Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O . Gọi M là giao điểm của AB và CD; N là giao điểm của AD vàBC ; I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác OMN .
Chứng minh:
Gọi E là giao điểm khác I
của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AID và BIC . Ta có ·DEC = · · ( ) 0 360 - DEI +IEC · · ( ) 0 0 0 360 180 DAI 180 CBI = - - + - · · s » ·
DAI CBI CD DOC
= + = đ = , do đó tứ giác DOEC nội tiếp.Ta có ·AEB =AIE· +BEI· =ADI· +BCI· =sđAB» =AOB· nên AOEB
cũng là tứ giác nội tiếp. Gọi 'E là giao điểm của OM là đường trịn ngoại tiếp tam giác DOC .
Thế thì ME MO'. =MC MD. , mà MC MD. =MA MB. nên
'. .
ME MO =MA MB. Từ đó chứng minh được tứ giác AOE B' nội tiếp. như vậy 'E là điểm chung khác O của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và DOC . Do đó E º E' hay
, ,
M E O thẳng hàng.
Tương tự , ,N I E thẳng hàng.Ta có:
· · · · ·
· · · · ·
IEM =IEB+BEM =BCI +OAB (2). Lại có ·DAI =BCI· và
· ·
OBA=OAB (3). Từ (1),(2) và (3) ta có ·IEO =IEM· , mà
· · 1800
IEO+IEM = nên ·IEO =IEM· =900 hay NI ^OM .
Tương tự gọi F là giao điểm khác I của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB và DIC thì , ,N I F thẳng hàng và
MI ^ON . Vậy I là trực tâm của DOMN .