Trong phần này chúng tôi đưa ra tác động của các phép biến đổi M¨obius lên các phương trình vi phân đại số cấp một. Các kết quả trong phần này
được tác giả đăng trong bài báo [6].
Cho C(x) là trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x với phép đạo hàm thông thường d
dx =0. Ký hiệu K là một mở rộng trường hữu hạn của trường C(x). Khi đó có duy nhất một phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo hàm 0 để K trở thành một trường vi phân. Ta ký hiệu
AODE(1)K = {F(y, y0) = 0 | F ∈ K[y, w]}
là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K. Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng
M(u) = au+b cu+d, trong đó a, b, c, d ∈ K và ad−bc 6= 0. Đặt
∂M(u)
∂x =(a0u+b0)(cu+ d)−(au+b)(c0u+d0) (cu+d)2
=(a0c−ac0)u2 + (a0d−ad0 +b0c−bc0)u+ (b0d−bd0) (cu+d)2
=Au2 +Bu+C (cu+d)2 ,
trong đó 0 ≤ degu(Au2 + Bu+ C) ≤ 2, A = a0c −ac0, B = a0d−ad0 + b0c−bc0, C = b0d−bd0 và
∂M(u)
∂u = ad−bc (cu+d)2. Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc a
c là hằng số.
Tương ứng với M(u) ta có một ánh xạ hữu tỷ ΦM : K2 99K K2 được định nghĩa bởi
ΦM(u, v) =
M(u),∂M(u)
∂x + ∂M(u)
∂u v
.
Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với M(u) =u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song hữu tỷ liên kết với M−1(u) = du−b
−cu+a, tức là Φ−1M (u, v) =
M−1(u),∂M−1(u)
∂x + ∂M−1(u)
∂u v
.
Ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5. Tập hợp GK(1) tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM lập thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ.
Nhóm này đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi M¨obius trên K.
Tiếp theo, chúng tôi xét một tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp AODE(1)K và khảo sát các lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt là lớp tương đương của các phương trình với hệ số hằng. Chú ý rằng qua phép nghịch đảo y 7→ 1
y, một phương trình vi phân với hệ số hằng được biến đổi thành một phương trình vi phân với hệ số hằng. Do đó khi xét các phương trình này ta xét chúng dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius trên K với hệ số c 6= 0, tức là các phép biến đổi thực sự là một phân thức.
Để biểu diễn tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp AODE(1)K , ta định nghĩabậc tổng thể vi phân (differential total degree) của một phần tử trong AODE(1)K như sau.
Định nghĩa 2.6 (Bậc tổng thể vi phân của F). Cho F ∈ AODE(1)K và giả sử
F(y, y0) =A0y0m +A1y0m−1 +ã ã ã+Am−1y0 +Am,
trong đó m ∈ N∗, Ai ∈ K[y] với mọi i = 0, . . . , m, A0 6= 0. Số δF := max{2(m−i) + degyAi | i = 0, . . . , m}
được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F.
Nhắc lại rằng bậc tổng thể (total degree) của F được định nghĩa bởi dF := max{(m−i) + degyAi | i = 0, . . . , m}.
Do đó, dF ≤ δF.
Với đa thức vi phân bất khả quy F(y, y0) = Q(x, y)y0 −P(x, y) ta có δF = max{2 + degQ,degP}. Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân Riccati y0 −A(x)y2 −B(x)y −C(x) bằng 2.
Bậc tổng thể vi phân cũng có tính chất thông thường của bậc tương ứng với phép nhân của các đa thức vi phân, cụ thể như sau.
Mệnh đề 2.7. Cho F, G ∈ AODE(1)K khỏc khụng. Khi đú δFãG = δF +δG. Chứng minh. Giả sửF = Pi,jbijyiy0j vàG = Pk,lcklyky0l thuộcAODE(1)K và khác không. Khi đó
δF = max{2j+i | bij 6= 0}, δG = max{2l +k | ckl 6= 0}.
Ta có
F ãG = X
i,j,k,l
bijcklyi+ky0j+l. Do đó
δFãG = max{2(j +l) +i+k | bijckl 6= 0}
= max{(2j +i) + (2l +k) | bijckl 6= 0}
=δF + δG. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 2.8. Tác động của nhóm GK(1) lên tập hợp AODE(1)K được định nghĩa bởi
ΦM •F = (−cy +a)δF(F(ΦM−1(y, y0))), với mọiΦM ∈ GK(1) xác định bởi M(u) = au+b
cu+d và với mọi F ∈ AODE(1)K . Các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên.
Mệnh đề 2.9. Ta có
1. ΦM •(ΦN •F) = ΦM◦N •F;
2. ΦM •(F ãG) = (ΦM •F)ã(ΦM •G).
Tác động nhóm này định nghĩa một quan hệ tương đương trên tập hợp AODE(1)K như sau.
Định nghĩa 2.10. Cho F, G ∈ AODE(1)K . Ta nói F tương đương với G, ký hiệu là F ∼ G nếu và chỉ nếu tồn tại ΦM ∈ GK(1) sao cho ΦM •F = G.
