Phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ tuˆa `n ho` an- 123docz.net

Trong mu.c n`ay ta x´et phu.o.ng tr`ınh ˙

x(t) =A(t)x(t), x∈Cn, (1.46) v`a

y(t) =B(t)y(t), y∈Rn, (1.47) trong d¯óA(t), B(t) là các ma trâ.n phú.c (thu..c) liên tu.c và tuâ`n hoàn theot chu k`yω, tú.c làA(t+ω) =A(t);B(t+ω) =B(t), ∀t∈R.

Ma trˆa.n co. ba’n

D- i.nh lý 1.14 (Biê’u diˆñ Floquet)e Mô˜i ma trâ.n co. ba’n Φ(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.46) có thê’ biê’u diˆñ d¯u.o.e . c du.ó.i da.ng

Φ(t) =G(t)etR, ∀t∈R, (1.48)

trong d¯ó G : R→ Cn×n là kha’ vi, tuˆ` n hoà an chu k`y ω, R ∈ Cn×n là ma trâ. n h˘a`ng.

Chú.ng minh. Xét ma trâ.n X(t) := Φ(t+ω). Theo gia’ thiê´t, v`ı ˙

Φ(t+ω) = A(t+ω)Φ(t+ω), ∀t∈R

= A(t)Φ(t+ω)

nênX(t) c˜ung là nghiê.m co. ba’n cu’a (1.46). Do d¯ó tô`n ta.i ma trâ.n không suy biêń B sao cho Φ(t+ω) :=X(t) = Φ(t)B. Do B là ma trâ.n không suy biêń phú.c nên tô`n ta.i ma trâ.nωR=Ln B, sao cho

eωR =B. D- ˘a.t G(t) = Φ(t)e−tR, ta c´o

G(t+ω) = Φ(t+ω)e−(t+ω)R

= Φ(t)Be−tRe−ωR,

= Φ(t)e−tR, v`ıBe−tRe−ωR =Be−ωRe−tR

= G(t).

Rõ ràng G(t) kha’ vi theo t và Φ(t) =G(t)etR. Mô.t hê. qua’ quan tro.ng là kê´t qua’ sau.

Hê. qua’ 1.2 Phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ tuâ` n hoàn (1.46) luôn có thê’ dâñ vê` phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ h˘a`ng sôý˙ =Ry b˘a`ng phép d¯ô’i biêń

Chú.ng minh. Thâ.t vâ.y, v`ı Φ(t) = G(t)etR, nên x(t) := Φ(t)x0

là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh xuâ´t phát. Còny(t) :=etRx0là nghiê.m cu’a hê. có hê. sô´ h˘a`ng sô´ ˙y=Ry. Nêú dùng cách vi phân h`ınh thú.c ta cóx(t) :=G(t)y(t). Vâ.y th`ı

A(t)x(t) = x˙(t)

= G˙(t)y(t) +G(t) ˙y(t)

= [ ˙Φ(t)e−tR−Φ(t)e−tRR]y(t)G(t) ˙y(t) = A(t)G(t)y(t)−G(t)Ry(t) +G(t) ˙y(t).

Vâ.y th`ıG(t) ˙y(t)−G(t)Ry(t) = 0. Nhu.ng v`ıG(t) không suy biêń nên ˙y(t) = Ry(t).

Gia’ su.’ Φ(t, s) là ma trâ.n Cauchy cu’a (1.46). Ngu.ò.i ta go.i M := Φ(ω,0) là ma trâ.n monodromy cu’a (1.46). Tru.ò.ng ho..p phu.o.ng tr`ınh trongRncó phú.c ta.p ho.n. Nói chung không kh˘a’ng d¯i.nh d¯u.o..c su.. tˆ`n ta.io R thu.. c d¯ê’M =eRvó.i mo.i ma trâ.n thú.c không suy biêń cho tru.ó.c M, ch˘a’ng ha.n khi M < 0 trong tru.ò.ng ho.. p mô.t chiê` u. Tuy vâ.y ngu.ò.i ta chú.ng minh d¯u.o..c r˘a`ng nêú B là ma trâ.n thu. c. không suy biêń th`ı bao giò. c˜ung tˆ`n ta.io Rthu.. cR sao choeR=B2. Do vâ.y thay v`ı xét su. tˆ. `n ta.i ma trâ.no G(t) tuˆ` n hoà an chu k`y ω

