uj(0, t) = (Ru)j(t),1≤ j ≤ m;
uj(1, t) = (Ru)j(t), m < j ≤n.
(2.1) Trong trường hợp đặc biệt, điều kiện có dạng
uj(0, t) =hj(t),1≤ j ≤ m;
uj(1, t) =hj(t), m < j ≤ n.
(2.2) Xét bài toán (2.2) và các bài toán sau
(∂t +a(x, t)∂x+ b(x, t))u = f(x, t); (2.3)
u(x,0) = ϕ(x). (2.4)
Định lý 2.1.1. ([9]) Giả sử rằng aj, bjk, fj và hj là trơn trong tất cả các đối số của chúng và φj là các hàm liên tục, với aj > 0,∀j ≤ m và aj < 0,∀j >
m, inf
x,t
|aj| > 0,∀j ≤ n, và 1 ≤ j 6= k ≤ n tồn tại pjk ∈ C1([0,1] ì R) sao cho bjk = pjk(ak −aj), và pjk = 0 nằm trong miền {(x, t) : aj(x, t) = ak(x, t)}. Khi đó, bất kỳ nghiệm liên tục nào của bài toán (2.3), (2.4) và bài toán (2.2) đều là trơn.
Chứng minh. Giả sử rằng ulà một nghiệm liên tục của bài toán (2.1) - (2.3) cho thấy rằng toán tử của bài toán cải thiện tính khả quy của u trong thời gian. Để toán tử tuyến tính giới hạn D, F : C(Π0)n →C(Π0)n bởi
(Du)j(x, t) =−
x
Z
xj(x,t)
dj(ξ, x, t)
n
X
k=1,k6=j
(bjkuk)(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ,
(F f)j(x, t) =
x
Z
xj(x,t)
dj(ξ, x, t)fj(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ.
Lưu ý rằng F f là hàm trơn trong x, t. Trong ký hiệu này, tích phân uj(x, t) = (BSu)j(x, t)
−
x
Z
xj(x,t)
dj(ξ, x, t)
n
X
k=1,k6=j
bjk(ξ, ωj(ξ;x, t))uk(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ
+
x
Z
xj(x,t)
dj(ξ, x, t)fj(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ, j ≤n.
(2.5)
có thể được viết dưới dạng
u = BSu+Du+F f (2.6)
và
u= BSu+ (DBS + D2)u+ (I +D)F f. (2.7) Trước tiên cần chứng minh rằng vế phải của (2.7) bị giới hạn ở ΠT1 đối với một số T1 > 0 liên tục khác nhau trong t. C1(ΠT1)n - chính quy của u sau đó từ thực tế là u được cho bởi (2.5) thỏa mãn (2.3) theo phương. Theo giả thiết inf
x,t
|aj| > 0,∀j ≤ n có thể thay T1 > 0 đủ lớn sao cho toán tử S ở vế
phải (2.7) bị giới hạn thànhΠt1 không phụ thuộc vàoϕ do đó Su = Ru = h với h = (h1, ..., hn). Từ đó có kết quả
u|Π
T1 = Bh+DBh+ D2u+ (I +D)F f. (2.8) Khi đó u|Π
T1 biểu thị sự hạn chế của u thành ΠT1. Theo tính chính quy trên a, b, f, và h, hàm Bh + DBh+ (I + D)F f là trơn. Bài toán chỉ ra rằng toán tử D2 là trơn, cụ thể hơn, D2u là C1 - trơn trong t trên ΠT1.
Lưu ý rằng đối vớit ≥T1, hàmxj(x, t)là hằng số chỉ phụ thuộc vàoj. Do đó sẽ giảm sự phụ thuộc của xj vào x và t. Thay một dãy ul ∈ C1(Π0)n sao cho
ul →u ∈ C(Π0)n, l → ∞. (2.9) Bằng sự hội tụ trong C(Ω)n nghĩa là sự hội tụ trên bất kỳ tập hợp con nào của Ω. Tương tự D2ul → D2u trong C(Π0)n. Khi đó ∂t[D2ul] hội tụ trong C(ΠT1)n khi l → ∞. Với j ≤n ta có (D2ul)j(x, t) thu được bằng cách thay đổi thứ tự tích phân
(D2ul)j(x, t) =
n
X
k=1k6=j n
X
i=1i6=k x
Z
xj
x
Z
η
djki(ξ, η, x, t)bjk(ξ, ωj(ξ;x, t))uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη (2.10) với
djki(ξ, η, x, t) =dj(ξ, x, t)dk(η, ξ, ωj(ξ;x, t))bki(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))).
Sau đó
∂t[(D2ul)j(x, t)] =
n
X
k=1k6=j n
X
i=1i6=k x
Z
xj
x
Z
η
∂t[djki(ξ, η, x, t)bjk(ξ, ωj(ξ;x, t))]uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
+
n
X
k=1k6=j n
X
i6=ki=1 x
Z
xj x
Z
η
djki(ξ, η, x, t)bjk(ξ, ωj(ξ;x, t))
ì∂3ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))∂tωj(ξ;x, t)∂2uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη.
