Bμi 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ ph−ơng trình
II. Dạng bài tập dành cho học sinh trung bình và khá
Bài 1: Giải ph−ơng trình sau:
a) 2x2 -11x +15 = 0 H−ớng dẫn giải:
Ph−ơng trình có hệ số : a = 2; b =-11; b = 15.
Δ= b2 - 4ac = 121 - 120 = 1 ( 1 >0)
Δ> 0 . Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 11 1
2 4 3
x b
a
− + Δ +
= = =
2 11 1 5
2 4 2
x b
a
− − Δ −
= = = .
b) 2 1 3( 1)
1 1 6
x x
x x
+ + − =
− +
H−ớng dẫn giải:
2 1 3( 1)
1 1 6
x x
x x
+ + − =
− + Ù ( 2x + 1)(x + 1) +3( x-1) (x- 1) = 6( x2 - 1) Ù 5x2 - 3x + 4 = 6x2 - 6 Ù x2 +3x -10 = 0
Ph−ơng trình có hệ số : a = 1; b = 3; c = - 10.
2 4 9 40 49 b ac
Δ = − = + = ( 49> 0)
Δ = 7 . Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 3 7
2 2 2
b a
− + Δ − += = x2= 3 7
2 2 5
b a
− − Δ − −= = − .
Bài 2: Cho ph−ơng trình: mx2 +( m - 1)x -1 = 0 ( x là ẩn).
a, Giải ph−ơng trình trên với m = 2.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
H−ớng dẫn giải:
a, Với m =2 phương trình đã cho trở thành: 2x2 +x - 1 = 0
Ph−ơng trình có hệ số: a = 2; b = 1; c = -1 Ta có: a - b +c = 2 - 1+ (-1) = 0 Ph−ơng trình có hai nghiệm: x1= -1; x2= 1
2.
b, Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:
a ≠0 m ≠ 0 Ù
Δ >0 Δ= ( m -1)2 + 4m m ≠ 0
Ù
m2 -2m + 1 + 4m = ( m+1)2 > 0 với mọi m≠-1
Vậy với m ≠ 0 và m≠-1 thì ph−ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho ph−ơng trình: mx2 - 6( m - 1)x + 9(m - 3) = 0 a, Giải ph−ơng trình trên với m = 2.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.
H−ớng dẫn giải:
a, Với m = 2 phương trình đã cho trở thành phương trình:
2x2 - 6x - 9 = 0
Ph−ơng trình có hệ số: a = 2; b = -6; c = -9; b' = -3 Δ =' b'2−ac= + =9 18 27 ( 27 > 0)
Δ'= 3 3. Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1 ' ' 3 3 3 2 x b
a
− + Δ +
= =
2 ' ' 3 3 3 2 x b
a
− − Δ −
= =
b, Phương trình đã cho có nghiệm kép khi:
m≠0 m≠0 Ù
Δ'= 0 Δ'= 9(m - 1)2 - 9m( m - 3) = 9m + 9 =9 (m+1) m≠0
Ù <=>m= -1 m= -1
Vậy với m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
Bài4: Cho ph−ơng trình: ( m + 1) x2 + 4mx +4m -1 = 0.
a, Giải ph−ơng trình khi m = 1.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
H−ớng dẫn giải:
a, Với m = 1 phương trình đã cho trở thành phương trình:
2x2 + 4x + 3 = 0 (1)
Ph−ơng trình có hệ số: a = 2; b = 4; c =3 Δ =' b'2−ac= − = −4 6 2 (-2 < 0) . Δ' < 0 . Ph−ơng trình (1) vô nghiệm.
b, Ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:
a≠0 m + 1≠0 Ù
Δ' > 0 Δ' = 4m2 - ( m + 1)( 4m - 1) = 4m2 - 4m2 - 3m + 1> 0 m≠ - 1
m < 1
3 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi:
m≠ - 1 m < 1
3
Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập ph−ơng trình.
Một v−ờn hình chữ nhật có diện tích 300m2 . Tính kích th−ớc của v−ờn, nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 5m thì diện tích vườn không thay đổi.
H−ớng dẫn giải:
Gọi chiều dài mảnh v−ờn hình chữ nhật là x ( x> 5; m).
Chiều rộng của mảnh v−ờn hình chữ nhật là: (300 x ) m Chiều dài của v−ờn nếu giảm đi 5m: ( x - 5 )m.
Chiều rộng của v−ờn tăng 5m: ( 300
x + 5)m.
Diện tích của v−ờn hình chữ nhật nếu tăng và giảm 2 chiều là 300m2. Diện tích của v−ờn hình chữ nhật khi tăng chiều rộng và giảm chiều dài là:
( 300
x + 5)(x - 5)m2
Theo đầu bài ta có ph−ơng trìn h: ( 300
x + 5)(x - 5) = 300.
