4.4 Lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn
4.4.3 Tốc độ hội tụ của lược đồ
Bổ đề 4.4.8. Cho (ak)0≤k≤n,(ζk)0≤k≤n và (ξk)0≤k≤n là các quá trình tương thích xác định trên khơng gian xác suất có lọc (Ω,G,(Gk)0≤k≤n,P) thỏa mãn
(i) a0 = 0 và ak ≥ 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n,
(ii) E(ξk+1|Gk) = 0, với mọi 0≤ k ≤ n−1,
(iii) ak+1 ≤ qak +ζk +ξk+1 với mọi 0≤ k ≤n−1, với mọi q > 1,
(iv) sup0≤k≤nE[|ζk|] ≤ ε với ε > 0.
Khi đó với mọi thời điểm dừng τ ≤n,
E[aτ] ≤ εq
n
q−1.
Chứng minh. Từ điều kiện (iii), Pki=0qk−iai+1 ≤ Pki=0qk−i+1ai + qk−iζi +
qk−iξi+1.Từ đó kết hợp với điều kiện (i) dẫn tớiak+1 ≤
k P i=0 qk−iζi+ k+1 P i=1 qk+1−iξi. Do đó q−kak ≤ n−1P i=0 q−i−1|ζi| + k P i=1 q−iξi. Đặt Mk = k P i=1
q−iξi. Với mọi thời điểm dừng τ ≤ n, q−naτ ≤ q−τaτ ≤
n−1
P
i=0
q−i−1|ζi| + Mτ. Do điều kiện (ii),
(Mk,Gk)1≤k≤n là một martingale. Sử dụng điều kiện (iv) và Định lý chọn mẫu Doob, E[aτ] ≤ n−1P
i=0
qn−1−iε ≤ εq
n
q −1, Từ đó suy ra kết luận của Bổ đề.
Định lý 4.4.9. Giả sử rằng b, σ ∈ C2
(i) Nếu Giả thiết Hpˆ đúng cho pˆ≥ 6, thì sup τ∈TnE X(τ)−X(n)(τ) 2 ≤ C n2. (4.31)
Hơn nữa, với mọi p∈ (0,2),
E sup 0≤k≤n kX(t(n)k )−X(n)(t(n)k )kp ≤ C(p) np . (4.32)
(ii) Nếu giả thiết Hpˆ đúng cho pˆ≥ 18, thì với mọi p ∈ (0,2),
E " sup t∈[0,T] X(t)−X(n)(t) p# ≤C(p)(logn) 3p/2 np . (4.33) Chứng minh Định lý 4.4.9. (i) Giả sử Giả thiết Hpˆđúng với pˆ≥6. Với
mỗi t ∈ ht(n)k , t(n)k+1i, từ (4.11) và các Bổ đề 4.4.2 – 4.4.6 thì ke(t)k2 ≤ 1 + C n ke(t(n)k )k2+kS1(t)k2+kS2(t)k2 +kS3(t)k2 +ζ1(t) +ζ2(t) +ξ1(t) + ξ2(t) +R3(t) +R5(t) +ξ5(t) + ξ6(t) +R6(t) ≤ 1 + C n ke(t(n)k )k2+ζ(t) +ξ(t), trong đó ζ(t) =kS1(t)k2+kS2(t)k2 +kS3(t)k2 +ζ1(t) + ζ2(t) và ξ(t) = ξ1(t) +ξ2(t) +ξ5(t) +ξ6(t) +R3(t) +R5(t) +R6(t). Lại có, cũng theo các Bổ đề 4.4.2 – 4.4.4 thì sup t∈[0,T] E[|ζ(t)|] ≤ C n3. Chọn t = t(n)k+1 thì ke(t(n)k+1)k2 ≤ 1 + C n ke(t(n)k )k2 +ζ(t(n)k+1) +ξ(t(n)k+1). DoE h ξ(t(n)k+1)|Ft(n) k i
= 0, nên theo Bổ đề 4.4.8 vớiq = 1+Cn, thu được (4.31). Ước lượng (4.32) là hệ quả của (4.31) và Bổ đề 3.2 trong Gyăongy v Krylov (2003).
