Chƣơng 1 : Một số khái niệm cơ bản
2.3 Thuật tốn nón pháp tuyến giải bài tốn quy hoạch tuyến tính đa mục
2.3.3.3 Xác định các diện hữu hiệu số chiều lớn hơn 1 kề một đỉnh hữu
hữu hiệu cho trƣớc
Trong một số thuật toán theo tiếp cận “toàn cục”, để xác định các diện hữu hiệu có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 , trước hết phải xác định tất cả các đỉnh hữu hiệu của bài tốn (LMOP), sau đó tiến hành kiểm tra tính hữu hiệu của các bao lồi của chúng. Trong thuật toán này, ta xác định các diện hữu hiệu có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 kề một đỉnh hữu hiệu cho trước chỉ dựa vào các cạnh hữu hiệu và đỉnh hữu hiệu kề đỉnh này. Kết quả là ta sẽ đưa ra các tập chỉ số xác định các diện hữu hiệu này.
Sau khi đã biết đầy đủ các cạnh hữu hiệu và các đỉnh hữu hiệu kề với một đỉnh hữu hiệu x0
cho trước, việc xác định các diện hữu hiệu có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 trong trường hợp đỉnh x0 khơng thối hóa cũng dễ dàng. Ta đã biết rằng, nếu x0
khơng thối hóa thì mỗi bộ l cạnh của tập lồi đa diện M xuất phát từ x0
đều tạo thành một diện l - chiều của M (Hệ quả 1.3) và việc còn lại cũng chỉ là kiểm tra tính âm của tập chỉ số xác định diện này.
Cho x0 là một đỉnh hữu hiệu và : 0, 0 i
i i
E x x t v với ti 0,i1,..., ,r là
r cạnh hữu hiệu xuất phát từ x0. Để thuận tiện, ta viết ti tương ứng với tia hữu hiệu. Kí hiệu 0
, 1,..., ,
i
E
I I x i r là các tập chỉ số pháp tuyến âm xác định các cạnh này.
Nhận xét rằng, số chiều lớn nhất của một diện chứa x0 chỉ có thể là
min r n, 1 . Với 1 l minr n, 1, thủ tục sau cho phép ta xác định các diện hữu hiệu l - chiều kề x0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Procedure EF3;
Bước 0. Xét tập chỉ số 0
I x
a) Nếu 0
I x n, chuyển sang Bước 1. b) Ngược lại, chuyển sang Bước 2.
Bước 1. (x0
là đỉnh khơng thối hóa) Lấy một bộ J i1,...,il 1,...,r Bước 1.0. Tính tập j E j J I I . (Vì 1 j E I n , nên I n l)
Bước 1.1. (Xét tính âm của tập I)
Giải hệ (2.1) với tập chỉ số I này.
a) Nếu hệ này khơng có nghiệm, lấy tập chỉ số J 1,...,r khác với J l
và quay trở lại Bước 1.0.
b) Ngược lại, tập chỉ số I này là âm, chuyển sang Bước 1.2. Bước 1.2. (Chắc chắn I là tập chỉ số pháp tuyến).
Diện l-chiều kề đỉnh x0 được xác định với tập chỉ số I chứa
0 0
, i i: J
conv x x t v i là hữu hiệu. Lưu kết quả này. Lấy tập chỉ số
1,...,
J r khác với J l và quay trở lại Bước 1.0. Bước 2. (x0 là đỉnh thối hóa) Lấy một bộ J i1,...,il 1,...,r Bước 2.0. Tính 0 0 1 1 j j J j J x v x x l l
Ở đây j tj nếu tj là hữu hạn và j 1 nếu tj . Xác định tj (tập hợp các chỉ số của những ràng buộc chặt tại xJ
). a) Nếu J
I x , lấy một bộ J 1,...,r khác với J l và quay trở lại Bước 2.0.
b) Nếu i: 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
c) Ngược lại, lấy một J 1,...,r khác với J l và quay trở lại Bước 2.0. Bước 2.1. (Xét tính âm của tập J
I x ).
Giải hệ (10) với tập chỉ số J
I I x .
a) Nếu hệ này khơng có nghiệm, lấy tập chỉ số J khác với J l và quay trở lại Bước 2.0
b) Ngược lại, tập chỉ số J
I x này là âm, chuyển sang Bước 2.2. Bước 2.2. (Xác định diện hữu hiệu l-chiều chứa các cạnh
0 0 , i , J) i i E x x t v i Diện l-chiều F kề đỉnh x0 xác định bởi J I x là hữu hiệu. Đặt: 0 1,..., : j J E J j r I I x .
Rõ ràng là J J0. Theo Mệnh đề 1.8, F chứa bao lồi của các cạnh
0 0
0
, i , J
i i
E x x t v i . Lưu bộ J0. Lấy tập chỉ số J khác với J l, không chứa trong một bộ J0 nào trước đó và quay trở lại Bước 2.0.