Baứi 1:
Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa a) 2436 ; 1672010 b)
( )
9 9 7 ;( )
14 14 14 ;( )
6 7 5 4 Giaỷi a) 2436 = 2434 + 2 = 2434. 24322432 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 9 nẽn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 2436 laứ 9Ta coự 2010 = 4.502 + 2 nẽn 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672 Ta coự 2010 = 4.502 + 2 nẽn 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672
1674.502 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 6; 1672 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 9 nẽn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 1672010 laứ chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa tớch 6.9 laứ 4
b) Ta coự:
+) 99 - 1 = (9 – 1)(98 + 97 + .......+ 9 + 1) = 4k (k ∈N) ⇒ 99 = 4k + 1⇒
( )
9 97 = 74k + 1= 74k.7 nẽn coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 7 = 74k.7 nẽn coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 7
1414 = (12 + 2)14 = 1214 + 12.1413.2 + ....+ 12.12.213 + 214 chia heỏt cho 4, vỡ caực háng tửỷ trửụực 214 ủe u coự nhãn tửỷ 12 nẽn chia heỏt cho 4; háng tửỷ 2à 14 = 47 chia heỏt cho 4 hay
1414 = 4k ⇒
( )
14 1414 = 144k coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 6 +) 56 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 5 nẽn
( )
6 75 = 5.(2k + 1) ⇒ 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q ∈N) ⇒ 5.(2k + 1) = 4q + 1 ⇒
( )
6 7 5 4 = 44q + 1 = 44q . 4 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ chửừ soỏ taọn cuứng tớch
6. 4 laứ 4
Baứi 2: Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa
A = 21 + 35 + 49 + 513 +...... + 20048009 Giaỷi
a) Luyừ thửứa cuỷa mĩi soỏ háng cuỷa A chia 4 thỡ dử 1(Caực soỏ háng cuỷa A coự dáng n4(n – 2) + 1 (n ∈ {2; 3; ...; 2004} ) nẽn mĩi soỏ háng cuỷa A vaứ luyừ thửứa cuỷa noự coự chửừ soỏ taọn cuứng gioỏng nhau (Tớnh chaỏt 2) nẽn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa A laứ chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa toồng caực soỏ háng
Tửứ 2 ủeỏn 2004 coự 2003 soỏ háng trong ủoự coự 2000 : 10 = 200 soỏ háng coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0,Toồng caực chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa A laứ
(2 + 3 + ...+ 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 9 Vãy A coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 9
a) Hai chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 3999;
( )
7 7 7 b) Ba chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 3100 c) Boỏn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 51994 Giaỷi a) 3999 = 3.3998 =3. 9499 = 3.(10 – 1)499 = 3.(10499 – 499.10498 + ...+499.10 – 1) = 3.[BS(100) + 4989] = ...67 77 = (8 – 1)7 = BS(8) – 1 = 4k + 3 ⇒( )
7 7 7 = 74k + 3 = 73. 74k = 343.(...01)4k = ...43 b) 3100 = 950 = (10 – 1)50 = 1050 – 50. 1049 + ...+ 50.49 2 . 10 2 – 50.10 + 1 = 1050 – 50. 1049 + ...+ 49 2 . 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = ...001 Chuự yự:+ Neỏu n laứ soỏ leỷ khõng chi heỏt cho 5 thỡ ba chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa n100 laứ 001 + Neỏu moọt soỏ tửù nhiẽn n khõng chia heỏt cho 5 thỡ n100 chia cho 125 dử 1
HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2
+ Neỏu n laứ soỏ leỷ khõng chia heỏt cho 5 thỡ n101 vaứ n coự ba chửừ soỏ taọn cuứng nhử nhau c) Caựch 1: 54 = 625
Ta thaỏy soỏ (...0625)n = ...0625
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.(...0625) = ...5625 Caựch 2: Tỡm soỏ dử khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54
Ta thaỏy 54k – 1 chia heỏt cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia heỏt cho 16 Ta coự: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56
Do 56 chia heỏt cho 54, coứn 51988 – 1 chia heỏt cho 16 nẽn 56(51988 – 1) chia heỏt cho 10000 Ta coự 56 = 15625
Vaọy boỏn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 51994 laứ 5625 Chuự yự: Neỏu vieỏt 51994 = 52. (51992 – 1) + 52
Ta coự: 51992 – 1 chia heỏt cho 16; nhửng 52 khõng chia heỏt cho 54
Nhử vaọy trong baứi toaựn naứy ta ca n vieỏt 5à 1994 dửụựi dáng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n ≥ 4 vaứ 1994 – n chia heỏt cho 4
