Trước hết, xét một số giả thiết sau:
A1. Tồn tại hằng số dương L sao cho
xb(t, x)∨ |σ(t, x)|2 ≤ L(1 +|x|2
)
với mọi x ∈ R và t∈ [0, T].
A1’. Tồn tại các hằng số dương p0, L sao cho với mọi x ∈ R và s ∈ [0, T],
xb(s, x) + p0−1
2 |σ(s, x)|2 ≤ L(1 +|x|2).
A2. Hệ số dịch chuyển bLipschitz một phía: tồn tại hằng số dương L sao cho
(x−y)(b(t, x)−b(t, y)) ≤ L|x−y|2 với mọi x, y ∈ R và t ∈ [0, T].
A3. Hệ số dịch chuyển b Lipschitz địa phương với hệ số đa thức: tồn tại các hằng số dương L và l sao cho
|b(t, x)−b(t, y)| ≤ L 1 +|x|l +|y|l
|x−y|,
và
|b(t, x)| ≤ L(1 +|x|l+1)
A3’. Hệ số dịch chuyển b liên tục Lipschitz địa phương và bị chặn địa phương: với mọi R > 0, tồn tại các hằng số dương LR > 0 sao cho
|b(t, x)−b(t, y)| ≤ LR|x−y|
và |b(t, x)| ≤ LR với mọi |x| ∨ |y| ≤ R và t∈ [0, T].
A4. Hệ số khuếch tán σ liên tục α+ 1/2- Hăolder: tn ti cỏc hằng số dương
L và α ∈ (0,1/2] sao cho
|σ(t, x)−σ(t, y)| ≤ L|x−y|1/2+α với mọi x, y ∈ R và t ∈ [0, T].
A4’. Hệ số khuếch tán σ liên tục α + 1/2 - Hăolder a phng vi h số đa thức: tồn tại các hằng số dương L và α ∈ [0,1/2] sao cho
|σ(s, x)−σ(s, y)| ≤ L 1 +|x|l +|y|l
|x−y|α+1/2,
với mọi x, y ∈ R và s ∈ [0, T].
A4”. Hệ số khuếch tán σ liên tục α+ 1/2-Hăolder a phng: vi mi R > 0,
tồn tại các hằng số dương LR và α ∈ [0,1/2] sao cho |σ(t, x)−σ(t, y)| ≤LR|x−y|1/2+α với mọi |x| ∨ |y| ≤ R và t∈ [0, T].
A5. Các hệ số b và σ l liờn tc Hăolder đối với biến thời gian, cụ thể là tồn tại các hằng sốL > 0và β ∈ (0,1] sao cho với mọix ∈ Rvà t, s ∈ [0, T]
thì
|σ(t, x)−σ(s, x)| ≤ L|t−s|β(1 +|x|(l+2)/2),
và
|b(t, x)−b(s, x)| ≤ L|t−s|β(1 +|x|l+1).
Dễ thấy rằng các giả thiết A1 dẫn tới A1’, A3 dẫn tới A3’ và A4 dẫn tới A4’, A4”, tương ứng.
Nếu σ thỏa mãn các điều kiện A4’ và A5 thì tồn tại hằng số dương, khơng mất tính tổng quát ta vẫn kí hiệu là L thỏa mãn
|σ(s, x)|2 ≤ L(1 +|x|l+2). (2.2) Kí hiệu C là hằng số dương chỉ phụ thuộc L, l, T, α và x0 nhưng độc lập với
A1 A1’ A2 A3 A3’ A4 A4’ A4” A5 b(x) =x−x3, X X X X X X X X X σ(x) = |x|1/2+α b(x) =x−x3, × X X X X × X X X σ(x) = |x|1/2+α+x2 b(x) =−xex2, X X X × X X X X X σ(x) = |x|1/2+α b(x) =−x3e2x2, × X X × X × × X X σ(x) = |x|1/2+α+x2ex2
Bảng 2.1:Một số hàm số thỏa mãn các điều kiện A1-A5