Giờ chúng ta sẽ xét một trường hợp đặc biệt của bài toán (1.12).
Định nghĩa 1.7 bài toỏn(1.12) vớiΘ = Rn+ vàϕ(x) =Dx+q vớiD ∈ Rnìn và q ∈ Rn được ký hiệu là LCP(D,q) và được gọi là bài toán bù tuyến tính xác định bởi D và q. Tập nghiệm của bài toán này được ký hiệu là Sol(D,q).
Chúng ta có thể viết ra LCP(D,q) như bên dưới ˆ
x ≥0, Dxˆ+q ≥0,xˆT(Dxˆ+q) = 0. (1.30) Như vậy bài toán LCP là một trường hợp đặc biệt của bài toán NCP với Θ = Rn+ và ϕ là một toán tử afin.
Định nghĩa 1.8 Nếu Θ là một nún lồi đa diện và tồn tại D ∈ Rnìn, q ∈ Rn sao cho ϕ(x) = Dx+q với mọi x ∈ Θ thì (1.12) được gọi là một bài toán bù tuyến tính suy rộng và được ký hiệu là GLCP(D, q,Θ).
Từ định nghĩa phía trên ta thấy rằng bài toán bù tuyến tính suy rộng là một trường hợp đặc biệt của bài toán AVI. So sánh Định nghĩa 1.8 và Định
nghĩa 1.7 ta thấy một điều rằng cấu trúc của bài toán GLCP rất giống với bài toán LCP. Điều này giải thích vì sao nhiều kết quả của LCP có thể ứng dụng cho bài toán GLCP.
Dễ thấy rằng nếu trong (1.13) ta chọnΘ = Rn+ thì ta sẽ thu được một bào toán bù tuyến tính LCP(D,q). Do vậy, bài toán bù thuyến tính là bài một bài toán AVI loại đặc biệt.
Định lý 1.5 có thể áp dụng cho bài toán LCP như sau
Mệnh đề 1.5 [11]Tập nghiệm của (1.30) là không bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại một cặp (v, u0) ∈ Rn ìRn, v 6= 0, u0 ∈ Sol(D, q) sao cho
(i) v ≥ 0, Dv ≥ 0, v ∈ l(D);
(ii) (Du0 +q)Tv = 0;
(iii) hDv, u0i = 0.
Hệ quả 1.4 có thể áp dụng cho bài toán LCP như sau
Hệ quả 1.5 Bài toán (1.30) có một tập nghiệm compact (có thể là tập rỗng) nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(γ1) nón l(D) chỉ gồm một phần tử 0;
(γ2) giao của nón l(D) và {v ∈ Rn : Dv ≥0} chỉ gồm một phần tử 0;
(γ3) giao của nón l(D), {v ∈ Rn : Dv ≥ 0} và Rn+ chỉ gồm một phần tử 0.
Ví dụ 1.2 [11] Xét bài toán trong (1.30) với
D = 1 0
0 −1
!
, q = q1 q2
!
, n = 2.
Giao của nón l(D), {v : Dv ≥ 0} và {v : v ≥ 0} chỉ gồm một phần tử 0.
Theo Hệ quả 1.5, Sol(D,q) là một tập compact.
Ta thấy rằng nếu D trong ví dụ trên là một ma trận không suy biến thì Sol(D,q) là tập hữu hạn. D = (aij) đươc gọi là một ma trận không suy biến nếu với mọi tập con khác rỗng α ⊂ {1, . . . , n}, định thức của ma trận con cơ bản Dαα bao gồm các phần tử aij(i ∈ α, j ∈ α) của D là khác 0.
Ví dụ 1.3 [11] Xét bài toán trong (1.12) với
D = 1 0
0 0
!
, q = −1 à
!
∈ R2, à 6= 0, n = 2.
Giao của nón l(D), {v : Dv ≥ 0} và {v : v ≥ 0} là tập {v = (0, v2) ∈ R2 : v2 ≥ 0}. Trong điều kiện (ii) trong Mệnh đề 1.5, không mất tổng quát ta giả sử v = (0,1). Dễ thấy rằng không có u0 ≥ 0 sao cho (Du0 + q)Tv = 0 và hDv, u0i = 0. Theo Mệnh đề 1.6, Sol(D,q) là tập compact.
Ví dụ 1.4 [11] Xét bài toán (1.12) với
D = 1 0
0 0
!
, q = −1 0
!
∈ R2, n = 2.
Giao của nón l(D), {v : Dv ≥ 0} và {v : v ≥ 0} là tập {v = (0, v2) ∈ R2 : v2 ≥ 0}. Dễ dàng chứng minh được điều kiện (i) - (iii) trong Mệnh đề 1.5 được thỏa mãn nếu ta chọn v = (0,1) và u0 = (1,0). Theo Mệnh đề 1.5 , Sol(D,q) là tập không bị chặn.
Chương 2
Tính ổn định của nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng có tham số
2.1 Bất đẳng thức biến phân afin suy rộng
Trước hết ta đưa ra định nghĩa của bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng như sau
Định nghĩa: Cho Θ ⊂ Rn là tập lồi đóng khác rỗng, ta có bài toán bất đẳng thức biến phân afin suy rộng (GAVI) là
Tìm x ∈ Θ sao cho hDx+q, y −xi ≥ 0, với mọi y ∈ Θ.
