦

+ 𝜕𝑢 𝑧 0 𝜕 𝜕 𝑆5 𝜕𝑧 𝑢

𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝑢𝑧

𝜕

𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑧

𝜕

[𝑆6] +𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 0

𝜕𝑥

𝜕𝑢 𝑥

+ 𝜕𝑢𝑦

𝜕

𝜕 0

[ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ] [𝜕𝑦 𝜕𝑥 ]

hay: 𝑆𝐼 = ∇𝐼𝑗 𝑢𝑗 (1.25) Lúc này toán tử gradient đối xứng s trong (1.22) chuyển thành Ij và được tính như sau:

𝜕

𝜕𝑥 0 0

0 𝜕𝑦𝜕 0

0 0 𝜕

∇𝑠→

∇𝐼𝑗 = 0 𝜕

𝜕𝑧

𝜕 (1.26)

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧 0 𝜕𝑥𝜕

𝜕 𝜕

[𝜕𝑦 𝜕𝑥 0 ]

 Ứng suất và phương trình động lực học [113]

Chuyển vị u(r,t) và biến dạng S(r,t) là tính chất của chuyển động và biến dạng trong vật liệu khi bị dao động. Khi một khối vật liệu dao động theo dạng sóng âm, lực đàn hồi (hay ứng suất) sẽ hình thành giữa các hạt. Trong khối vật liệu dao động tự do thì đây là lực duy nhất được biểu diễn. Còn nếu khối vật bị dao động bởi tác động bên ngoài, cần xem xét đến hai loại lực là lực khối (body forces) và lực bề mặt (surface or traction forces). Các loại lực này cần phải được xem xét thông qua các trường u(r,t) và S(r,t). Lực khối tác động trực tiếp lên các hạt bên trong vật thể. Ví dụ, trường hấp dẫn tạo ra lực khối tĩnh trên mỗi hạt trong đơn vị thể tích dV là (1.27). Trong đó  là mật độ khối lượng, g là vector trường hấp dẫn.

𝑭𝑑𝑉 = 𝜌𝒈𝑑𝑉 (1.27)

Một phương pháp kích thích sóng âm cho khối vật liệu là tác động lực lên mặt tại đường biên của vật liệu. Trường hợp này là kích thích không tác động trực tiếp lên các hạt bên trong vật thể mà được truyền tới chúng thông qua lực đàn hồi (ứng suất) tương tác giữa các hạt. Ứng suất và lực bề mặt ngoài đều có thứ nguyên là N.m-2.

Ứng suất được xác định bằng cách biểu diễn các hạt vật liệu như là những phần tử khối trong hệ tọa độ trực giao (Hình 1.11). Mỗi mặt đều chịu tác động lực bởi hạt bên cạnh (tiếp giáp). Ứng suất có ba thành phần theo chiều dương các trục x, y và z, và được xác định:

𝑻𝑥 = 𝒙̂𝑇𝑥𝑥 + 𝒙̂𝑇𝑦𝑥 + 𝒙̂𝑇𝑧𝑥 (1.28) 𝑻𝑦 = 𝒙̂𝑇𝑥𝑦 + 𝒙̂𝑇𝑦𝑦 + 𝒙̂𝑇𝑧𝑦 (1.29) 𝑻𝑧 = 𝒙̂𝑇𝑥𝑧 + 𝒙̂𝑇𝑦𝑧 + 𝒙̂𝑇𝑧𝑧 (1.30)

Tij với i, j = x, y, z được gọi là các phần tử ứng suất. Như vậy ứng suất tại điểm có 𝒓 = 𝒙̂𝑥 + 𝒚̂𝑦 + 𝒛̂𝑧 xác định bằng cách sử dụng (1.28), (1.29) và (1.30) khi giới hạn

x, y và z tiến đến không.

z

x

y

Xét một hạt với hình dáng bất kỳ, có thể tích là V, thiết diện là S. Lực khối tạo

ra dao động là FV và lực bề mặt bị tác động bới các hạt bên cạnh. Ứng suất pháp

tuyến được tính như sau (n là vector pháp tuyến đơn vị):

𝑻𝑛 = 𝑻 ∙ 𝒏̂ (2.31)

Hình 1.11. Ứng suất tác động trên hạt vật liệu [113].