(2.11)
trong đó ∂rg biểu thị đạo hàm của g đối với đối số thứ r. Số hạng đầu tiên ở vế phải hội tụ trong C(ΠT1). Do đó, bài toán được giảm xuống để cho thấy sự hội tụ của tất cả các tích phân trong số hạng thứ hai, bất cứ khi nào (x, t) thay đổi trên một tập con của ΠT1. Với mục đích này, sẽ chuyển đổi các tích phân như sau
Đầu tiờn giả sử rằng 1 ≤ j 6= k ≤ n tồn tại pjk ∈ C1([0,1]ìR) sao cho bjk = pjk(ak −aj), và pjk = 0 nằm trong miền
{(x, t) : aj(x, t) = ak(x, t)} xác định hàm pjk duy nhất, kết hợp với các công thức sau
∂xωj(ξ;x, t) =− 1
aj(x, t) exp
x
Z
ξ
∂taj a2j
!
(η, ωj(η;x, t))dη (2.12)
∂tωj(ξ;x, t) = exp
x
Z
ξ
∂taj a2j
!
(η, ωj(η;x, t))dη. (2.13) Khi đó nhận được
x
Z
xj x
Z
η
djki(ξ, η, x, t)bjk(ξ, ωj(ξ;x, t))
ì∂3ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))∂tωj(ξ;x, t)∂2uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
=
x
Z
xj
x
Z
η
djki(ξ, η, x, t)∂3ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))∂tωj(ξ;x, t)
ìbjk(ξ, ωj(ξ;x, t))[(∂ξωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))]−1(∂ξuli)(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
=
x
Z
xj
x
Z
η
djki(ξ, η, x, t)∂tωj(ξ;x, t)(akajpjk)(ξ, ωj(ξ;x, t))
ì(∂ξuli)(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
=
x
Z
xj x
Z
η
d˜jki(ξ, η, x, t)(∂ξuli)(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
= −
x
Z
xj
x
Z
η
∂ξd˜jki(ξ, η, x, t)uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t)))dξdη
+
x
Z
xj
hd˜jki(ξ, η, x, t)uli(η, ωk(η;ξ, ωj(ξ;x, t))) iξ=x
ξ=ηdη.
Trong đó d˜jki(ξ, η, x, t) =djki(ξ, η, x, t)∂tωj(ξ;x, t)(akajpjk)(ξ, ωj(ξ;x, t)). Do đó, nhận được sự hội tụ theo (2.9).
Trong bước thứ hai, chứng minh rằng có tồn tại T2 > T1 sao cho ∂tu bị giới hạn ở ΠT2 là C1 - trơn trong t trên ΠT2. Khi bước này được thực hiện, phân biệt (2.3) đối với t và lấy ∂xt2 u ∈ C(ΠT2)n; phân biệt (2.3) đối với x, ta nhận được ∂x2u ∈ C(ΠT2)n có thể kết luận rằng u ∈ C2(ΠT2)n. Để chứng minh sự tồn tại của T2, cho v = ∂tu, sự khác biệt của (2.3) trong t dẫn đến
(∂t+ aj∂x)vj +
n
X
k=1
bjkvk +
n
X
k=1
∂tbjkuk +∂taj∂xuj = ∂tfj. Kết hợp với (2.3) ta có
(∂t +aj∂x)vj +
n
X
k=1
bjkvk − ∂taj aj vj
= ∂tfj −
n
X
k=1
∂tbjkuk + ∂taj aj (
n
X
k=1
bjkuj −fj) =Gj(fj, ∂tfj, u).
(2.14)
Ở đây, với mỗi j ≤ n, Gj là một hàm tuyến tính nhất định với các hệ số trơn. Đặt
˜
cj(ξ, x, t) = exp
ξ
Z
x
bjj
aj − ∂taj a2j
!
(η, ωj(η;x, t))dη,d˜j(ξ, x, t)
= ˜cj(ξ, x, t) aj(ξ, ωj(ξ;x, t)).
