1.2. Các trạng thái phi cổ điển hai và ba mode
1.2.1. Trạng thái Fock
Trạng thái Fock hay còn gọi là trạng thái số hạt |n ⟩ mà được xây dựng từ kết quả của q trình lượng tử hóa lần thứ hai. Đây là trạng thái có số hạt xác định và được khái quát từ trạng thái chân không. Trạng thái Fock được thu bằng cách tác dụng liên tục các tốn tử sinh lên trạng thái chân khơng,
|n ⟩ = aˆ+n
√
n! |0⟩ , (1.1)
trong đó |0⟩ là trạng thái chân khơng, aˆ+ là tốn tử sinh và n là số ngun khơng âm. Đây chính là trạng thái riêng của tốn tử số hạt Nˆ với trị
riêng tương ứng n thỏa mãn phương trình trị riêng
với
Nˆ
Nˆ |n⟩ = n |n⟩ , (1.2)
= aˆ+aˆ. Các trạng thái Fock phải thỏa mãn điều kiện trực chuẩn và
đầy đủ, nghĩa là ⟨m|n⟩ = δm,n và ∞ |n n|⟩ ⟨ = 1, (1.3) n=0 trong đó δm,n là hàm delta-Kronecker.
Khi tác dụng nhiều lần toán tử sinh hoặc hủy hạt lên trạng thái Fock, ta được aˆ+m |n ⟩ = (n + m)! √ n! |n + m⟩ , √ n! (1.4) k aˆ |n⟩ = √ (n − k)! |n − k⟩ ,
trong đó m, n và k là các số nguyên dương, k thỏa mãn điều kiện 0 < k <
12
Σ
aˆ, aˆ+Σ
= 1, [aˆ, aˆ] = Σaˆ+, aˆ+Σ
Σ
Do các tính chất tiện lợi của trạng thái Fock, nên các trạng thái phi cổ điển thường được biểu diễn qua trạng thái này. Đồng thời với tính chất của các toán tử sinh, hủy trong biểu thức (1.4), kỹ thuật thêm (bớt) photon được áp dụng lên các trạng thái Fock để tạo ra các trạng thái phi cổ điển với các tính chất phi cổ điển được tăng cường [65]. Điều này rất quan trọng khi thực hiện các nhiệm vụ lượng tử.