Theo định luật Newton ta có:

∫ 𝑻 ∙ 𝒏̂𝑑𝑆 + ∫ 𝑭𝑑𝑉 = ∫  𝜕2𝒖

𝑑𝑉 (1.32)

𝛿𝑆 𝛿𝑉 𝛿𝑉 𝜕𝑡2

với  là mật độ khối của vật liệu ở trạng thái cân bằng. Khi thể tích hạt đủ nhỏ thì các tích phân theo thể tích sẽ là hằng số, như vậy (1.32) sẽ là:

∫𝛿𝑆 𝑻∙𝒏̂𝑑𝑆

=  𝜕2𝒖 − 𝑭 (1.33)

𝛿𝑉 𝜕𝑡2

Thực hiện lấy giới hạn vế trái của (1.33) khi V  0 ta được:

∇ ∙ 𝑻 = 𝐥𝐢𝐦

𝑉  0 ∫𝑆

𝑻∙𝒏̂𝑑𝑆

𝑉

(1.34)

và (1.33) được viết lại thành:

∇ ∙ 𝑻 = 

𝜕2𝒖

𝜕𝑡2 − 𝑭 (1.35)

hay còn được gọi phương trình chuyển động tịnh tiến của vật liệu dao động.

với:

∇ ∙ 𝑻 = 𝐥𝐢𝐦 ∫𝑆 𝑻∙𝒏̂𝑑𝑆

= ( 𝜕

𝑻 + 𝜕 𝑻 + 𝜕 𝑻 ) (1.36)

𝑉  0 𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑥

𝑥 𝜕𝑦 𝑦 𝜕𝑧 𝑧

Trong hệ trục tọa độ đề-các thì:

∇ ∙ 𝑻 = 𝒙̂ ( 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 )

𝜕𝑥 𝑥𝑥 𝜕𝑦 𝑥𝑦 𝜕𝑧 𝑥𝑧

+𝒚̂ ( 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 )

𝜕𝑥 𝑦𝑥 𝜕𝑦 𝑦𝑦 𝜕𝑧 𝑦𝑧

+𝒛̂ ( 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 + 𝜕 𝑇 )

𝜕𝑥 𝑧𝑥 𝜕𝑦 𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑧𝑧

2

𝑖

được viết gọn theo dạng chỉ số:

(∇ ∙ 𝑻)𝑖

= 𝜕𝑟𝜕𝑗𝑇𝑖𝑗 ; với: i, j = x, y, z (1.37) Và phương trình chuyển động tịnh tiến (1.35) trong hệ tọa độ đề-các là:

𝜕

𝜕𝑟𝑗𝑇𝑖𝑗 =



𝜕2𝑢𝑖 − 𝐹 ; với: i, j = x, y, z (1.38)

𝜕𝑡

Tương tự như cách viết tiêu chuẩn của trường biến dạng, thì ma trận ứng suất cũng được tiêu chuẩn hóa dưới dạng ma trận vuông hoặc cột như sau:

𝑇𝑥𝑥 𝑇𝑥𝑦 𝑇𝑥𝑧 𝑇1 𝑇6 𝑇5 𝑻 = [𝑇𝑦𝑥 𝑇𝑦𝑦 𝑇𝑦𝑧] = [𝑇6 𝑇2 𝑇4] (1.39)

𝑇𝑥𝑧 𝑇𝑦𝑧 𝑇𝑧𝑧

𝑇1 𝑇2

𝑇3

hay: 𝑻 =

𝑇 𝑇5 𝑇4 𝑇3

(1.40)

4

𝜕 𝑇 𝜕 𝑇

𝑇5

[𝑇6]