(ii) Giả sử rằng Giả thiếtHpˆđúng vớipˆ≥18, luận án sẽ chứng minh (4.33). Từ (4.11), sup t∈[0,T] ke(t)k2 ≤C sup 0≤k≤n ke(t(n)k )k2+ C 6 X m=1 sup t∈[0,T] kSm(t)k2. Nếu p ∈ (0,2), áp dụng đánh giá P ja2 j p/2 ≤ P j|aj|p, E " sup t∈[0,T] ke(t)kp # ≤CE sup 0≤k≤n ke(t(n)k )kp +C 6 X m=1 E " sup t∈[0,T] kSm(t)kp # ≤CE sup 0≤k≤n ke(t(n)k )kp +C 6 X m=1 E " sup t∈[0,T] kSm(t)k2 #!p/2 .
Đánh giá này cùng với các Bổ đề 4.4.2 – 4.4.7 dẫn tới (4.33).
4.4.4 Ví dụ và mơ phỏng
Trong phần này, luận án sẽ xét ví dụ giải số để phân tích sự hội tụ tiệm cận của lược đồ Milstein nửa ẩn (SIM). Các kết quả này được so sánh với lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn (SIEM). Xét hệ điểm Brown bị đẩy bởi lân cận gần nhất X = (X1, . . . , Xd) được cho bởi hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dX1(t) =nX1(t)−X2(t)γ + b1(X1(t))odt+σ1(X1(t))dW1(t), dXi(t) = nXi(t)−Xi−1(t)γ + Xi(t)−Xi+1(t)γ +bi(Xi(t))odt +σi(Xi(t))dWi(t), i = 2, . . . , d−1, dXd(t) =nX γ d(t)−Xd−1(t) + bd(Xd(t))odt+σd(Xd(t))dWd(t), (4.34) với X(0) ∈ ∆d. Trong trường hợp này, chọnd = 10, γ = 1, và bi(x) = sinx, σi(x) = sin(2x)2 vớii = 1, . . . ,10. Khi đó theo Hệ quả 6.2 trong [15] thì phương
trình (4.34) có duy nhất nghiệm trong miền ∆d với mọi t > 0.
Bây giờ kí hiệu XE,n và XM,n là các nghiệm xấp xỉ Euler-Maruyama nửa ẩn và Milstein nửa ẩn của X, tương ứng. Kí hiệu (XE,n,i)i≥1 và (XM,n,i)i≥1
là các bản sao độc lập cùng phân phối của biến ngẫu nhiên XE,n và XM,n, tương ứng. Phép lặp trong Mệnh đề 4.1 [58], được áp dụng để giải gần đúng
nghiệm của hệ phương trình đại số kiểu (4.3) cho cả hai lược đồ. Sử dụng mseE(k) = 1 M M X i=1 kXE,2k,i (1)−XE,2k+1,i(1)k2 , và mseM(k) = 1 M M X i=1 kXM,2k,i(1)−XM,2k+1,i(1)k2,
để ước lượng tốc độ hội tụ. Để hình dung cách xác định, giả sử rằng lược đồ
X•,n hội tụ theo tốc độ β ∈ (0,+∞) trong L2 với chuẩn thơng thường. Khi đó tồn tại hằng số β > 0 sao cho
22βnEhkX(1)−X•,2n(1)k2i
= O(1),
do đó
22βnEhkX•,2n+1(1)−X•,2n(1)k2i= O(1).
Trong trường hợp này,
log2(mse•(k)) = −2βk + ˜β +o(1),
với β˜∈ R.
