1. Biểu diễn toán học: Một tín hiệu rời rạc đợc biểu diễn bởi một dãy các giá trị thực hoặc phức .Nếu có đợc hình thành bởi giá trị thực thì đợc gọi là tín hiệu thực. Còn nếu tín hiệu đợc hình thành bởi giá trị phức thì gọi là tín hiệu phức.
- Tín hỉệu rời rạc gồm hai phần :tín hiệu lấy mẫu Tín hiệu số
Kí hiệu Xs(nTs) - tín hiệu lấy mẫu Xd(nTd)-tín hiệu số
Bây giờ thống nhất kí hiêu ở đây của tín hịu rời rạc x(nTs).
n: số nguyên Ts: chu kì lấy mẫu
Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hoá biên
độc lập từ nTs bởi chu kì lấy mẫu Ts nh sau nTs/Ts=n
Sau khi chuÈn ta cã x(nTs)
Ts
Bởi hãa chuÈn→
x(n)
Chú ý trong miền biến số chúng ta chuẩn hoá bởi chu kì lấy mấu Ts thì
trong miền tần số chúng ta phải chuẩn hoá tần số lấy mẫu Fs (Fs=1/T) Cách biểu diễn toánhọc rời rạc cụ thể nh sau
≤ ≤
= 0 n còn lại
N n N học n
á to thức
xn Biểu 1 2
Ví dụ: cho cách biểu diễn 1 tín hiệu rời rạc nào đó:
− ≤ ≤
=
i
ạ l còn n
0
4 n 4 0
1 n xn
N1=0, N2=4.
b. Biểu diễn đồ thị:
Để minh hoạ một cách trực quan trong nhiều trờng hợp chúng ta dùng biểu diễn đồ thị nh sau:
Ví dụ: Hãy biểu diễn tín hiệu rời rạc của
− ≤ ≤
=
i
ạ l còn n
0
4 n 4 0
1 n xn
x(n)
-1 0 1 2 3 4 n
c.Biểu diễn bằng dãy số:
Các biểu diễn này là ở chỗ chúng ta liệt kê giá trị Xn thành một dãy nh sau: Xn = X(n-1), X(n), X(n+1).
để chỉ ra giá trị của X(n) tại vị trí thứ n ta dùng ký hiệu vectơ n bởi vì khi dùng cách biểu diễn này ta không biết đâu là X(n) vì tín hiệu rời rạc thực chất là các dãy số nh cách biểu diễn này nên ta thờng gọi là tín hiệu rời rạc X(n) là dãy X(n).
- chú ý : tín hiệu rời rạc X(n) đợc định nghĩa chỉ với n nguyên.
X(n) không đợc coi nh bằng 0 đối với giá trị không nguyên này . X(n) không đợc định nghĩa với gía trị không nguyên này.
Trong cách biểu diễn trên thì cách thứ hai là ta hay dùng để phân tích chuỗi Fourier trong bản luận văn này,hay ngời ta gọi là The Discrete Fourier Transform.
Biến đổi Fourier rời rạc là biến đổi một chuỗi phần tử sử dụng dới dạng tín hiệu số, tín hiệu số đợc hình thành từ số thực thì gọi là tín hiệu thực, tín hiệu số đợc hình thành từ số phức thì đợc gọi là tín hiệu phức.
DFT phân tín hiệu ra làm 4 dạng nh sau:
• tín hiệu liên tục không sin (aperiodic - continuos), nó bao gồm hàm Exponentials và tín hiệu đờng vòng Gaussian. Tín hiệu mở rộng về cả hai phía của 0, tức là cả âm và dơng không có sự lập lại theo chu kỳbiến đổi Fourier của tín hiệu dạng là đơn giản và gọi là Fourier _transform
Tín hiệu sin -liên tục:
Loại này bao gồm dạng sin dạng vuông và nhiều dạng khá, nó đợc lặp
đi lặp lại theo chu kỳ mở rộng từ phía âm sang đến vùng dơng. Đó là việc biến tớng của sự biến đổi Fourier gọi là Fourier Series.
