Thay vì dùng công thức Euler ta sử dụng công thức sau
yi+1 =yi+h
2(f(xi, yi)−f(xi+1, yi+1)).
Ph-ơng pháp tiến hành nh- sau: Lấy
yi(0)+1 =yi+hf(xi, yi), Lặp theo k≥1, y(i+1k) =yi+ h 2(f(xi, yi) +f(xi+1, y (k−1) i+1 )). Khi thấy |y(i+1k) −yi(+1k−1)| ≤² thì dừng lại và lấyy(i+1k) 'yi+1. 7.5 Ph-ơng pháp Runge-Kutta Đặty1 =y0+ ∆y0, trong đó ∆y0 =pr1k1(h) +...+prrkr(h), ki(h) =hf(ξi, ζi); ξi =x0 +αih, α1 = 0, i= 1,2, ..., r, ζi =y0+βi1k1(h) +...+βi,i−1ki−1(h). Gọi ΦR(h) :=y(x0+h)−y1 =y(x0+h)−y(x0)−∆y0, NếuΦ(rs+1)(0) 6= 0, thì Φr(h) = r X i=0 Φ(ri)(0) i! h i+ 0(hs+1).
Khi đó ta chọn các hệ sốαi, βij, prj từ điều kiệnΦr(i)(0) = 0với mọi i= 0,1,2, ..., svà
Φ(rs+1)(0) 6= 0với s càng lớn càng tốt. Vậy
Φr(i)(0) =y0(i)−[pr1k1(h) +...+prrkr(h)], i= 0,1, ..., s.
Tức là, để xác định các hệ số ta cần giải hệ phi tuyến sau
pr1k1(h) +...+prrkr(h) =y(0i), i= 0,1,2, ..., s.
a. Tr-ờng hợpr = 1ta nhận đ-ợc công thức Euler
y1 =y0+hf(x0, y0).
b. Tr-ờng hợpr = 2ta nhận đ-ợc công thức Euler cải tiến
y0 :=y0+hf(x0, y0), y1 =y0+hf(x0, y0) +f(x1, y0) 2 . c. Tr-ờng hợpr = 4có công thức RK4sau ∆y0 = 1 6(k1+ 2k2+ 2k3+k4), k1 =hf(x0, y0), k2 =hf(x0+ h 2, y0+ k1 2), k3 =hf(x0,+h 2, y0+ k2 2), k4 =hf(f x0+h, y0+k3). Nhận xét:
1. Sai số địa ph-ơng của công thức(RK4)là
R=h5Φ
(5) 4 (η)
120 , η ∈[a, b].
2. Ph-ơng phápRK4dễ lập trình, độ chính xác cao, t-ơng đối đơn giản.
Ví dụ: Dùng ph-ơng pháp Runge-Kutta(RK4)giải gần đúng ph-ơng trình vi phân sau với n= 5. ẵ
y0 = x−y,
y(0)= 1, 0≤x≤1.
Chia [0,1]thành 5 đoạn bởi xi = 0.2ìi, i= 0,1,2,3,4,5.Ta có: y0 = 1, ∆y0 =
k1+ 2k2+ 2k3 +k4, trong đó:
k1 = 0.2ì(0−1) =−0.2,
k2 = 0.2ì(0 + 0.1−(1 + 0.1)) =−0.2, k3 = 0.2ì(0 + 0.1−(1 + 0.2/2)),
Ta tính đ-ợcy1 =y0+ ∆0. T-ơng tự∆y1 =k1+ 2k2+ 2k3+k4, trong đó:
k1 = 0.2ì(x1+ 0.1−y1), k2 = 0.2ì(x1+ 0.1−(y1+k1/2)), k3 = 0.2ì(x1+ 0.1−(y1+k2/2)), k4 = 0.2ì(x1 + 0.2−(y1+k3)).
Vậy ta tính đ-ợc y2 =y1+ ∆y1. Tiếp tục quá trình cho tới khi tính đ-ợcy5 thì dừng thuật toán và viết kết quả thành bảng.
Tài liệu tham khảo
1. P. K. Anh, Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996. 2. T. T. Ai, Ph-ơng pháp số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. 3. N. Bacvalop, Methodes Numeriques, 1976. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4. I. C Berezin, H. P. Jicop, Ph-ơng pháp tính, Tiếng Nga, NXB. Mockva, 1959. 5. B. F. Demiovich, Computational Mathematics, Mir Publishers, Moscow, 1973. 6. T. V. Đĩnh, Ph-ơng pháp tính, Nhà xuất bản Giáo dục, 1998.
7. P. V. Hạp, L. Đ. Thịnh, Ph-ơng Pháp Tính, nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977.
8. H. X. Huấn, Giáo trình các ph-ơng pháp số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
Giỏm đốc NGễ TRẦN ÁI Tổng biờn tập VŨ DƯƠNG THUỴ
Biờn tập :
NFUYỄN TRỌNG BÁ
Trỡnh bày bỡa:
NGUYỄN QUỐC ĐẠI
GIẢI TÍCH SỐ
In 100.000 cuốn khổ 24 x 35 cm tại Cụng ti In Tiến An.
Giấy phộp xuất bản số4415/307-00/ XB-QLXB, kớ ngày 21/07/2022. In xong và nộp lưu chiểu quý III năm 2022.