nhu. d¯ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh phú.c ta xét ma trâ.n H(t) tuˆ` n hoà an chu ký T = 2ω. Khi d¯ó M2 là ma trâ.n monodromy cu’a phu.o.ng tr`ınh này. Chúng tôi dành cho d¯ô.c gia’ phát biê’u hê. qua’ trên cho tru.ò.ng ho.. p này.

1.4. NGHIÊ. M GIO´.I N Ô. I CU’ A PHU.O.NG TRÌNH KH ÔNG THU Â` N NH Â´T

Trong mu.c này ta s˜e xét su. tˆ. `n ta.i nghiê.m gió.i nô.i cu’a phu.o.ngo tr`ınh

dt =Ax+f(t), t∈R, (1.49) trong d¯óf là hàm liên tu.c và gió.i nô.i trên R. Tru.ó.c hê´t ta xét su.. tˆ`n ta.i nghiê.m tuâo ` n hoàn chu k`yω nêú biê´t tru.ó.cf tuˆ` n hoà an vó.i chu k`y ω.

1.4.1. Nghiê.m tuâ` n hoàn

Ta xét d¯iˆ` u kiê.n câe ` n và d¯u’ d¯ê’ (1.49) có duy nhâ´t nghiê.m tuâ` n hoàn.

D- i.nh lý 1.15 D- iê` u kiê.n câ` n và d¯u’ d¯ê’ (1.49) có duy nhâ´t mô. t nghiê.m tuâ` n hoàn chu k`y ω vó.i mô˜i hàm f liên tu. c, tuˆ` n hoà an chu k`y ω là 1∈σ(eωA), hay tu.o.ng d¯u.o.ng, 2πiZ/ω∩σ(A) =.

Chú.ng minh. Cˆ` n: gia’ su.a ’ (1.49) có duy nhâ´t nghiê.m tuâ` n hoàn chu k`yω x(t) vó.i mô˜if liên tu.c, tuâ` n hoàn chu k`yω cho tru.ó.c. Ta s˜e chú.ng minh 1 ∈σ(eωA). D- ê’ làm d¯iê` u d¯ó ta chı’ cˆ` n chá u.ng minh r˘a`ng vó.i mô˜iy∈Cn cho tru.ó.c tˆ`n ta.i ´ıt nhâ´t mô.t nghiê.mo x∈ Cn

sao cho x−eωAx = y. D- ˘a.t f(t) := α(t)e(t−ω)Ay, trong d¯ó α(t) là hàm liên tu.c nào d¯ó trên [0, ω] tho’a mãn

α(0) =α(ω) = 0;

α(ξ)dξ = 1.

Khi d¯ó f có thê’ thác triê’n thành mô.t hàm liên tu.c tuâ` n hoàn chu k`y ω trên toàn R. Theo gia’ thiê´t s˜e tˆ`n ta.i duy nhâ´t nghiê.m tuâo ` n hoàn x(t) vó.i chu k`y ω. Theo công thú.c biêń thiên h˘a`ng sô´

x(0) = x(ω) = eωAx(0) + ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. Do d¯´o (I −eωA)x(0) = ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ = ω 0 e(ω−ξ)Ae(ξ−ω)Aα(ξ)ydξ = y.

Vâ.y 1 ∈ σ(eωA). Theo d¯i.nh lý ánh xa. phô’ d¯iê` u kiê.n này tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i 2πiZ/ω∩σ(A) = .