• Tín hiệu rời rạc không sin:
Tín hiệu rời rạc mở rộng cả hai phía âm và dơng hữu hạn không có sự lặp lại theo chu kỳ gọi là Discrete Time Fourier Transform.
Rời rạc tuần hoàn: là điểm rời rạc, tín hiệu này lặp lại giống chu kỳ tr- ớc ở dạng số âm và số dơng hữu hạn.
Trên đây là tổng quan về tín hiệu và đối với DSP chỉ sử dụng cho tín hiệu rời rạc để phân tích tổng hợp lọc số và biến đổi.
2. lọc số
Nh ta đã biết trong phần giới thiệu lọc số có hai mục đích chính:
1. Tách tín hiệu đã bị méo.
2. Phục hồi tín hiệu.
Một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho gọi là bộ lọc số.
Các thao tác của việc xử lý dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống đợc gọi là sự lọc số.
Một bộ lọc số là một hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n, sơ đồ khối cho nh sau:
x(n) y(n)
Đáp ứng xung của hệ thống
h(n): đáp ứng xung của hệ thống.
Đáp ứng xung là hoàn toàn cho hệ thống trong miền n. Ngoài ra hệ thống còn đợc biểu diễn bởi phơng trình vi phân tuyến tính sau:
Tổng hợp tất cả các hệ số ak và b sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến, tức là hệ số ak và b là đặc trng hoàn toàn cho hệ thống.
Trong miền Z hệ thống đợc đặc trng bởi hàm truyền đạt H(Z).
Hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc chính là biến đổi Z của đáp ứng xung và đợc ký hiệu là H(Z). H(Z)= ZT[h(n)].
∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
−
=
∗
=
−
=
∗
=
m m
).
m n ( h ).
m ( x )
n ( y
) n ( h ) n ( x ) m n ( x ).
m ( h )
n ( x ) n ( h ) n ( y
) n ( x . b )
k n ( y
a M
0 N
0 k
k − =∑ −λ
∑ λ= λ
=
h(n)
Nếu hàm truyền đạt H[Z] đợc đánh giá trên vòng tròn đơn vị Z=1.
Ta có đáp ứng tần:
( ) ∑
∑
=
−
= =
= N
0 k
k jωω M
0 r
jω r -
jω jω jω
Z a
Z b )
X(e ) e Y(e
H
Y(ejω) = H(ejω).X(ejω).
Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu vào x(n) đợc biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng H(ejω).
Chính trong dạng của H(ejω) đã xác định đợc việc suy giảm hoặc khuếch đại các thành phần tần số khác nhau. Hệ thống tơng ứng với H(ejω) này gọi là độc lập.
Vấn đề tổng quát trong bộ lọc là việc tạo ra hệ thống tuyến tính bất biến hệ thống này có đáp ứng tấn số mong muốn và có thể thực hiện đợc về mặt vật lý.
Để cho một hệ thống thực hiện đợc về mặt vật lý thì nó phải là nhân quả và ổn định.
x(n) y(n)
Quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống này phải thỏa mãn điều kiện sau đây:
∑∞
=
−
=
0 m
m).
h(m).x(n h(n).x(n)
y(n)
[ ] [ ]
N k 0 k
k M n
0
r r
Z . a
Z b )
Z ( x
) Z ( ) y n ( h ZT Z H
−
=
=
∑
= ∑
=
=
Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả
L[h(n)] = [0, ]
∑∞
= < ∞
0 n
h(n)
Quan hệ này nói lên rằng chiều dài của đáp ứng xung h(n) là rất quan trọng, hệ số h(n) là đặc trng cho hệ thống vì thế ta có thể phân loại các hệ thống thành hai loại lớn tuỳ theo chiều dài của đáp ứng xung đặc trng cho hệ thèng.
Loại 1: Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn, nó gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn (FTR) tức là (0→ n-1).
Loại 2: Đặc trng xung có chiều dài vô hạn, hệ thống đợc gọi là hệ thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn, tức là h(n) khác không trong khoảng thêi gian 0< t<.