và giới thiệu ba toán tử tuyến tính B,˜ D,˜ F˜ : C(Π0)n → C(Π0)n bởi
( ˜Bu)j(x, t) =˜cj(xj, x, t)uj(xj, ωj(xj;x, t)), (2.15) ( ˜Du)j(x, t) =−
x
Z
xj
d˜j(ξ, x, t)
n
X
k=1k6=j
(bjkuk)(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ, (2.16)
( ˜F u)j(x, t) =
x
Z
xj
d˜j(ξ, x, t)fj(ξ, ωj(ξ;x, t))dξ. (2.17)
Tương tự như trên, điểm bắt đầu đối với bất kỳ T2 ≥ T1 nào, hàm v thỏa mãn phương trình toán tử từ (2.14)
v|Π
T2 = ˜Bh0 + ˜Dv + ˜F G(f, ∂tf, u), do đó, có kết quả
v|Π
T2 = ˜Bh0 + ˜DBh˜ 0 + ˜D2v + (I + ˜D) ˜F G(f, ∂tf, u), (2.18) trong đó G = (G1, ..., Gn) và h0 = (h01, ..., h0n). Do giả thiết 1 ≤ j 6= k ≤ n tồn tại pjk ∈ C1([0,1] ì R) sao cho bjk = pjk(ak −aj), và pjk = 0 nằm trong miền {(x, t) : aj(x, t) = ak(x, t)} có thể thay T2 > T1 sao cho vế phải (2.18) không phụ thuộc vào u và v trong Π\ΠT1. Do bước trên, hàm (I + ˜D) ˜F G(f, ∂tf, u) đáp ứng được Ct1 chính quy và Bh˜ 0 + ˜DBh˜ 0 ∈ C∞. Do đó, toán tử D˜2 là trơn theo giả thiết ở trên. Vì D˜ chính là toán tử D với cj và dj được thay thế bởi các hàm trơn ˜cj và d˜j thuộc tính trơn của D2 từ đây về sau khi chứng minh sẽ giả thiết D2 là trơn và D˜2v trong (2.18) không phụ thuộc vào v trong Π\ΠT1.
Nghiên cứu thêm từ phép quy nạp, giả sử rằng với r ≥ 2, có Tr > 0 sao cho u ∈ Cr(ΠTr)n và chứng minh rằng u là Cr+1 - chính quy trong t trên ΠTr+1 đối với một số Tr+1 > Tr.
Đặt w = ∂tru, phân biệt (2.1) và (2.3) r – lần trong t, chúng ta bắt đầu phương trình toán tử cho w cụ thể là
w|Π
T2 = ˜Bh(r)+ ˜DBh˜ (r)+ ˜D2w+(I+ ˜D) ˜FG(f, ∂˜ tf, ..., ∂trf, u, ∂tu, ..., ∂tr−1u), (2.19) ở đây G˜ là một vectơ của các hàm tuyến tính nào đó với các hệ số trơn và các toán tử B,˜ D˜ và F˜ được thay đổi bởi c˜j(ξ, x, t) trong (2.15) – (2.16) thay đổi thành
˜
cj(ξ, x, t) = exp
ξ
R
x
bjj
aj −r∂taj a2j
!
(η, ωj(η;x, t))dη.
Tương tự như trên, thay Tr+1 > Tr sao cho vế phải của (2.19) không phụ thuộc vào u, ∂tu, ..., ∂tr−1u) và w trong Π\ΠTr. Điều này đảm bảo rằng hai phép biến đổi cuối cùng trong (2.19) là các hàm Ct1.
Đầu tiên Ct1 -trơn với các giả thiết chính quy trên các dữ kiện. Cuối cùng, các Cr+1(ΠTr+1) - chính quy của u được chứng minh và phép vi phân tương ứng của hệ (2.3).
Định lý 2.1.1 có thể được mở rộng qua các toán tử biên của hai dạng tuyến tính và phi tuyến. Cho T > 0, trong miền ΠT, xét bài toán (2.1) - (2.3) với bjk = 0 với mọi j 6= k (tức là (2.3) được tách riêng) và (2.4) thay thế bằng u(x, T) =ϕ(x) (các giá trị ban đầu được cho tạit = T). Điều này đòi hỏi rằng miền xác định của ϕ bây giờ chỉ phụ thuộc vào các điều kiện biên.
Sau đó với mọi T > 0 và ϕ(x), hàm ϕ(x) có một miền xác định bị giới hạn trên u. Nói cách khác, đối với (2.3) không thể tách riêng, nếu ϕ(x) có điểm kỳ dị tại một số điểm x ∈ [0,1] thì tính kỳ dị này mở rộng theo một số hữu hạn các đường cong đặc trưng (chúng ta có một số hữu hạn
"đối xứng" từ biên) và con số này được giới hạn trong x ∈ [0,1], lớp toán tử biên này được mô tả trong [1], trong đó các điều kiện cần và đủ cho các nghiệm trơn được đưa ra.
Ta thấy rằng trong trường hợp các điều kiện biên trơn cổ điển (2.2), miền ảnh hưởng của dữ liệu ban đầu ϕx trên uj với mọi j ≤ n nói chung là không bị chặn. Mặc dù vậy, ảnh hưởng của dữ liệu ban đầu đến độ chính quy của u trở nên yếu hơn trong thời gian gây ra hiệu ứng trơn.
2.1.2 Trường hợp điều kiện biên tích phân trong các mô hình