D- u’: Gia’ su.’ ngu.o..c la.i 1 ∈ σ(eωA). Khi d¯ó gia’ su.’ f liên tu.c và tuˆ` n hoà an chu k`y ω bâ´t k`y. Ta d¯˘a.t

x0 = (I −eωA)−1 ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. Xét hàm sô´ x(t) := etAx0+ t 0 e(t−ξ)Af(ξ)dξ, t∈[0, ω] (1.50) D- ây là mô.t nghiê.m cu’a (1.49) trên [0, ω], có t´ınh châ´t x(ω) =

y(t) = x˙(t+ω)

= Ax(t+ω) +f(t+ω) = Ay(t) +f(t).

Ho.n n˜u.a, y(0) = x(ω) = x(0). Do t´ınh duy nhâ´t nghiê.m cu’a bài toán Cauchy

z(t) =Az(t) +f(t)

z(0) = x0

ta suy ra y(t) = x(t), tú.c là x(t+ω) = x(t),∀t. Dê˜ thâý d¯ôí vó.i mô˜i nghiê.m tuâ` n hoàn y(t) vó.i chu k`y ω th`ı

(I−eωA)y(0) =

e(ω−ξ)Af(ξ)dξ.

Vâ.y y(0) = x(0) = x. Do t´ınh duy nhâ´t nghiê.m cu’a bài toán Cauchy, y(t) =x(t), tú.c là có duy nhâ´t nghiê.m tuâ` n hoàn chu k`y

ω.

Chúng ta d¯ã xét phu.o.ng tr`ınh trong Cn. Bài toán tu.o.ng tu.. cho phu.o.ng tr`ınh trongRncó thê’ d¯u.o.. c xét. Khi d¯ó d¯iˆ` u kiê.n 1e ∈σ(eωA) thay b˘a`ng t´ınh kha’ ngu.o..c cu’a ma trâ.n thu..cI−eωA. D- ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ tuâ` n hoàn, nêú phu.o.ng tr`ınh trongCn th`ı b˘a`ng cách d¯u.a vˆ` phu.o.ng tr`ınh cé o hê. sô´ h˘a`ng sô´ ta d¯u.o..c d¯iêù kiê.n câ`n và d¯u’ là 1∈σ(M), trong d¯ó M là toán tu.’ monodromy. D- ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh thu.. c có hê. sô´ tuâ` n hoàn, cách d¯u.a vˆ` phu.o.ng tr`ınh cé o hê. sô´ h˘a`ng sô´ s˜e làm r˘ać rôí thêm v`ı chı’ biê´t tô`n ta.i phép dâñ tuâ` n hoàn chu k`y 2ω. Tuy nhiên có thê’ du.. a theo cách lý luâ.n trên d¯ê’ chú.ng minh r˘a`ng d¯iê` u kiê.n câ` n và d¯u’ là ma trâ.n thu. c. I−M kha’ ngu.o.. c, trong d¯óM là ma trâ.n monodromy.

1.4.2. Nghiê.m gió.i nô.i

D- ê’ nghiên cú.u d¯iˆ` u kiê.n Perron tru.ó.c hê´t ta xét mô.t kê´t qua’e bô’ tro.. sau d¯ây.

D- i.nh ngh˜ıa 1.4 Phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t

x(t) =Ax(t), x(t)∈Cn (1.51)

Mê.nh d¯ê` 1.4 Nêú phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhâ a´t (1.51) hyperbolic, th`ı tˆ`n ta.i mô.t phép chiêúo P : Cn → Cn và các h˘a`ng sô´ du.o.ng

K, α sao cho

P etAP ≤Ke−αt, ∀t≥0; (I−P)esA(I−P) ≤Keαs, ∀s≤0.

(1.52)

Chú.ng minh. Theo D- i.nh lý Ánh Xa. Phô’ ta thâý σ(eA) không chú.a vòng tròn d¯o.n vi. và do d¯ó nhu. d¯ã biê´t trong D- a.i sô´ tuyêń t´ınh có thê’ chı’ ra phép chiêúP :Cn→Cn sao choCn=I mP ⊕KerP,

P eA=eAP và σ(P eAP) ch´ınh là phˆ` n phâ o’ cu’aeA trong h`ınh tròn d¯o.n vi. cònσ((I−P)eA(I−P)) là phˆ` n cu’aa σ(eA) n˘a`m ngoài vòng tròn d¯o.n vi.1.