TH1: Xi(0) = i/2 TH2: Xi(0) = i TH3: Xi(0) = 2i
Lược đồ SIEM 0.59 0.59 0.66 Lược đồ SIM 0.70 0.91 0.97
Bảng 4.1:Tốc độ hội tụ của mỗi lược đồ giải số
Tốc độ hội tụ của mỗi lược đồ được thống kê ở Bảng 4.1. Có thể thấy rằng tốc độ hội tụ của mỗi lược đồ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm tại thời điểm ban đầu. Tuy nhiên tốc độ hội tụ của lược đồ Milstein nửa ẩn luôn cao hơn tốc độ hội tụ của lược đồ Euler nửa ẩn. Trong trường hợp 2 và 3, tốc độ hội tụ của lược đồ Milstein nửa ẩn gần với 1, điều này đã được minh chứng trong kết quả lý thuyết. Tuy nhiên tốc độ hội tụ của lược đồ Milstein nửa ẩn ở trường hợp 1 là thấp hơn mức kỳ vọng, điều này là do phương pháp lặp để giải hệ phương trình đại số trong Mệnh đề 4.1 của [58] là hội tụ chậm trong trường hợp này.
Hình 4.1: Giá trị của mseE(k) (đánh dấu bởi ) và mseM(k) (đánh dấu bởi •) trong trường hợp thang đo log2 với k = 1, . . . ,5
Hình 4.1 chỉ ra kết quả mơ phỏng khi ta tính mseE(k) và mseM(k) với
k = 1, . . . ,5, M = 103 và X0(i) = i/2 (bên trái), X0(i) = i (ở giữa), và
X0(i) = 2i (bên phải). Vẽ đường hồi qui để đánh giá tốc độ hội tụ β cho mỗi lược đồ.
4.5 Kết luận Chương 4
Mục tiêu của chương 4 là mở rộng các kết quả của Ngơ Hồng Long và Taguchi [58] trong trường hợp các hệ số dịch chuyển là hằng số. Các kết quả mới thu được ở chương này chỉ ra rằng nếu có đủ tính trơn của các hệ số thì lược đồ xấp xỉ dạng Milstein nửa ẩn có thể có tốc độ tốt hơn gấp đôi so với lược đồ xấp xỉ dạng Euler-Maruyama. Đồng thời, lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn cũng bảo tồn tính chất khơng va chạm giống như nghiệm đúng. Kĩ thuật chính để đánh giá tốc độ là biểu diễn sai số xấp xỉ theo nghiệm đúng, khi đó giả thiết Hpˆ sẽ được khai thác triệt để. Các kết quả của chương này được công bố trên bài báo [CT3] trong danh mục các cơng trình đã cơng bố.
KẾT LUẬN
Bằng cách kết hợp các cơng cụ hiện đại trong giải tích ngẫu nhiên và kĩ thuật xấp xỉ của Yamada-Watanabe, luận án đã xây dựng được các lược đồ xấp xỉ phù hợp cho một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số khơng chính qui như hệ số tăng trên tuyến tính, liên tục Lipschitz địa phương, liờn tc Hăolder hoc không liên tục. Luận án không chỉ chứng minh được sự hội tụ của các lược đồ mà còn xác định được tốc độ hội tụ và tính ổn định của chúng. Luận án cũng xây dựng được một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phương trình vi phân với hệ số khơng Lipschitz.
• Những đóng góp mới của luận án:
i) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển liên tục Lipschitz địa phương và hệ số khuếch tán liên tục Holder địa phương. Kết quả này mạnh hơn các kết quả cổ điển trước đây.
ii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ dạng khống chế cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số tăng trên tuyến tính và xác định được tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của lược đồ đó.
iii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ bảo tồn tính chất khơng âm và tính chất ổn định của nghiệm đúng cho một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên ổn định. Lược đồ mới có tốc độ hội tụ bằng các lược đồ cổ điển khác trong khoảng thời gian hữu hạn.
iv) Xây dựng lược đồ xấp xỉ Milstein dạng nửa ẩn cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn hệ điểm khơng va chạm. Chứng minh lược đồ mới đảm bảo tính khơng va chạm của nghiệm đúng và hội tụ theo nghĩa mạnh với tốc độ bằng 1.
• Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án
Trong thời gian tới, NCS dự định phát triển các kết quả nghiên cứu của luận án theo các hướng sau đây:
i) Thiết lập một tiêu chuẩn cơ bản, để áp dụng cho nhiều lược đồ xấp xỉ khác nhau.
ii) Nghiên cứu giải số cho lớp các phương trình vi tích phân ngẫu nhiên có hệ số khơng liên tục hoặc có hạch suy biến.
iii) Nghiên cứu và xây dựng lược đồ xấp xỉ dạng tương thích với các mốc chia thời gian là ngẫu nhiên. Đánh giá tốc độ hội tụ và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ dạng này.
iv) Thiết lập các lược đồ xấp xỉ cho hệ các phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn hệ điểm khác.
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ
[CT1] H.L. Ngo, D.T. Luong, Strong rate of tamed Euler–Maruyama approxi- mation for stochastic differential equations with Hăolder continuous dif- fusion coefficients. Brazilian Journal of Probability and Statistics (2017) 31, no. 1, 24-40.
[CT2] H.L. Ngo, and D.T. Luong, Tamed Euler-Maruyama approximation for stochastic differential equations with locally Hăolder continuous diffusion coefficients. Statistics & Probability Letters (2019) 145, 133–140.
[CT3] D.T. Luong, H.L. Ngo. Semi-implicit Milstein approximation scheme for non-colliding particle systems. Calcolo (2019) 56, 25.
[CT4] T.T. Kieu, D.T. Luong, H.L. Ngo, T.T. Nguyen. Convergence, Non- negativity and Stability of a New Tamed Euler–Maruyama Scheme for Stochastic Differential Equations with Hăolder Continuous Diffusion Co- efficient. Vietnam Vietnam Journal of Mathematics (2020) 48, 107–124.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Alfonsi. On the discretization schemes for the CIR (and Bessel squared) processes. Monte Carlo methods and applications (2005) 11, 355–384.
[2] A. Alfonsi. Strong order one convergence of a drift implicit Euler scheme: Application to the CIR process. Statistics and Probability Letters (2013) 83, 2 602–607.
[3] J. Bao, C. Yuan. Convergence rate of EM scheme for SDEs. Proceedings of the American Mathematical Society (2013) 141, no. 9, 3231–3243.
[4] B. Berkaoui, M. Bossy, A. Diop. Euler scheme for SDEs with non- Lipschitz diffusion coefficient: strong convergence. ESAIM Probability and Statistics (2008) 12, 1–11.
[5] F. Black, M. Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy (1973) 81, no. 3, 637–659.
[6] M. F. Bru. Diffusions of perturbed principal component analysis.Journal of Multivariate Analalysis (1989) 29, no. 1, 127–136 .
[7] M. F. Bru. Wishart processes. Journal of Theoretical Probability (1991) 4, no. 4, 725–751.
[8] E. Cépa, D. Lépingle. Diffusing particles with electrostatic repulsion.
Probability Theory Related Fields (1997) 107, no. 4, 429–449.
[9] A. Cherny, H. J. Engelbert. Singular Stochastic Differential Equations.
Lecture Notes in Mathematics (2005), Vol. 1858. Springer.
[10] J. F. Chassagneux, A. Jacquier, I. Mihaylov. An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial SDEs with non-Lipschitz
coefficients. SIAM Journal on Financial Mathematics (2016) 7, no. 1, 993–1021.
[11] S. Dereich, A. Neuenkirch, L. Szpruch. An Euler-type method for the strong approximation of the Cox-Ingersoll-Ross process. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science
(2012) 468.2140, 1105–1115.
[12] F. J. Dyson. A Brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix. Journal of Mathematical Physics (1962) 3, no. 6, 1191–1198.
[13] M. Fischer, G. Nappo. On the moments of the modulus of continuity of Itô processes. Stochastic Analysis and Applications (2009) 28, no. 1, 103–122.