Quan hệ tương đương ∼phân hoạch tập AODE(1)K thành các lớp tương đương. Có vô hạn các lớp tương đương và mỗi lớp tương đương chứa vô hạn các phương trình tương đương với nhau. Từ giờ trở đi, khi nói một lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một có nghĩa là một lớp tương đương của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom nào đó.
Tiếp theo chúng tôi chứng tỏ rằng bậc tổng thể vi phân là một bất biến số của mỗi lớp tương đương, tức là các phương trình vi phân đại số trong cùng một lớp có cùng bậc tổng thể vi phân. Sau này chúng tôi sử dụng kết
quả này để đưa ra một chặn bậc cho một nghiệm đại số tổng quát của lớp autonom các phương trình vi phân đại số cấp một.
Định lý 2.11. Giả sửF(y, y0) = A0y0m+ã ã ã+Am−1y0+Am ∈ K[y, y0], A0 6=
0 và G= ΦM •F, trong đó ΦM ∈ GK(1). Giả sử δF là bậc tổng thể vi phân của F. Khi đó
1. degy0 G = degy0F; 2. degyG≤ δF; 3. δG = δF.
Chứng minh. 1. Giả sử M(y) = ay +b
cy +d. Ta có G= ΦM •F =(−cy +a)δF
m
X
i=0
Ai(M−1(y))
∂M−1(y)
∂x + ∂M−1(y)
∂y y0 m−i
=(−cy +a)δF
m
X
i=0
Bi(y) (ad−bc)m−i
(−cy +a)2(m−i)y0m−i, trong đó Bi(y) = Pij=0Aj(M−1(y)) m−ji−j∂M∂x−1(y)i−j. Vì
(−cy +a)δFA0
dy −b
−cy +a
(ad−bc)m (−cy+ a)2m 6= 0 nên
degy0G = m = degy0F.
2. Xét hệ số của y0m−i ta có (−cy +a)δF−2(m−i)Bi(y)
=(−cy +a)δF−2(m−i)
i
X
j=0
Aj(M−1(y)) m−j i−j
! Ay˜ 2 + ˜By + ˜C (−cy +a)2
!i−j
,
trong đó A,˜ B,˜ C˜ là các hệ số của tử số của ∂M∂x−1(y).
Gọi k = degy( ˜Ay2 + ˜By + ˜C) ≤ 2 thì 0 ≤ k ≤ 2. Ta có các trường hợp của c như sau:
Nếu c bằng 0 thì degyAj(M−1(y)) = degyAj. Do đó degy(−cy +a)δF−2(m−i)Bi(y) ≤ max
0≤j≤i{degyAj +k(i−j)} ≤δF. Nếu c khác 0 thì degyAj(M−1(y)) = 0. Do đó
degy(−cy + a)δF−2(m−i)Bi(y) ≤ max
0≤j≤i{δF −2(m−i) + (k −2)(i−j)}
≤ δF −2(m−i) ≤δF. Như vậy cả hai trường hợp ta đều có
degyG ≤ max
i∈{0,1,...,m}
n
degy(−cy +a)δF−2(m−i)Bi(y)o ≤ δF. 3. Mặt khác, khi i = 0, ta có
δG = max
0≤i≤m{2(m−i) + degy(−cy +a)δF−2(m−i)Bi(y)} = δF. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.12. Ta có thể sử dụng tính chất thứ nhất và thứ ba của Định lý 2.11 như là điều kiện cần để kiểm tra hai phương trình vi phân đại số có tương đương qua tác động của nhóm này không.
Mệnh đề 2.13. ChoP(x, y) =a0ym+a1ym−1+ã ã ã+am−1y+am ∈ C[x][y]
và a, b, c, d ∈ C[x]với ad −bc 6= 0. Giả sử degai < n, i = 0,1, . . . , m và a, b, c, d là các đa thức bậc nhỏ hơn N. Khi đó tử số của P x,ay+bcy+d là một đa thức theo x có bậc nhỏ hơn n+mN.
Chứng minh. Cho P = Pmi=0aiym−i. Khi đó tử số của P(x,ay+bcy+d) là (cy +d)m
m
X
i=0
ai
ay +b cy +d
m−i
=
m
X
i=0
ai(ay +b)m−i(cy +d)i. Ta có dega ≤N, degb ≤ N, deg(ay +b) ≤ N, deg(cy + d) ≤N.
Do đó
degai(ay +b)m−i(cy +d)i ≤ n+ (m−i)N +iN = n+mN.
Mệnh đề được chứng minh.
Từ định nghĩa của phép biến đổi song hữu tỷ chúng ta thấy rằng hầu hết các nghiệm của các phương trình tương đương được biến đổi qua lại với nhau.
Hệ quả 2.14. Cho F ∈ AODE(1)K và ΦM ∈ GK(1) với M(u) = au+b cu+d. Đặt G= ΦM •F. Khi đó một nghiệm khác −d
c của F = 0 được biến đổi thành một nghiệm của G = 0 và một nghiệm khác a
c của G = 0 được biến đổi thành một nghiệm của F = 0.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này chúng tôi đưa ra một số tính chất của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân cấp một. Đó là tính chất tương thích của bậc đối với phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính chất tương thích của tác động nhóm với phép hợp thành các ánh xạ (Mệnh đề 2.9), tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius (Định lý 2.11).