D- i.nh lý 1.16 (D- i.nh lý Perron) D- iê` u kiê.n câ` n và d¯u’ d¯ê’ phu.o.ng tr`ınh không thuˆ` n nhâ a´t (1.49) có nghiê.m duy nhâ´t gió.i nô.i trên toàn tru. c vó.i mô˜i f gió.i nô. i cho tru.ó.c là iR∩σ(A) =.

Chú.ng minh. Cˆ` n: Gia’ su.a ’ xf là nghiê.m gió.i nô.i duy nhâ´t vó.i mô˜i f gió.i nô.i cho tru.ó.c. Gia’ su.’f là ω tuˆ` n hoà an. Khi d¯ó ta s˜e chú.ng minh nghiê.m duy nhâ´t xf c˜ung ω-tuˆ` n hoà an. Thâ.t vâ.y, d¯˘a.t

y(t) =xf(t+ω). Ta c´o ˙

y(t) = x˙(t+ω)

= Ax(t+ω) +f(t+ω) = Ay(t) +f(t).

Vâ.y y(t) c˜ung là mô.t nghiê.m gió.i nô.i cu’a phu.o.ng tr`ınh không thuˆ` n nhâ a´t (1.49). Do gia’ thuyê´t vˆ` t´ınh duy nhê a´t nghiê.m gió.i nô.i vó.i f cho tru.ó.c nêny(t) =xf(t), hay làxf(t+ω) =xf(t), ∀t, tú.c làxf làω-tuˆ` n hoà an. Vâ.y th`ı theo D- i.nh lý trên 2πiZ/ω∩σ(A) =. Do ω tùy ý nên suy raiR∩σ(A) = .

D- u’: Vó.i mô˜i hàm f cho tru.ó.c ta lâ.p hàm Gf nhu. sau:

Gf(t) = t −∞ P e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t (I−P)e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, t∈R. (1.53)

1Phép chiêú P này có thê’ nhâ.n d¯u.o..c nhò. công thú.c t´ıch phân Riesz sau d¯ây:P = 1

2πi

γ(λI−eA)−1dλ, trong d¯ó γ ch´ınh là d¯u.ò.ng tròn d¯o.n v i. d¯i.nh hu.ó.ng du.o.ng. T´ıch phân này tu.o.ng ú.ng vó.iχ(A) trong d¯ó χ(z) là hàm d¯˘a.c tru.ng cu’a h`ınh tròn d¯o.n v i..

Theo mê.nh d¯ê` trên su.. hô.i tu. cu’a t´ıch phân trong biê’u thú.c là rõ ràng. Ngoài ra vi phân tru.. c tiê´p ta có Gf(·) là mô.t nghiê.m gió.i nô.i. T´ınh duy nhâ´t có thê’ chú.ng minh d¯u.o..c dê˜ dàng b˘a`ng cách chı’ ra phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhâ a´t chı’ có duy nhâ´t nghiê.m gió.i nô.i là nghiê.m tâ` m thu.ò.ng.

Nhâ.n xét 1.3 Ta có các nhâ. n xét sau d¯ây:

1. Toán tu.’ G ú.ng mô˜i hàm f gió.i nô. i vó.i nghiê.m gió.i nô.i Gf

d¯u.o.. c go. i l`a to´an tu.’ Green.

2. D- ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ tuâ`n hoàn chu k`y τ, chúng ta có thê’ phát biê’u mô. t d¯iˆ` u kiê.n tu.o.ng tu.e . cho toán tu.’ monodromy (tú.c là ánh xa. tuyêń t´ınh xác d¯i.nh bo’ i ma trˆ. a. n Cauchy X(τ,0)). Khi d¯ó d¯iˆ` u kiê.n s˜e làe σ(X(τ,0))∩ {z ∈C:

|z|= 1}=.