Khai triển và thu gọn đ−ợc ph−ơng trình: x2 - 5x - 300 = 0 Giải ph−ơng trình trên ta có: x1 = 20
x2 = -15 ( Không thỏa mãn điều kiện).
Vậy chiều dài của mảnh v−ờn là: 20m Chiều rộng của mảnh v−ờn là: 15m.
Bài 6: Giải bài toán sau bằng cách lập ph−ơng trình
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi đ−ợc chia thành các dãy có chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp đ−ợc chia bao nhiêu dãy?
H−ớng dẫn giải:
Gọi x là số dãy ghế đ−ợc chia lúc đầu ( x là nguyên , d−ơng).
Số ghế mỗi dãy là: 360 x .
Khi bớt đi 3 dãy ghế thì số ghế trong mỗi dãy là: 360 x−3.
Khi bớt đi 3 dãy ghế và thêm mỗi dãy 4 ghế thì số ghế trong phòng không thay đổi. Ta có phương trình:
360
x−3 - 360 x = 4
Biến đổi và thu gọn ta đ−ợc: x2 - 3x - 270 = 0
Giải ph−ơng trình trên ta đ−ợc: x1 = 18; x2 = -15 ( loại) Vậy số dãy ghế đ−ợc chia lúc đầu là 18 dãy.
Bài7: Giải bài toán sau bằng cách lập ph−ơng trình.
Một tàu thủy đi trên một khúc sông dài 100km cả đi lẫn về hết 10 giờ 25 phút. Tính vận tốc riêng của tàu thủy, biết rằng vận tốc của dòng n−ớc là 4km /h.
H−ớng dẫn giải:
Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x ( x > 4; km/ h) Vận tốc của tàu thủy xuôi dòng là: x + 4
Vận tốc của tàu thủy ng−ợc dòng là: x - 4.
Thời gian tàu thủy xuôi dòng là: 100 x+4 Thời gian tàu thủy ng−ợc dòng là: 100
x−4 Thời gian tàu thủy cả đi lẫn về là: 100
x+4 + 100 x−4 Theo bài ra ta có ph−ơng trình: 100
4
x+ + 100 4
x− = 10 5
12 ( 10 giê 25 phót = 10 5 12 giê) Biến đổi và thu gọn ta đ−ợc: 5x2 - 96x - 80 = 0
Giải ph−ơng trình trên ta đ−ợc: x1 = 20 nhận x2 = 4
5
− (loại) Bài 8: Giải ph−ơng trình sau:
x4 - 13x2 + 36 = 0 H−ớng dẫn giải:
Đặt: t = x2 ( điều kiện t > 0 )
Phương trình đã cho có thể viết: t2 - 13t + 36 = 0 (*) Δ= 169 - 144 = 25 ( 25 > 0)
Δ= 5 . Ph−ơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
t1 = 13 5
2+ =9( Thỏa mãn điều kiện bài toán) t2 = 13 5
2− =4(Thỏa mãn điều kiện bài toán) Với t1= 9 => x1= 3 và x2 = -3.
Với t2 = 4 => x3 =2 và x4 = -2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1= 3 và x2 = -3; x3 =2 và x4 = -2.
Bài 9: Cho ph−ơng trình : x2 - 2( m- 1)x +2m - 4 = 0 ( x là ẩn) a, Chứng minh rằng ph−ơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b, Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của ph−ơng trình.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = x12 +x22 H−ớng dẫn giải:
a, XÐt Δ =' b'2−ac = (m - 1)2 - 2m + 4 = m2 - 4m + 4 +1 = ( m - 2)2 +1 > 0 Δ' > 0 với mọi giá trị của m. vậy ph−ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b, áp dụng hệ thức vi- ét ta có: x1 + x2 = 2( m - 1); x1x2= 2m - 4.
x1
2 +x2
2 = ( x1+x2)2 - 2x1x2 = 4( m - 1)2 - 2( 2m - 4) = 4m2 - 12m + 12
y = 4
3 2
2 3
⎛m ⎞
− +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi m = 3 2 bμi tËp:
Bài tập 1: Cho hàm số y = ax2
a) xác định a biết rằng đồ thị của hàm số đi qua ( -3;6) và vẽ đồ thị của hàm số đó
b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng nó cắt đồ thị tại hai điểm C và D có hoành
độ tương ứng là 1 và -2.