[14] J. Gatheral.The volatility surface: a practitioner’s guide (2011) Vol. 357. John Wiley & Sons.
[15] P. Graczyk, J. Ma lecki. Strong solutions of non-colliding particle systems.
Electronic Journal of Probability (2014) 19, no. 119, 1–21.
[16] M.B. Giles. Multilevel Monte Carlo path simulation.Operations Research
(2008) 56, no. 3, 607–617 .
[17] Q. Guo, W. Liu, X. Mao, and R. Yue. The partially truncated Euler- Maruyama method and its stability and boundedness,Applied Numerical Mathematics (2017) 115, 235–251.
[18] I. Gyăongy. A note on Euler’s approximations. Potential Analysis (1998) 8, 205–216.
[19] I. Gyăongy, and N. V. Krylov. Existence of strong solutions for Itô’s stochastic equations via approximations. Probability Theory and Related Fields (1996) 105, 143–158.
[20] I. Gyăongy, N. V. Krylov. On the Splitting-Up Method and Stochastic Partial Differential Equations. Stochastic inequalities and applications,
[21] I. Gyăongy, M. Rásonyi. A note on Euler approximations for SDEs with Hăolder continuous diffusion coefficients. Stochastic Processes and their Applications (2011) 121, 2189–2200.
[22] I. I. Gichman, A. V. Skorokhod. Stochastic differential equations (1968). Naukova Dumka, Kiev.
[23] M. Hairer, M. Hutzenthaler, A. Jentzen. Loss of regularity for Kol- mogorov equations. Annals of Probability (2015) 43, no. 2, 468–527.
[24] M. Hefter, A. Jentzen. On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox–Ingersoll–Ross processes and squared Bessel processes.Finance and Stochastics (2019) 23, 139–172.
[25] D. J. Higham. Mean-square and asymptotic stability of the stochastic theta method. SIAM Journal on Numerical Analysis (2000), 38, 753– 769.
[26] D. J. Higham, X. Mao, A. M. Stuart. Strong convergence of Euler type methods for nonlinear stochastic differential equations.SIAM Journal on Numerical Analysis (2002) 40, 1041–1063.
[27] D. J. Higham, X. Mao, A. Stuart. Exponential mean-square stability of numerical solutions to stochastic differential equations. LMS Journal of Computation and Mathematics (2003) 6, 297-313.
[28] D. J. Higham, X. Mao, C. Yuan. Almost sure and moment exponential stability in the numerical simulation of stochastic differential equations.
SIAM Journal on Numerical Analysis (2007) 45, 592–609.
[29] Y. Hu. Semi-implicit Euler-Maruyama scheme for stiff stochastic equa- tions. Stochastic Analysis and Related Topics V (1996) 38, 183–202.
[30] W. Liu, X. Mao. Almost sure stability of the Euler-Maruyama method with random variable stepsize for stochastic differential equations. Nu- merical Algorithms (2017) 74, no. 2, 573–592.
[31] M. Hefter, A. Jentzen. On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox–Ingersoll–Ross processes and squared Bessel processes. Finance and Stochastics (2019) 23, no. 1, 139–172.
[32] M. Hutzenthaler, A. Jentzen. Numerical approximations of stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients,
Memoirs of the American Mathematical Society (2015) 236, no. 1112.
[33] M. Hutzenthaler, A. Jentzen, and P. E. Kloeden. Strong and weak di- vergence in finite time of Euler’s method for stochastic differential equa- tions with non-globally Lipschitz continuous coefficients. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences
(2011) 467, no. 2130, 1563–1576.
[34] M. Hutzenthaler, A. Jentzen, P. E. Kloeden. Strong convergence of an ex- plicit numerical method for SDEs with non-globally Lipschitz continuous coefficients. Annals of Applied Probability (2012) 22, 1611–1641.