𝜕 𝑇

𝜕𝑥 𝑥𝑥 𝜕𝑦 𝑥𝑦 𝜕𝑧 𝑥𝑧

và: ∇ ∙ 𝑻 = 𝜕

𝑇 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 (1.41)

𝜕𝑥 𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑦𝑧

𝜕

𝑇 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 [𝜕𝑥

𝜕 𝑥𝑧 𝜕𝑦 𝑦𝑧 𝜕𝑧

𝜕 𝑧𝑧 ]

𝜕 𝑇1

𝜕�

�

0 0 0

𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑇2 𝑇

hay: ∇ ∙ 𝑻 =

0 0 𝜕 0 𝜕 3 (1.42)

𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑇4

0 0 𝜕

𝜕𝑧

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥 0] 𝑇5

[𝑇6] Phương trình chuyển động tịnh tiến được biểu diễn lại với  được viết thành iJ :

𝜕2𝑢𝑖

∇𝑖𝐽𝑇𝐽 =

 𝜕𝑡2 − 𝐹𝑖 (1.43)

với: i = x, y, z ; J = 1, 2, 3, 4, 5, 6

𝜕

𝜕

��

0 0 0 𝜕

𝜕𝑧

𝜕

𝜕𝑦

và: ∇ ∙

→ ∇

= 0 𝜕 0 𝜕 0 𝜕 (1.44)

𝑖𝐽 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥

0 0 𝜕 𝜕 𝜕

0 [

[ 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ]

 Tính chất đàn hồi trong vật rắn [113, 114]

Như đã biết, biến dạng trong môi trường dao động kiểu sóng âm được mô tả bởi trường biến dạng S(r,t) và có mối quan hệ với trường chuyển vị u(r,t) theo quan hệ thông qua phương trình biến dạng-chuyển vị.

S(r,t) = su(r,t) (1.45)

Mặt khác, mối quan hệ giữa các lực đàn hồi (ứng suất) với quán tính trong môi trường biến dạng nhỏ là phương trình động học. Áp dụng quan hệ này cho một hạt đơn, ta sẽ quan sát được sự ảnh hường của quán tính và thành phần tịnh tiến của chuyển động hạt. Quán tính và lực đàn hồi trong môi trường dao động tự do có mối quan hệ thông qua phương trình chuyển động tịnh tiến.

𝜕2𝒖

∇ ∙ 𝑻 =  𝜕𝑡2 (1.46)

Sự cần thiết phải xây dựng mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của môi trường đàn hồi. Định luật Hook cho biết, đối với biến dạng nhỏ, thực nghiệm cho thấy trường biến dạng trong môi trường đàn hồi là tỷ lệ tuyến tính với ứng suất tác động. Khi biến dạng tăng lên, thì quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trở lên phi tuyến hơn, với điều kiện vật thể trở về trạng thái ban đầu khi thôi tác động của ứng suất. Điều này được gọi là vùng biến dạng đàn hồi tuyến tính và phi tuyến và được thể hiện thông qua quan hệ ứng suất – biến dạng (stress - strain).

Như vậy định luật Hook phát biểu, biến dạng tỷ lệ tuyến tính với ứng suất hoặc ngược lại là ứng suất tỷ lệ tuyến tính với biến dạng. Như vậy ta có ứng suất theo trục x:

𝑇𝑥𝑥 = 𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑆𝑥𝑥 + 𝑐𝑥𝑥𝑥𝑦 𝑆𝑥𝑦 + 𝑐𝑥𝑥𝑥𝑧 𝑆𝑥𝑧

+ 𝑐𝑥𝑥𝑦𝑥𝑆𝑦𝑥 + 𝑐𝑥𝑥𝑦𝑦𝑆𝑦𝑦 + 𝑐𝑥𝑥𝑦𝑧𝑆𝑦𝑧 + 𝑐𝑥𝑥𝑧𝑥𝑆𝑧𝑥 + 𝑐𝑥𝑥𝑧𝑦𝑆𝑧𝑦 + 𝑐𝑥𝑥𝑧𝑧𝑆𝑧𝑧 (1.47)