Bài tập 2: Xác dịnh các hệ số a,b,c và giải các ph−ơng trình sau?
a) 3x2 – 15x = 0 b) ( 2x + 3 ) 2 = 9( x2 + 2x + 1 )
c) 4x2 – 16x = 0 d) 3x2 - 8 = 0
e) 5x2 + 5 = 0 f) 3x2 +3 2x = 0
Bài tập 3 Giải các ph−ơng trình sau
a) 2x2 -7x - 7 = 0 b) x2 + x 5 - 11 = 0 c) y2 – 7y – 5 =0
d)3k2 + 7k + 2 = 0 e) x2 – 2x 3 - 6 = 0 f) x2 + 19x + 20 = 0 g) x2 + 6x + 39 = 0 h) -3x2 + 2x + 1 = 0 i) x - 3 x - 5 = 0
Bài tập 4. Giải các ph−ơng trình sau
a) 101x2 + 102x + 1 = 0 b) 11x2 + 33x – 44 = 0 c) 3x 2 + 9x – 12 = 0 d) ( m2 + 1)x2 – ( m2 + 2)x + 2 - 1 = 0.
e) x−6 x+ =5 0 f) − +2x 5 x+ =7 0 g) − x+8x− =9 0 h) 20 20
1 9 x + x =
− i) (2x+1)(x− = −1) 2x k) x4−13x2+36 0=
Bài tập 5.
áp dụng hệ thức Vi – et giải các ph−ơng trình sau.
a) 2008x2 + 2009x + 1 = 0 b) 11x2 + 33x – 44 = 0 c) 3x 2 + 9x – 12 = 0 d) ( m2 + 1)x2 – ( m2 + 2)x + 2 - 1 = 0.
Bài tập 6
Cho ph−ơng trình : x2 + 5x + m = 0 (1) a) Giải ph−ơng trình khi m = 4
b) Với giá trị nào của m thì ph−ơng tinh (1) có nghiệm.
Bài tập 7 .Cho ph−ơng trình : x2 + m( m + 1)x + 5m + 20 = 0 (1) m là tham số.
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm là -5 b) Tìm nghiệm còn lại của ph−ơng trình Bài tập 8. Cho y = 1
4x2 (P) và y x + m ( D)
1) Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm giá trị của m để (D) tiếp xúc với (P
Bài tập 9. Tìm kích th−ớc của một hình chử nhật biết chiều dài hơn chiều rộng 3m và diện tích 180 m2. Bài tập 10
Cho ph−ơng trình : x2 – 2(m - 3)x-1 = 0 (1)
c) Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm ( -2)
d) Chứng tỏ rằng ph−ơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m Bài tập 11.Cho ph−ơng trình : x2 + 2x + m - 2 = 0 m là tham số.
c) Giải ph−ơng trình (1) khi m = -13
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn. x1 – x2 = 8 Bài tập 12. Giải bài toán bằng cách lập ph−ơng trình.
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định.nh−ng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù mỗi giờ người đó đã làm thêm 1 sản phẩm so với dự kiến ,nhưng thời gian hoàn thành vẩn chậm so với dự định 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó? Biết mổi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm
Bài tập 13. Một chiếc thuyền chạy trên khúc sông dài 15 km, cả đi và về mất 2h. Tính vận tốc thực của thuyền, biết vận tốc dòng n−ớc là 4km/h.
Bài tập 14. Một người đi xe máy đi hết quãng đường từ A đến B dài 50 km với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về do tăng vận tốc thêm 10 km/h nên thời gian ít hơn thời gian đi là 15’. Tính vận tốc của xe máy lúc về.
Bài tập 15. Một khu v−ờn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12m. Hãy tính chu vi của khu v−ờn
đó biết diện tích khu vườn là 325m2.
Bài tập 16. Một khu v−ờn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Ng−ời ta làm một lối đi xung quanh v−ờn (Thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2.
Bài tập 17. Một nhóm học sinh dự định chuyển 105 bó sách về thư viện của trường với điều kiện mỗi bạn chuyển số sách nh− nhau. Đến buổi lao đông có hai bạn ốmkhông tham gia đ−ợc vì vậy mỗi bạn phảI chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi số học sinh ban đầu của nhom là bao nhiêu?
Bài tập 18. Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã
cho là 12. tìm hai số đó.
Đề kiểm tra ch−ơng IV
Câu I: Cho ph−ơng trình ẩn x: x2 + 2(m+1)x +m2 – 1 = 0 a) GiảI ph−ơng trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm tráI dấu?
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
Câu II: Đồng lúa xã A rộng hơn đồng lúa xã B là 12ha. Trong vụ thu hoạch xã A thu đ−ợc 1470 tấn còn xã B thu đ−ợc 1440 tấn. Tuy nhiên năng suet lúa ở xã B cao hơn ở xã A là 1tạ/ha. Tính năng suet lúa ở mỗi xã.
Biểu điểm - Đáp số
1. 5®
a) 2® x1 = 0; x2=-4 b) 2® -1 < m < 1 c) 1® m < -1