[35] M. Hutzenthaler, A. Jentzen, and M. Noll. Strong convergence rates and temporal regularity for Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes with accessible boundaries. Preprint. arXiv:1403.6385 (2014).
[36] K. Itô. Stochastic integral. Proceedings of the Imperial Academy (1944) 20, no. 8, 519–524
[37] A. Jentzen, P. E. Kloeden, A. Neuenkirch. Pathwise approximation of stochastic differential equations on domains: higher order conver- gence rates without global Lipschitz coefficients.Numerische Mathematik (2009) 112, no. 1, 41–64.
[38] I. Karatzas, S. Shreve.Brownian motion and stochastic calculus. Springer
Science & Business Media (2012) Vol. 113.
[39] M. Katori, H. Tanemura. Symmetry of matrix-valued stochastic pro- cesses and noncolliding diffusion particle systems. Journal of Mathemat- ical Physics (2004) 45, no. 8, 3058–3085.
[40] R. Khasminskii. Stochastic stability of differential equations (2011) vol. 66. Springer Science & Business Media
[41] P.E. Kloeden, E. Platen. Numerical solution of stochastic differential equations (1992) vol. 2. Springer-Verlag, Berlin.
[42] N. V. Krylov. On Itô stochastic differential equations, Theory of Proba- bility and Its Applications (2969) 14, no. 2, 330–336.
[43] S. Kusuoka.Approximation of expectation of diffusion processes based on Lie algebra and Malliavin calculus (2004) 69–83. In Advances in mathe- matical economics, Springer, Tokyo.
[44] J. F. Le Gall.One-dimensional stochastic differential equations involving the local times of the unknown process. Stochastic analysis and applica- tions (1984) 51–82.
[45] D. Lépingle. Boundary behavior of a constrained Brownian motion be- tween reflecting-repellent walls. Probability and Mathematical Statistics
(2010) 30, no. 2, 273–287.
[46] X. H. Li, and G. Menon. Numerical solution of Dyson Brownian mo- tion and a sampling scheme for invariant matrix ensembles. Journal of Statistical Physics (2013) 153, no. 5, 801–812.
[47] X. Mao. Stochastic differential equations and their applications (1997). Horwood Publishing Series in Mathematics & Applications, Horwood Publishing Limited, Chichester.
[48] X. Mao. The truncated Euler–Maruyama method for stochastic differ- ential equations, Journal of Computational and Applied Mathematics
(2015) 290 370–384.
[49] X. Mao, L. Szpruch. Strong convergence and stability of implicit nu- merical methods for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients, Journal of Computational and Applied Mathematics (2013) 238, no. 15, 14–28.
[50] G. Maruyama. Continuous Markov processes and stochastic equations.
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1955) 4, 48.
[51] R. C. Merton. Theory of rational option pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science (1973) 4, 141–183.
[52] G. Milstein. Approximate integration of stochastic differential equations,
[53] G. Milstein, M. Tretyakov.Stochastic numerics for mathematical physics
(2013). Springer Science & Business Media.
[54] N. Naganuma, D. Taguchi. Malliavin calculus for non-colliding particle systems, Stochastic Processes and their Applications (2020) 130, no. 4, 2384–2406.
[55] H. L. Ngo, D. Taguchi. On the Euler–Maruyama approximation for one- dimensional stochastic differential equations with irregular coefficients.
IMA Journal of Numerical Analysis (2016), 37, no. 4, 1864–1883.
[56] H. L. Ngo, D. Taguchi. Strong rate of convergence for the Eu- ler–Maruyama approximation of stochastic differential equations with irregular coefficients. Mathematics of Computation (2016) 85, no. 300, 1793–1819.
[57] H. L. Ngo, D. Taguchi. Strong convergence for the Euler-Maruyama ap- proximation of stochastic differential equations with discontinuous coef- ficients. Statistics and Probability Letters (2017) 125, 55–63.
[58] H. L. Ngo, D. Taguchi. Semi-implicit Euler Maruyama approximation for