Với D là ma trận (nìn), và q ∈ Rn.
Khác với bài toán bất đẳng thức biến phân afin ở mục 1.3, chương 1, ở đây Θ không nhất thiết là tập đa diện.
Cho RΘnìn+ là tập ma trận thực nửa xỏc định dương. Ký hiệu Ω := (RnìnΘ+ ìRn ìR)m
và
P := RnìnìRn ìΩ.
Với mỗi ω := (D1, q1, c1, . . . , Dm, qm, cm) ∈ Ω, kí hiệu F(ω) là tập nghiệm của
gi(x, Di, qi, ci) := 1
2xTDix+qiTx+ ci ≤ 0, i = 1, . . . , m. (2.1) Xét bài toán GAVI sau
Tìm x ∈ F(ω) sao cho hDx+q, y −xi ≥ 0,∀y ∈ F(ω) (V I(D, q, ω)) Phụ thuộc vào tham số p := (D, q, ω) ∈ P
Tập nghiệm của VI(D,q,ω) được ký hiệu là Sol(D,q,ω). Tích vô hướng của véc tơ x, y và chuẩn Euclidean của một véc tơ x trong không gian Euclidean hữu hạn chiều lần lượt được ký hiệu là xTy và ||x||. Chuẩn trong không gian tớch X1 ì. . .ìXk của khụng gian chuẩn X1, . . . , Xk là tập
||(x1, . . . , xk)|| = (||x1||2 + . . .+||xk||2)12. nón lùi xa của F(ω) 6= ∅ được định nghĩa là
rec F(ω) := {v ∈ Rn : x+tv ∈ F(ω) ∀x ∈ F(ω) ∀t≥ 0}.
Nếu F(ω) bị chặn, thì rec F(ω) = {0}. Ta có
rec F(ω) = {v ∈ Rn :Div = 0, qiTv ≤0, ∀i = 1, . . . , m}. (2.2) Bổ đề 2.1 Giả sử f : Rn → R là một hàm khả vi. Nếu xˆ là một cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu
min{f(x) : x ∈ Rn}, thì
∇f(ˆx) = 0.
Bổ đề 2.2 Giả sử nếu {xk} ⊂ F(ω) thỏa mãn xk 6= 0,||xk|| → ∞ và
||xk||−1xk → vˆ thì vˆ∈ rec F(ω).
Chứng minh: Với xk ∈ F(ω), ta có gi(xk, p) = 1
2(xk)TDixk +qTi xk +ci ≤ 0, i = 1, . . . , m. (2.3) Nhân bất đẳng thức trong (2.3) với ||xk||−2 và cho k → ∞ ta có
1
2vˆTDiˆv+ qiTxk
||xk||2
| {z }
→0
+ ci
||xk||2
| {z }
→0
≤ 0, i = 1, . . . , m.
Do đóvˆTDivˆ≤ 0với mọii = 1, . . . , m.Từ giả thiết với mỗii = 1, . . . , m thì Di là nửa xác định dương ta có vˆTDiˆv = 0, nghĩa là x = ˆv là nghiệm của bài toán tối ưu không ràng buộc
min (
fi(x) = 1
2xTDix : x ∈ Rn )
.
Từ Bổ đề 2.1 ta có
∇fi(ˆv) =Divˆ= 0, i = 1, . . . , m. (2.4) Các ma trận Di (i = 1, . . . , m) là nửa xác định dương, do đó
1
2(xk)TDixk ≥ 0 Kết hợp với (2.3) ta được
qiTxk +ci ≤ 0, i = 1, . . . , m. (2.5) Chia cả hai vế cho ||xk|| và cho k → ∞ thu được
qTi vˆ≤ 0, i = 1, . . . , m. (2.6) Từ (2.2),(2.4),(2.6) ta có ˆv ∈ rec F(ω). (Đpcm)
Ta nói rằng biểu thức (2.1) thỏa mãn điều kiện chính quy Slater (SCQ) nếu tồn tại x0 ∈ Rn sao cho gi(x0, Di, qi, ci) ≤0 với mọi i = 1, . . . , m.
Điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz (MFCQ) đúng vớixˆ ∈ F(ω) nếu tồn tại v0 ∈ Rn sao cho
(Dixˆ+qi)Tv0 < 0 với mọi i ∈ I(ˆx, ω),
Với I(ˆx, ω) := {i ∈ {1, . . . , m} : gi(ˆx, Di, qi, ci) = 0} là tập chỉ số ràng buộc hiệu dụng.
Khi Di (i = 1, . . . , m) là nửa xác định dương thì (SCQ) tương đương với (MFCQ), ta có bổ đề sau đây
Bổ đề 2.3 Xét bài toán VI(D,q,ω). Giả sử biểu thức (2.1) thỏa mãn (SCQ).
Khi đó x ∈ Sol(D, q, ω) nếu và chỉ nếu tồn tại λ ∈ Rm thỏa mãn:
Dx+q +
m
X
i=1
λi(Dix+ qi) = 0 (2.7) λ ≥0, gi(x, Di, qi, ci) ≤ 0, (2.8) λigi(x, Di, qi, ci) = 0, i = 1, . . . , m. (2.9) Hơn nữa, với mỗi x∈ Sol(D, q, ω) tập nhân tử λ thỏa mãn biểu thức (2.7)− (2.9) bị chặn.