Áp dụng cho tất cả các chiều và viết gọn lại dưới dạng chỉ số ta có định Hook biểu diễn ứng suất thông qua biến dạng:

𝑇𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑆𝑘𝑙 ; với i, j, k, l = x, y, z (1.48) Ngược lại, ta có định luật Hook biểu diễn biến dạng thông qua ứng suất:

𝑆𝑖𝑗 = 𝑠𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑇𝑘𝑙 ; với i, j, k, l = x, y, z (1.49) Trong đó: cijkl được gọi là các hệ số độ cứng (elastic stiffness constants), sijkl được gọi là hệ số đàn hồi (compliance contants). Phương trình (1.49) được gọi là quan hệ cấu thành đàn hồi (elastic constitutive relations). Các hệ số sijkl mô tả các tính chất đàn hồi của môi trường. Mặt khác, định luật Hook biểu diễn dưới dạng cách viết tiêu chuẩn giống như khi ta biểu diễn chuyển vị, biến dạng và ứng suất; như sau:

T = c:S (1.50)

và S = s:T (1.51)

toán tử hai chấm (:) là phép nhân vô hướng giữa các tensor hạng bốn (c, s) với các

tensor hạng hai (T, S).

Ta nhận thấy sự không thuận tiện khi thể hiện đầy đủ các chỉ số trong các tensor bậc bốn (cijkl và sijkl). Để thuận tiện và ngắn gọn hơn ta sử dụng cách thể hiện ngắn gọn xuống còn hai chỉ số bằng cách thay thế cách ký hiệu như sau: I = ij, J = lk và 1

= xx, 2 = yy, 3 = zz, 4 = yz hoặc zy, 5 = xz hoặc zx, 6 = xy hoặc yx. Như vậy, I, J = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Và định luật Hook được viết lại thành:

:

Ví dụ: đối với vật liệu có cấu trúc tinh thể dạng lập phương (cubic) Hình 1.12 thì:

𝑐11 = 𝑐22 = 𝑐33 = 𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐12 = 𝑐21 = 𝑐13 = 𝑐31 = 𝑐23 = 𝑐32 = 𝑐𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑐44 = 𝑐55 = 𝑐66 = 𝑐𝑦𝑧𝑦𝑧

𝑐11 𝑐12 𝑐12 0

𝑐12 𝑐11 𝑐12 0𝑐12 𝑐12 𝑐11 0

0 0 0 0 0 0

và ma trận độ cứng [c] là: [𝑐] =

0 0 𝑐44 0

𝑐44 0

0 0 𝑐44] 𝑠11 𝑠12 𝑠12 0 0 0

𝑠12 𝑠11 𝑠12 0 0 0 𝑠12 𝑠12 𝑠11 0 0 0 ma trận đàn hồi [s] là: [𝑠] =

0 [ 0

0 0

𝑠44 0 0 0 0 0 0

0 𝑠44

0 0 0 𝑠44]

với: 𝑠

= 𝑐 11+𝑐12

; 𝑠 = −𝑐12

; 𝑠 = 1

11 (𝑐11−𝑐12)(𝑐11+2𝑐12) 12 (𝑐11−𝑐12)(𝑐11+2𝑐12) 44 𝑐44

Hình 1.12. Tinh thể cấu trúc dạng lập phương. [113]

 Phương trình trường sóng âm [113]

Gọi v là vận tốc pha của hạt và p là mật độ động lượng (momentum density), thì ta có:

0

0

TI = cIJSJ (1.52)

và SI = sIJTJ (1.53)

trong đó các ma trận độ cứng [c] và ma trận đàn hồi [s] là nghịch đảo của nhau

[s] = [c]-1 (1.54)

hay: [s][c] = [c][s] = [I] (1.55)

0 0 0 0 [ 0 0 0 0

𝐯 =𝜕𝒖

𝜕𝑡

và: p = v (1.56)

lúc này ta có phương trình trường sóng âm trong môi trường không suy hao là:

∇ ∙ 𝑻 = 𝜌 𝜕𝐯 − 𝑭 (1.57)

𝜕𝑡

∇𝑠𝐯 = 𝑠:

𝜕𝑻

𝜕𝑡

(1.58)

với trường ứng suất, (1.57) được đạo hàm theo thời gian t ta có:

∇ ∙ 𝜕𝑻 = 𝜌 𝜕2𝐯 − 𝜕𝑭 (1.59)

𝜕𝑡 𝜕𝑡2 𝜕𝑡

nhân (1.58) với ma trận độ cứng c ta có:

𝒄: ∇𝑠 𝐯 =

𝜕𝑻

𝜕𝑡

(1.60)

từ (1.59) và (1.60) ta xác định được phương trình sóng âm (1.61) đối với v như sau:

∇ ∙ 𝒄: ∇

𝐯 = 𝜌 𝜕2𝐯 −

𝜕𝑭 (1.61)

𝑠 𝜕𝑡2 𝜕𝑡

nếu viết dưới dạng chỉ số thì (1.61) được biểu diễn như sau:

∇ 𝑐 ∇ 𝑣 = 𝜌 𝜕

2 𝑣 − 𝜕 𝐹 (1.62)

𝑖𝐾 𝐾𝐿 𝐿𝑗 𝑗 𝜕𝑡2 𝑖 𝜕𝑡 𝑖

trong đó các toán tử iK và Lj chính là iJ và Ij đã xác định từ trước:

𝜕

𝜕𝑥 0 0

0 𝜕𝑦𝜕 0

𝜕 0 0 0 𝜕 𝜕

0 0 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦

∇𝐿𝑗= 0 𝜕 𝜕𝑧𝜕 và

∇

𝑖𝐾

= 0 𝜕𝑦𝜕 0 𝜕𝑧𝜕 0 𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑧 𝜕𝑦 0 0 𝜕 𝜕 𝜕

𝜕 0

𝜕𝑧 0 𝜕𝑥𝜕

[ 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ]

𝜕 𝜕

[𝜕𝑦 𝜕𝑥 0 ]

 Phương trình cấu thành cho vật liệu áp điện [113, 114]

Để thấy rõ hiệu ứng áp điện thuận và áp điện ngược, cũng như là quá trình xây dựng phương trình cấu thành (constitutive equation) biểu thị mối quan hệ cơ - điện trong vật liệu áp điện. Ta sử dụng mô hình hệ thống trung hòa điện (electrically – neutral system), đó là sự kết nối giữa các hạt điện tích (q) với liên kết đàn hồi (lò xo) và liên kết cứng (Hình 1.13).

Các hạt điện tích được biểu diễn giống như các ion âm và dương được ràng buộc chuyển động theo chiều trục x với điểm giữa cố định tại x = 0. Khi tác động điện trường đến mô hình thì đáp ứng cơ là:

L = la + la (1.63)

a) Trạng thái cân bằng (la = lb = l’ quile )

b) Tác động bởi lực cơ

c) Tác động bởi điện trường

Hình 1.13. Mô hình vật liệu áp điện. [113]

và ngược lại, khi tác động lực cơ lên hệ thì đáp ứng điện là sự thay đổi về tổng mô men lưỡng cực, được tính trên tổng tất cả (n) các điện tích:

Px = qnxn (1.64)

Trạng thái cân bằng được xác định bằng cách ước lượng sự tương tác kết hợp giữa lực tĩnh điện và lực lò xo khi các điện tích a, b dịch chuyển mà tổng của chúng bằng không. Gọi chiều dài ban đầu của lò xo là l0, độ cứng (Kx) của các lò xo là như nhau thì ta có:

với lò xo bên trái: fa = Kx(la – l – lo) (1.65) và lò xo bên phải: fb = Kx(lb – l – lo) (1.66) Kết hợp giữa lực tĩnh điện và lực lò xo ta có:

(𝐹𝑎)

