'Xét trường hợp phổ biến cơ cấu tay máy có 6 bac tự đo. Sự thay đổi nhỏ về
định vị và định hướng của T được gây nên bởi các dạ, của các khớp động.
Theo (6.14) ta viết:
aT, = T1°A,.09, = AAA. "TAO (6.24)
Suy ra
or, TA, (6.25)
oq,
Với các ký hiệu thường dung như (4.7) # (4.9) thì:
Ty A Ageing Arie AsAe
vay: T, oT OT
'Từ (6.24) ta xác dinh “A:
Pye TAMA OT (6.26)
với OT = AA, (627)
167
Đối với khớp quay:
HẠ ® s 1
ceecec coco
Còn đối với khớp tịnh tiến:
0000
0000
000 4 0000
a=
“Ta thường biểu diễn (xem mục 4.2) ma trận T dưới dạng sau:
a1 ee ‘| (628)
Vậy nếu khớp ¡ là khớp quay thi d, = 0 va tir (6.21); (6.22) ta c6:
"4. =n,(8,xp,)
"dy =8,(5 xP.) (6.29)
7d, =9,6,xp,)
"6, = 5,
5, =8.8, (6.30)
5. =a8, Đông thời 8, = 0.1 + 0,j + 1.k nen (6.29) va (6.30) còn đơn giản hơn nữa:
8d, =—MgPy +My Pa
"dy =~S4Py +5, (6.31)
reg lạ = A Pry + Oy Pry
168
(6.32)
Còn đối với trường hợp tinh tiến 8 = 0 và d = 041 + 0,j + 0.k thi:
Md, =n,44+5,.J + ak (6.33)
%§ = 03+ 0,j+ 0.k (6.34)
Như vậy sự thay đổi nhỏ vẻ định vị và định hướng của TT, phụ thuộc vào 6 tọa độ khớp động và có thể mô tả bằng ma trận 6x6, được gọi là Jacobian của cơ
cấu tay máy sau đây:
bự TẢ, TH "dy Sáu ds, "dog |
d,| read | | HA, dy, dy, hả “s4, 44 Pd, "dry "dy, “day dey "de, |) de
HA, "ấu "6, "96, "96, "0ấ/, |[dm mg, 6, 196, 75, "5, 8, || es
165 195. 5, 16, 5, 5} Lage]
Ns ., %, Đố, ee LM
Trong đó các phần tử ở mỗi cột của Jacobian tương ứng các vi phân độ đi chuyển tịnh tiến và quay của mỗi khớp động.
6.5. TRÌNH TỰ GIẢI BÀI TOÁN THUẬN KHI DI CHUYỂN NHỎ
Bài toán được dat ra như sau: Cho biết trạng thái của T, (biết định vị và
định hướng của điểm tác động cuối, tức là cũng. biết các phần tử của ma trận T,),
cẩn xác định độ di chuyển nhỏ dT, khi trước sự thay đổi của da, của các khớp
quay.
‘Trinh ty gi Khi da biét dq,, theo phuong trình (6.35) sẽ xác định:
TQ = Md i+ Md, J +d, k (6.36)
65 — T96 _{ + T58,, j + "58, K (6.37) Trên cơ sở (6.36), (6.37) và dùng (6.20) để xác định '“A, rồi sau đó tính
đT,=T,, MA. 169
Muốn vậy, trước hết phải xác định các phần tử trong từng cột của Jacobian ở phương trình (6.35). Các phần tử ở mỗi cột tương ứng với các vì phân độ di
chuyển tịnh tiến và quay của mỗi khớp động.
Khi giải bài toán động học ta đã dùng các phương trình quan hệ sau:
ATT, 6.38)
ASAT = (6.39)
AS ANA Tal Ty (6.40)
Ap AS AN ANT, = T; (6.41)
AASANAPANT, = T, (64)
Các cộttương ứng với các thành phần của % theo (6.25) với ¡ = l,...6 1, tính từ cột 1 dén cot 6 và tương ứng sử dụng lần lượt Tạ; 'T„; 2T, ; *T„; *T„ và Te oq
theo (6.28), (6.38) # (6.42). Khi đó biết n„ s, và p, từ các ma trận này sẽ tính các phan tử các cột của Jacobian theo các công thức (6.31) và (6.32).
Dưới day là ví dụ mình họa phương pháp nói trên đối với trường hợp Robot Stanford. Trong Robot Stanford các ma trận A, đã được xác định bing (4.20),
còn các ma trận 'T„ đã được tính toán bằng các biểu thức từ (4.21) đến (4.27).
Cột thứ nhất của Jacobian tương ứng với các thành phân cia 22% v6i Tụ,
như đã biết, có thể biểu diễn như sau: 1
MS a, P,
"
D?-| 3. PB (643)
H4 đ P, 0 0 0 1
Các phân tử trong ma trận T, đã được xác định bằng các biểu thức trong
(4.27).