3. Có thê’ chı’ ra pha’n v´ı du. chú.ng to’ r˘a`ng d¯ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ tuâ` n hoàn các giá tri. riêng cu’a ma trâ.nA(t), ∀t∈R

không d¯óng vai trò g`ı trong su.. tˆ`n ta.i nghiê.m gió.i nô.i cu’ao phu.o.ng tr`ınh không thuˆ` n nhâ a´t, c˜ung nhu. t´ınh ô’n d¯i.nh cu’a hê. thuâ` n nhâ´t.

1.4.3. Các không gian hàm châ´p nhâ.n d¯u.o..c

Trong ú.ng du.ng phu.o.ng tr`ınh thuâ`n nhâ´t thu.ò.ng mô ta’ hê. thôńg, cònf d¯˘a.c tru.ng cho ngoa.i lu..c, thu.ò.ng go.i là sô´ ha.ng cu.õ.ng chê´ (forcing term), hay “d¯ˆ` u và ao” (input). Mô.t bài toán quan tro.ng sau d¯ây là nô.i dung ch´ınh cu’a lý thuyê´t các không gian hàm châ´p nhâ.n d¯u.o..c.

Bài toán:Gia’ su.’ cho tru.ó.c mô. t không gian hàmM. Vó.i d¯iˆ` u kiê.ne nào d¯˘a. t lên A d¯ê’ vó.i mô˜i f ∈ M tˆ`n ta.i duy nhâ´t mô.t nghiê.mo xf

cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49) ?

1.4.4. Nghiê.m gió.i nô.i trên nu.’a tru.c

Có thê’ d¯˘a.c tru.ng t´ınh hyperbolic cu’a hê. tuyêń t´ınh thuâ`n nhâ´t qua su.. tˆ`n ta.i (không duy nhâ´t) nghiê.m gió.i nô.i trên nu.’a tru.co du.o.ng vó.i mô˜i hàm cu.õ.ng bách (forcing term) f cho tru.ó.c trên nu.’ a tru.c. Tuy nhiên, viê.c chú.ng minh d¯˘a.c tru.ng này khá phú.c ta.p so vó.i chú.ng minh d¯i.nh lý Perron o’ trên. Gia’ su.. ’ σ(A)∩iR = .

σ(A|ImP) = {λ∈σ(A) :Reλ < 0}, σ(A|KerP = {λ∈σ(A) :Reλ > 0}.

Ta nh˘ać la.i r˘a`ngBC(R+,Rn) :={g : [0,+∞)→Rnliên tu.c và gió.i nô.i}.

D- i.nh lý 1.17 Vó.i gia’ thiê´t và ký hiê.u trên, vó.i mo.if ∈BC(R+,Rn)

các kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ây là d¯úng:

1. Phu.o.ng tr`ınh (1.49) có ´ıt nhâ´t mô. t nghiê.m gió.i nô.i trên nu.’a tru. c, cho bo’ i cˆ. ong thú.c:

xf(t) = t 0 e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, ∀t∈R+, (1.54)

2. Mo. i nghiê.m y(t), t∈R+, gió.i nô. i trên nu.’ a tru.c R+, d¯ˆ` u cé o da. ng

y(t) =etAy0+xf(t), y0 ∈I mP, ∀t∈R+. (1.55)

Chú.ng minh. (1) Du.. a vào d¯ánh giá

etAP x ≤N e−αt, ∀t≥0, esA(I−P) ≤N e−αs, ∀s≤0 vó.i hai sô´ du.o.ng N, α nào d¯ó xác d¯i.nh tù.A, ta có thê’ chı’ ra ngay

xf là hàm gió.i nô.i. Thu’ tru.. . c tiê´p suy ra ngay xf là nghiê.m cu’a (1.49).