1. Tính chất của bộ lọc số đáp ứng xung chiều dài hữn hạn (FIR).
- Bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn đợc đặc trng bởi hàm truyền đạt sau đây:
∑−
=
= N 1 − 0 n
h(n)Z n
H[Z]
Tức là L[h(n)] = [0, N-1] = N.
Nh vậy điều kiện ổn định luôn luôn thỏa mãn:
∑∞ ∑
−∞
=
−
=
∞
<
=
n
1 N
0 n
h(n) ln(n)
Tơng tự ta thấy rằng H[Z] chỉ có các điểm cực đại tại gốc tọa độ của mặt phẳng Z. Vậy điểm cực đại nàyluôn luôn nằm trong vòng tròn đơn vị cho nên hệ thống luôn ổn định. Mặt khác H[Z] ở dạng đa thức bậc N-1 của Z hoặc Z-1, mà các hệ số chính là giá trị của đáp ứng xung h(n).
- Một thuận lợi khác đối với bộ lọc FIR là do chiều dài của h(n) là luôn hữu hạn nếu h(n) là không nhân quả thì:
h(n)≠0 víi n<0
Ta có thể đa nó về nhân quả bằng cách chuyển về gốc toạ độ. (Trong miền n) giá trị đầu tiên khác không của h(n) và vấn đề bảo đảm H(ejω)
không thay đổi .
2. Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha):
Cái lợi cơ bản nhất của bộ lọc FIR là khi tính toán h(n) là khả năng tính toán theo bộ lọc pha tuyến tính. Tức là chúng ta có thể gia công bộ lọc FIR bằng cách coi đáp ứng tần số H(ejω) của nó có pha tuyến tính. Cũng vậy tín hiệu qua giải thông của bộ lọc sẽ xuất hiện chính xác ở đầu ra với độ trễ
đã cho, bởi vì chúng ta đã biết chính xác đáp ứng pha của nó.
Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định với các mẫu:
n= 0, 1, 2,..., N-1.
Tức là L[h(n)] = [0, n-1] = N.
Hàm truyền đạt của nó nh sau:
∑−
=
−
−
− = + + + −
= N 1
0 n
1 N 1
1 h(0) h(1)Z ... h(N 1)Z h(n)Z
H[z] .
Đáp ứng tần số:
)]
) n
∑− ∑ n ∑
=
−
=
−
=
− = + −
= N 1
0 n
1 N
0 n
1 N
0 n jnω
jω) h(n)e cos( j[ h(n)sin(ω
H(e ω
Hay H(ejω) = H(ejω) .ej(ω).
(ω) = Arg[H(ejω)].
Ta thấy rằng H(ejω) là tuần hoàn với chu kỳ 2π tức là : H(ejω) = H(ej(ω + 2mπ)).
Nếu h(n) là thực thì tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc ta có: H(ejω) = H(e-jω)
Arg[H(ejω)] = -Arg[H(ejω)].
(ω) = -(-ω).
Vậy ta nói rằng H(ejω) là hàm chẵn (đối xứng).
(ω) là hàm lẻ (phản đối xứng).
H(ejω) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π vậy chúng ta chỉ nghiên cứu
H(ejω) và (ω) trong khoảng 0≤ ω ≤ 2π. (hoặc là -π≤ ≤π) và trong trờng hợp đặc biệt nếu h(n) là thực thì H(ejω) là hàm chẵn và () là hàm lẻ trong khoảng một chu kỳ, vì vậy ta chỉ cần nghiên cứu H(ejω) trong khoảng 0 ≤ ≤π.
3. Ph©n tÝch DFT
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X(f) trong miền tần số (hoặc tần số ω = 2πf) tức là trên trục ảo jω vì jω là biến số
ảo nh vậy ta có X(f) là một hàm phức của biến ω.
Theo toán tử, ta ký hiệu toán tử FT[x(n)]= X(ejω) hoặc X(f).
x(n) →FT X(ejω) hoặc là X(f) tức là toán tử FT tác động vào x(n) sẽ cho X(ejω) .