170
“Trên cơ sở các phương trình (6.31) và (6.32) ta tính các phần tử của cột thứ
Td. = AC IC(CACCe S18) SSC] - SSCS + CAS)
x {$)S,d; + Cid}
+{SIC,(C/CC — S5) S,S/C,]+ C(S,C¿C, + C¿S,)}
x {C,5,d,-S,d,}
{GI-C,(C/C¿S, + S,5,)+ 8;8,5,]
-§,(-S,CgS, +C¿C}
x(S/8,4 +C;}
+ (SI~C,(C,C¿6 +S¿C2)+8;8,5]
+ C(-%C,S, +C/C2)}
x {C,S,d,- Sid}
nhất như sau:
(6.44) (6.45)
AC (CICS, + C5) ~ SSS HSS dy + Cid} 16:40
#{S)(CaCS5 +865) + C855) + (Cad ~ Sida)
"98, =~8;(C,C,C ~ SiS) GSC (6.47)
186. = SCC. + SL) + CSS (6.48)
18 =-8,C,S, + OCs (6.49)
'Rút gọn lại, ta có:
dg Cy (CLC SiS.) ~ SSC }# SASL + CS) mn dgl-CylC{CS, + :C,) + SS 541+ Sidy(SCS + CCQ) an, ~d,(C;C,C, +S;C,) +S;4,S,5,
âm | ~S,(C,C¿C, ~8,5,)~C;S.C,
SCS, + Ce) + 8S
5,0) OCs
(6.50)
OT, Cột thứ ì = 2 của Jacobian tương ứng với các thành phần của —=, tính
2 theo công thức (6.25) với 'T, đã xác định bằng (4.25) và tương tự như đã làm ờ trên ta có:
1, = -(Cj(C,C¿C¿ — S52 — S;S/C/) (-Cah] m
+ {S(C¿C¿C ~ S45) + CạS,C¿} (S;d;] (6.51) doy = C(CAC&Cy + SiCa) + SSS} {-Cydy)}
+ Í-S;(C¿C¿C, + S¿C2) - C¿S,S,} [S;đ,] (6.52) Tếd,, = -[(C¿C¿5; + §;C2) [-Cạd,}
+ 1SCS-CC){ Syd) (6.53)
Tộ,, = SCL + CS (6.54)
"Bay = - S.C¿S, + CC (6.55)
5, = SS, (6.56)
Sau khi rút gọn, ta có:
d(GCC,—8,8)
~d(CCC,+5,C,)
of, | | SCC+CS, CS; (6.57)
SiC, +C,C, 8,8,
Cột thứ ¡ = 3 cha Jacobian tương ứng với thành phần của '^“* tính theo oT, công thức (6.25) với "T, đã được xác định bằng (4.24) và tương tự như đã làm ở
trên tà cố:
[-s,c,
a,_| SS, C
ste 04; M (6.58)
0 0 Cột thứ ¡ = 4 của Jacobian tương đứng với các thành phần của O25 sinh 2
theo công thức (6,25) với "T đã được xác định bang (4.23) và tương tự như đã làm ở trên ta có:
172
aa. | SiC} ~
Số, €,
“Tương tự, đối với trường hợp cột thứ ¡ = 5 với *T, theo công thức (4.22) ta có:
ore aq; |S, (6.60)
Cuối cùng, đối với trường. hợp cột thứ ¡ = 6 với “T, theo cong thức (4.21) tacé:
eos (6.61)
Ví dụ 3:
Robot Stanford đang ở trạng thái cấu hình sau:
01020 zi} 0 9 69
oo -1 0
ooo 1
tương ứng, các tọa độ có các giá trị như sau:
173
4, = 0", q; = 90", dy = 2mm, q, = 0", qs = 90", q, = 90” còn d; = 6mm. Hãy
xác định ma trận Jacobian và tính toán giá trị độ di chuyển nhỏ đT, của bàn kẹp
khi các khớp có độ di dịch như sau:
01
Giải:
Xác định phần tử của các cột của Jacobian theo các công thức (6.60) và từ (6.57) đến (6.61):
20.0 00 00 0.0 00 00
-60 0.0 10 00 00 00
ốp, | 0.0 200 00 00 00 00 âm | 00 10 00 00 00 00
0.0 00 00 10 00 00
-10 00 00 00 00 10
Vị trí và hướng của bàn kẹp đã được vi chỉnh như sau:
20] [200 0.0 00 00 00 00][01 14 | |-06 00 10 00 00 00||-01 -20| _|00 200 00 00 00 00|Ì20
00| 00 01 00 00 00 00ll01
01) }00 00 00 10 00 00|| 01 00) |-L0 00 00 00 00 10||01
Như vậy:
TH = 2/01 + 1.⁄4j—2.0k
5 = 0.01 + 0.1j + 0.0k
“Theo công thức (6.20). ta có:
174
va nhan T, véi '*A, taco:
01 0 20][0 001 20
L0 0 6i 4
an 60] 0 009 14
0 0 -I 0||-04 0 0 -20
000 0 0 00 0
0 00 14 0 01 20
J0 20
0 000
6.6, JACOBIAN NGHICH DAO
Phuong trinh (6.35) c6 thé viet gon lại dưới dang ma tran sau:
D=1Q (6.62)
trong D và Q là 2 ma trận | cot:
a dq,
td, đụ;
s4, dq,
Del ng f Ql,
me dg,
76: dq,
cdn Jacobian J là ma trận 6 x 6 được mô tả trong (6.35).
Bài toán ở đây đật ra như sau:
Cho biết sự thay đổi nhó về định vị và định hướng của Tụ, biểu thị bằng ma.
trận D. Cân xác định bộ giá trị dq, ở các khớp động.
Lời giải có thể xác định từ phương trình (6.62):
Q=ID (6.63)
“Tuy nhiên việc tìm lời giải này nhiều khi rất phức tạp, do bản thân tính phức tạp của các phần tử Jacobian và do chứa nhiều phép tính đại số và lượng giác đã trị v.v.
475
Ngoài ra, còn có phương pháp xác dinh dq, trén cơ sở lấy vì phân các lời giải tương ứng của bài toán động học ngược robot.
176