(2) Dùng nguyên lý chˆ`ng chô a´t nghiê.m suy ra hiê.u y(t)−xf(t) =

z(t) là mô.t nghiê.m gió.i nô.i cu’a phu.o.ng tr`ınh thuâ`n nhâ´t tu.o.ng ´

u.ng. Vˆa.y th`ız(t) pha’i c´o da.ng z(t) = etA(P z(0) + (I −P)z(0)).

Nêú (I−P)z(0)= 0 th`ı nghiê.mz(t) không thê’ gió.i nô.i d¯u.o..c. Vâ.y ta d¯u.o.. c d¯iˆ` u cê ` n chá u.ng minh.

1.5. B ÀI TO ÁN BIÊN

1.5.1. Bài toán biên thuˆ` n nhâ a´t

Xét phu.o.ng tr`ınh tuyêń t´ınh ˙

x=P(t)x, (1.56)

trong d¯ó P : (a, b)→Cn×n là hàm giá tri. ma trâ.n liên tu.c. Ta xét bài toán sau: T`ım nghiê.m x(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56) tho’a mãn d¯iˆ` u kiê.n biên sau d¯ây:e

Ax(α) +Bx(β) = 0, (1.57) trong d¯óA, B∈Rn×n là hai ma trâ.n, vàα, β ∈(a, b) là hai sô´ thu.. c cho tru.ó.c.

Gia’ su.’ Φ(t) là ma trâ.n co. ba’n chuâ’n hóa (tú.c là Φ(0) =I, ma trâ.n d¯o.n vi.) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56). Ta s˜e t`ım nghiê.m trong da.ng sau

x(t) = Φ(t)C, C ∈Cn. (1.58) Tù. d¯iˆ` u kiê.n biên suy rae

[A+BΦ(β)]C= 0.

Do d¯ó bài toán biên (1.56) và (1.57) có nghiê.m không tâ` m thu.ò.ng khi và chı’ khi

∆ := det[A+BΦ(β)] = 0.

Gia’ su.’

Q={(t, s) :α≤t ≤β;α≤s≤β, s=t}.

D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Anh xa´ . G : Q → Cn×n d¯u.o.

. c go. i là hàm Green cu’a bài toán biên (1.56) và (1.57) nêú nó tho’a mãn các d¯iˆ` u kiê.ne sau:

dt =P(t)G, ∀t ∈[α, s), t∈(s, β]

2. AG(α, s) +BG(β, s) = 0,

3. G(s+ 0, s)−G(s−0, s) =I , (I l`a to´an tu.’ d¯o.n vi.).

Tù. lý thuyê´t hê. phu.o.ng tr`ınh tuyêń t´ınh ta có thê’ biê’u diêñG(t, s) du.ó.i da.ng sau:

G(t, s) =

Φ(t)S(s), α ≤t < s,

Φ(t)T(s), s < t≤β.

Theo các d¯iˆ` u kiê.n cu’a hàm Green ta cóe

AS+BΦ(β)T = 0, Φ(S−T) =I .

Do d¯´o

S−T = −Φ−1

S(s) = −[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), T(s) = {I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s).

Vâ.y th`ıG(t, s) xác d¯i.nh mô.t cách d¯o.n tri. tù. công thú.c G(t, s) =    −Φ(t)[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), α≤t < s, Φ(t){I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s), s < t≤β. (1.59) Tù. (1.59) và d¯˘a’ng thú.c dΦ−1 dt =−Φ−1P ta có dG ds =−GP(s), G(t, t−0)−G(t, t+ 0) =I .

1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t

Xét bài toán biên không thuˆ` n nhâ a´t sau: ˙

x = P(t)x+q(t), t∈(a, b) (1.60) 0 = Ax(α) +Bx(β), (1.61) trong d¯ó q: (a, b)→Cn là hàm liên tu.c cho tru.ó.c.

Phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ tuˆa `n ho` an

Kh´ ai niˆ e.m ˆo’n d¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov

Phu.o.ng ph´ ap th´ u hai Lyapunov