Chương 3
Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số tính chất bảo toàn nghiệm của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc cùng một lớp tương đương dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius. Đặc biệt, các nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn. Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp tương đương autonom. Các kết quả của chương này được đăng trong bài báo [6].
3.1 Nghiệm đại số
Định nghĩa 3.1. Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức vi phân. Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K.
Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến việc tìm nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y0) = 0 trên K.
Mệnh đề 3.2. Nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một thì mỗi nghiệm kỳ dị của F(y, y0) = 0 là một nghiệm đại số. Hơn nữa, số nghiệm kỳ dị của F(y, y0) = 0 là hữu hạn.
Chứng minh. Nhận xét rằng một nghiệm chung củaF = 0vàS = ∂F
∂y0 = 0 hoặc là một nghiệm của biệt thức của F (disc(F) = res(F, S, y0)), hoặc là một nghiệm của hệ số đầu của F. Vì F là một đa thức vi phân cấp một nên disc(F) và in(F) đều là các đa thức một biến theo y với hệ số trên K. Từ đó suy ra mỗi nghiệm kỳ dị của F(y, y0) = 0 đều là một nghiệm đại số trên K và số các nghiệm đại số của F(y, y0) = 0 nhỏ hơn hoặc bằng degydisc(F) + degyin(F).
Mệnh đề 3.3. Cho P(y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L của F(y, y0) = 0 trên K. Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P(ξ) = 0 đều là nghiệm đại số của F(y, y0) = 0.
Chứng minh. Vì P là đa thức tối tiểu của η nên η là một nghiệm tổng quát của hPi. Giả sử F(η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P) = 0. Từ đó suy raSPkIPl F = Q1P0+Q2P, trong đó P0 là đạo hàm của P, SP và IP tương ứng là tách và hệ số đầu của P. Chú ý rằng, với ξ thỏa P(ξ) = 0 ta có P0(ξ) = 0 và SP(ξ) 6= 0, IP(ξ) 6= 0. Do đó, F(ξ) = 0.
Trong luận án này, ta xét K = C(x) và tìm các nghiệm đại số của F(y, y0) = 0 trên C(x). Thực ra việc tìm một nghiệm đại số củaF(y, y0) = 0 là việc tính đa thức tối tiểu của nó trên trường cơ sở C(x). Ta nói đa thức bất khả quy P(x, y) là một nghiệm đại số của F(y, y0) = 0 có nghĩa là một trong các hàm đại số y(x), xác định bởi P(x, y(x)) = 0, là một
nghiệm của F(y, y0) = 0. Bậc của một nghiệm đại số được hiểu là bậc của đa thức tối tiểu xác định nghiệm đại số đó.
Phần còn lại của mục này chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một autonom (tức là mọi hệ số là hằng) trong bài báo của J. M. Aroca và các cộng sự [2]. Các kết quả này được chúng tôi tổng quát hóa cho các phương trình không autonom nhưng tương đương với một phương trình autonom.
Đối với các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, để tính một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y0) = 0 ta chỉ cần tính một nghiệm đại số không tầm thường.
Định nghĩa 3.4 ([2]). Một nghiệm đại sốP(x, y) = 0 của phương trình vi phân đại số cấp một autonom F(y, y0) = 0 được gọi là không tầm thường nếu degxP > 0.
Mệnh đề 3.5 ([2]). Cho F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một với hệ số hằng. Giả sử P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F(y, y0) = 0. Khi đó P(x+c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y0) = 0, với c là hằng số tùy ý.
Chặn bậc sau là cơ sở chính để đưa ra một thuật toán tìm một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một autonom.
Định lý 3.6 ([2]). Cho F ∈ Q[y, y0] là một đa thức bất khả quy trên Q. Giả sử P ∈ Q[x, y] là bất khả quy và P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân autonom F(y, y0) = 0. Khi đó
degxP = degy0F, degyP ≤ degyF + degy0F.
Hơn nữa, P(x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y0) = 0 và chặn bậc như vậy là mịn theo nghĩa có thể chỉ ra một phương trình vi phân autonom F(y, y0) = 0 mà chặn bậc ở trên đạt được dấu bằng.
Ví dụ 3.7. a) Cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom F(y, y0) = y02 −2y − 9
4 = 0.
Tách của F là S = ∂
∂y0F(y, y0) = 2y0, nghiệm kỳ dị của F = 0 là y = −9 8. Nghiệm tổng quát đại số của F = 0 là
y = 1
2((x+ c)2 + 3(x+ c)).
Ở đây P(x, y) = 12((x+ c)2 + 3(x+ c))−y. Suy ra degxP = degy0F = 2 và degy P = 1 thỏa mãn
1 = degyP ≤ degyF + degy0 F = 1 + 2 = 3.
b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m >0 và (m, n) = 1. Đặt P(x, y) = yn−xm
là đa thức bất khả quy. Rừ ràng P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số
F(y, y0) = yn−my0m−m n
m
= 0.
Khi đó ta có degyP = degyF + degy0F.