*Để diễn đạt cách biến đổi ta đa ra các dạng biểu diễn X(f) hay ta có thể viết là X(ejω)
• Biểu diễn dới dạng phần thực và phần ảo
X(ejω) là một hàm biến phức nên ta biểu diễn X(ejω) trong miền tần số dới dạng phần thực và phần ảo nh sau :
X(ejω) = Re[X(ejω)]+jIm[X(ejω)]
• Biểu diễn dói dạng modun là argument
X(ejω) là hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn dới dạng modun và argument nh sau :
X(ejω) = |X(ejω)| ejarg[x(ejω)]
|X(ejω)| : Phổ biên độ của x(n) arg[X(ejω)] : Phổ pha của x(n)
Ta cũng có quan hệ phổ biên độ và phổ pha và phần thực, phần ảo của X(ejω) X(ejω) = Re2[X(ejω)]+ Im[X(ejω)].
)]
Re[X(e )]
Im[X(e Arctg
)]
Arg[X(e jω
jω = jω
Ngoài ra ta còn dùng ký hiệu ϕ(ω) để chỉ argument ϕ(ω)= arg[X(ejω)]
X(ejω)= X(ejω)ejϕ(ω)
• Biểu diễn dạng đó lớn và pha Giả sử ta thể hiện X(ejω) ở dạng sau:
X(ejω) = A(ejω)ej θ(ω)
A(ejω) là thực và có thể lấy giá trị dơng hay âm
A(ejω) =X(ejω)
• Điều kiện tồn tại phép biến đổi Fourier:
Biến đổi chỉ tồn tại nếu chuỗi trong công thức sau hội tụ
∑∞
−∞
=
= − n
jnω jω) x(n)e
X(e (*)
Hay chuỗi trong công thức (*) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoả mãn
điều kiện sau:
∑∞
−∞
= < ∞
n
x(n)
Nếu điều kiện này thoả mãn thì (*) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục của ω. Về mặt toán học ta có quan hệ sau đây:
∑∞ ∑
−∞
=
∞
−∞
=
≤
=
n
2 n
2
x x(n) [x(n)]
E Nếu ∑∞
−∞
=
∞
<
n
x(n) Thì ∑∞
−∞
=
∞
<
n
x(n)2
Và ta cũng có ∑∞
−∞
= < ∞
=
n
2
x x(n)
E
Nếu năng lợng Ex của tín hiệu x(n) là hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn
điều kiện (*) tức là ta nói rằng: Biểu đồ Fourier của tín hiệu có năng lợng hạn và luôn luôn tồn tại.
3.FFT
Ta đã giới thiệu phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) việc tính toán DFT đợc ứng dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biẹt là phân tích phổ nh ngành xử lý tín hiệu tiếng nói địa chất vật lý, y tế, rađar.
Nh tính toán DFT tốn nhiều thời gian.
Vì vậy ngời ta đã quan tâm nhiều đến việc rút ngắn thời gian tính toán. Đặc biệt năm 1965 ngời ta đã tìm ra thuật toán tính DFT một cách rất nhanh chóng và có hiệu quả đợc gọi là phép biến đổi nhanh Fourier hay còn gọi tất qua tiếng anh là FFT ( Fast Fourier Transform) . FFT là một thuật toán nó làm cho DFT thực hiện với thuật toán này một cách nhanh gọn. Kể từ khi ra đời, FFT đã tạo ra một bợc ngoặt lớn và thực sự đóng vai trò hết sức quan trong trong việc phân tích thiết kế và thực hiện các thuật toán xử lý tín hiệu số cũng nh tín hiệu tơng tự.
Trong biến đổi DFT của x (n) là
∑−
=
= N 1
0 n
Nkn
W ) n ( x )
k (
X víi k = 0, 1, …, N - 1.
Trong đó WNkn = e−j2πkn/N = Wkn = Cos(2πkn/N)− jsin(2πkn/N).
Đôi khi để cho tiện ngời ta không cần viết chỉ số N trong hệ số W, khi cần chỉ số này đợc viết rừ ra.
Phép biến đổi Fourier rời rạc ngời của X (k) là : .
W ) k ( N X
) 1 n (
x N 1
0 k
Nkn
∑−
=
= − víi n = 0, 1, …,N - 1.