𝑥

= 𝐾𝑥

(𝑙𝑎 + 𝑙 + 𝑙0

) + 𝑞2 ( 1

(𝑙𝑎−𝑙)2 +(𝑙 1

𝑎+𝑙)2 +(𝑙 1

𝑎+𝑙𝑏)2

) (1.67)

(𝐹𝑏)𝑥 = 𝐾𝑥(𝑙𝑏 + 𝑙 + 𝑙0

) + 𝑞2 ( 1 + 1

(𝑙𝑏−𝑙)2 (𝑙𝑏+𝑙)2

+ 1 ) (1.68)

(𝑙𝑎+𝑙𝑏)2

Khi tác động lực cơ lên mô hình thì đáp ứng điện được xác định như sau:

Px = qla - qlb (1.69)

𝑖 𝑗

𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑖𝑗

𝐼𝐽

Mặt khác tác động lực điện thông qua điện trường (E) lên mô hình thì đáp ứng của hệ khi tiến tới trạng thái cân bằng là:

(Fa)x + q Ex = 0

(Fb)x + q Ex = 0 (1.70)

Và cuối cùng thì tương tác cơ điện trong mô hình vật liệu áp điện (Hình 8.2) được biểu diễn thông qua mối quan hệ sau:

𝑃𝑥 =  𝐸𝑥 + 𝑑 𝐹𝑥

𝐿 = 𝑑 𝐸𝑥 + 𝑠 𝐹𝑥 (1.71)

trong đó, , d, s và d là các tham số của hệ thống. Và khi áp dụng (1.71) trong không

gian ba chiều, ta có:

𝑃𝑖 = 𝑖𝑗 𝐸𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 𝐹𝑗

𝐿𝑖 = 𝑑 𝑖𝑗 𝐸𝑗 + 𝑠𝑖𝑗 𝐹𝑗 (1.72)

i, j = x, y, z

Như vậy trong môi trường vật rắn, các lực cơ được mô tả bởi các phần tử trường ứng suất Tij, và biến dạng là các phần tử trường biến dạng Sij. Khi trạng trái cân bằng của các trường xác định không, ta có thể viết lại (1.72) dưới dạng trường liên tục như sau.

𝑃𝑖 = 𝑖𝑗 𝐸𝑗 + 𝑑𝑖𝑗𝑘 𝑇𝑗𝑘 𝑆𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗𝑘𝐸𝑘 + 𝑠𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑇𝑘𝑙 (2.73)

Trong sử dụng kỹ thuật hiện đại, biến điện phụ thuộc thường được gọi là chuyển vị điện tích D (electrical displacement) được tính, 𝐷𝑖 = 𝜀0𝐸𝑖 + 𝑃𝑖 và phương trình áp điện được viết lại như sau.

𝐷𝑖 = 𝜀𝑇 𝐸𝑗 + 𝑑𝑖𝑗𝑘 𝑇𝑗𝑘 (1.74)

𝑆𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗𝑘𝐸𝑘 + 𝑠𝐸 𝑇𝑘𝑙 (1.75)

với, dijk, dijk là các hằng số biến dạng áp điện. Các chỉ số trên T và E của ij và sijkl để miêu tả tính chất điện môi và đàn hồi được xác định dưới điều kiện điện trường và ứng suất không đổi.

Như vây, ta có phương trình cấu thành được viết dưới dạng phương trình biến dạng - áp điện có dạng;

𝑫 = 𝜺𝑇 ∙ 𝑬 + 𝒅: 𝑻 (1.76)

𝑺 = 𝒅 ∙ 𝑬 + 𝒔𝑬: 𝑻 (1.77)

hay biểu diễn dưới dạng chỉ số ma trận:

𝐷𝑖 = 𝜀𝑇 𝐸𝑗 + 𝑑𝑖𝐽 𝑇𝐽 (1.78) 𝑆𝐼 = 𝑑𝐼𝑗 𝐸𝑗 + 𝑠𝐸 𝑇𝐽 (1.79)