Công thức (1), (2) cả x (n) và X (k) đều có thể là số phức.
x (n) = a(n) + …..+b (n) X (k) = A (k) + …..+ B (k).
Do đó:
[ ][ ]
∑−
=
π
− π
+
=
+ N 1
0 n
. ) N / kn 2 sin(
j ) N / kn 2 cos(
) n ( jb ) n ( a )
k ( jB ) k ( A
Hoặc ∑−
=
π +
π
= N 1
0 n
).
N / kn 2 sin(
) n ( b ) N / kn 2 cos(
) n ( a )
k ( A
∑−
=
π
− π
= N 1
0 n
).
N / kn 2 sin(
) n ( a ) N / kn 2 cos(
) n ( b )
k ( B
Víi k = 0, 1, …, N -1.
Ta xem xét qua cách tính trực tiếp DFT với một số nhận xét sau :
* Một phép nhân phức tơng đơng 4 phép nhân số phực
* Số phép tính chỉ là tơng đối, ví dụ phép nhân đối với W = 1, trong thực tế không cần thực hiện nhng ta vẫn tính vì với giá trị N lớn các phép tính đơn giản kiểu này sẽ là không đáng kể.
* Thời gian làm phép nhân Tn lớn hơn rất nhiều thời gian làm một phép công Tc đối với các máy tính vạn năng. Vì vậy ta phải quan tâm giảm nhỏ số phép nhân là chính. Thời gian phụ Tp làm các công việc khác nh chuyển số liệu, đọc các hệ số sẽ có thể tạm bỏ qua. Do vậy độ phức tạp tính toán trên phơng diện thời gian sẽ tỷ lệ với số phép tính số học ( số phép nhân và số phép cộng).
Từ năm 1982 các vi mạch chuyên dùng cho xử lý tín hiệu số DSP : Digital Singal, Processor) với tốc độ siêu nhanh nh TMS 320 của Texas Instrument đã xuất hiện với đặc điểm nổi bật là thời gian làm phép nhân bằng thời gian làm phép cộng khoảng 20 ns có loại xuống còn 60 ns. Nhờ có một mạch nhân cứng đợc cấy luôn vào trong cùng một vi mạch.
Việc tính X(k) tơng đợc với việc tính phần thực A(k) và phần ảo B(k) ta thấy rằng đối với mỗi giá trị của k việc tính toán trực tiếp X(k) cần 4 N phép nhân số thực và (4N – 2 ) phép cộng số thực. Vì X(k) phải tính cho N giá trị khách nhau của k cho nên cách tính trực tiếp DFT của một dãy x (n) cần có 4 N2 phép nhân số phức và N(N-1) phép cộng phức. Do số lần tính toỏn và do đú thời gian tớnh toỏn tỷ lệ gần đỳng với N2 nờn rừ ràng rằng số phép tính số học cần có để tính trực tiếp DFT sẽ trở nên rất lớn khi N tăng.
Do đó các thuật toán đều cố gắng tìm mọi cách làm giảm số phép tính, đặc biệt là phép nhân, trong các thuật toán xử lý tín hiệu số nói chung và tính DFT nói riêng.
Cooley và Tukey đã công bố một thuật toán DFT đợc áp dụng khi N là một số phức hợp tức là N là tích của hai hay nhiều số nguyên.
Thuật toán này đã làm đảo lộn hoạt động ứng dụng DFT trong XLTHS và đã dẫn đến việc xuất hiện một số các thuật toán đợc mọi ngời biết đến dới cái tên FFT . Nói chung các thuật toán này đợc gọi một cách ngắn gọn là FFT.
Nguyên tắc cơ bản của thuật toán này là dựa vào phân tích cách tính DFT của một dãy N số (gọi tắc là DFT N điểm) thành các phép tính DFT của các dãy nhỏ hơn. Nguyên tắc này đã dẫn đến nhiều thuật toán khác nhau và tất cả đều giảm đáng kể thời gian tính toán. Ta có thể xem xét hai lớp cơ bản của thuật toán FFT đó là thuật toán FFT đợc phân chia theo thời gian và phân chia theo tÇn sè.