Giả sử Glà nhóm Lie compact vàC∗(G) là C∗−đại số của G. Trong 1.3 chúng tôi đã sử dụng lý thuyết đồng điều của A. Connes để tính đặc trưng Chern không giao hoán củaC∗(G),đó là đẳng cấu
chC∗ : K∗(C∗(G)) −→ HE∗(C∗(G)).
Bây giờ, nếu chúng ta xem C∗(G) là đại số không có chuẩn. Khi đó, ta không thể áp dụng trực tiếp lý thuyết đồng điều của A. Connes để tính đặc trưng Chern. Do đó, cần phải có một cách xây dựng hoàn toàn không dùng chuẩn mà vẫn có kết quả như trong trường hợp của A. Connes đã đưa ra. Hai nhà toán học J. Cuntz và D. Quillen đã làm việc trên, bằng cách nghiên cứuX−phức và các dạng vi phân đại số để thay thế cho phức của A. Connes. Đây chính là nội dung của phần dùng đồng điềuHP hoàn toàn đại số, không dùng chuẩn và không lấy giới hạn theo chuẩn mà lấy giới hạn quy nạp theo hệ đại số ([44]).
Chúng tôi sử dụng cách xây dựng X− phức cho một đại số của J. Cuntz và D. Quillen ([44]) để tính đặc trưng Chern không giao hoán của C∗(G). Cụ thể, chúng tôi sẽ tính đặc trưng Chern
chalg : K∗alg(C∗(G)) −→ HP∗(C∗(G)).
Bổ đề 1.4.1. Giả sửGlà nhóm Lie compact, T là xuyến cực đại của Gvà {IN}N∈N
là một họ iđêan của C∗(G).Khi đó,
K∗(C∗(G)) = lim −→N
K∗(IN) =K∗W(C(T)).
Chứng minh. Vì{IN}N∈Nlà một họ iđêan đóng trongC∗(G),nênC∗(G) =lim −→IN, trong đó IN := N ∏ i=1 M atni(C). Mặt khác theo tính chất của C∗(G),ta có C∗(G) ∼= ∏′∞ i=1 M atni(C).
Khi đó, bằng phương pháp lấy giới hạn thuận trên họ các iđêan IN theo thứ tự bao hàm thì K∗(C∗(G)) được mô tả như sau
K∗(C∗(G)) ∼= K∗(∏′∞ i=1 M atni(C) ) = lim −→N K∗ (∏N i=1 M atni(C) ) = lim −→N K∗(IN). Vì IN := N ∏ i=1
M atni(C), nên theo Định lý 1.3.3 và tính chất ổn định của K− nhóm là K∗(A⊗Mn(C)) ∼= K∗(A), ta có lim −→N K∗(IN) = lim −→N K∗(∏N i=1 M atni(C)) ∼ = K∗(∏ λ (Cλ)) ∼ = K∗W(C(T)). Do đó, lim −→N K∗(IN) ∼= K∗(∏ λ (Cλ) ) ∼ = K∗W(C(T)),
vớiCλ = C được đánh số bởi các trọng trộiλcủa những biểu diễn bất khả quy tương ứng củaG. Vậy K∗(C∗(G)) ∼= lim −→N K∗(IN) ∼= KW ∗ (C(T)). Bổ đề được chứng minh.
Giả sửAlà đại số Banach có đơn vị (ký hiệu phần tử đơn vị làe= 1)vàA = A/C
là không gian véctơ thương của A. Khi đó theo [44] ta có
Ωn(A) = A⊗C A⊗C A⊗C ...⊗CA
= A⊗C A⊗n với n > 0 Ωn(A) = 0 với n < 0
Ω0(A) = A.
Ký hiệu phần tửx = (a0, a1, ..., an) là tạo ảnh của phần tửa0⊗a1⊗...⊗an trong
Ωn(A). Trên Ω(A) = ⊕
n≥0Ωn(A) ta định nghĩa phép cộng (+)và phép nhân (.)
(a0, a1, ..., an) + (b0, b1, ..., bn) = (a0+b0, a1 +b1, ..., an +bn) (a0, a1, ..., an)(b0, b1, ..., bn) = n ∑ j=0 (−1)n−j(a0, a1, ..., ajaj+1, ..., ak), ∀(a0, a1, ..., an) ∈ Ωn(A) và ∀(an+1, ...., ak) ∈ Ωk(A).
Khi đó, Ω(A) cùng với hai phép toán định nghĩa ở trên là một đại số ([44]). Bây giờ, ta xác định toán tử vi phân d bậc 1như sau
d : Ωn(A) −→ Ωn+1(A)
được xác định bởi
d((a0, a1, ..., an) = (1, a0, a1, ..., an).
Phần tử (a0, a1, ..., an) = a0da1...dan ∈ Ωn(A) được gọi là dạng vi phân không giao hoán n− chiều. Khi đó, trong [63] đã chứng minh được toán tử d có tính chất
d(ab) =dab+adb, ∀a, b ∈ A, và d2 = 0.
Từ cách định nghĩa trên, đại số Ω(A) = ⊕
n≥0Ωn(A) cùng với toán tử vi phân d
được gọi là đại số phân bậc các dạng vi phân không giao hoán trên đại sốA([44]). Nếu Ω(A) là đại số của những dạng vi phân trên A thì tích Fedosov trên Ω(A)
được xác định bởi:
ω1◦ω2 = ω1.ω2−(−1)|ω1|dω1dω2,
trong đó |ω1| = n nếu ω1 là thuần nhất n− chiều, và nói chung tích Fedosov xác định như trên có tính chất tuyến tính. Trong trường hợp đại số của những dạng vi phân trên A là Ω(A) giao hoán thì tích Fedosov trên Ω(A) có thể không giao hoán. Giả sử R là một đại số. Khi đó, ánh xạ ρ : A −→ R gọi là ánh xạ tuyến tính cơ sở, nếu ρ là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ A và R và ρ chuyển phần tử đơn vị của A thành phần tử đơn vị của R. Độ cong của ánh xạ tuyến tính cơ sở
ρ : A−→ R là ánh xạ song tuyến tính ω, xác định như sau:
Giả sử A là đại số có đơn vị, R là đại số, ρ : A −→ R là ánh xạ tuyến tính cơ sở và T(A) = ⊕
n≥0A⊗n là đại số tenxơ của không gian véctơ nền của A.
Chúng ta định nghĩa đại số thương của RA như sau:
RA = T(A)/T(A)(1T −1A)T(A),
trong đó 1T,1A tương ứng là phần tử đơn vị của T(A) và A.
Xét hợp thành ρb= πi,trong đó i là phép nhúng Avào trong T(A) và π là phép chiếuT(A)xuốngRA,khi đóρb: A−→ RAlà ánh xạ tuyến tính cơ sở. Đại sốRA
có tính chất của ánh xạ phổ dụng, nghĩa là với ánh xạ tuyến tính cơ sở ρ : A−→ R
tồn tại một đồng cấu λ : RA −→ R nângρbđến ρ(nghĩa là ρ = λρb).
Từ định nghĩa đại số RA trên, ta thấy RA chỉ phụ thuộc vào không gian véctơ nền A và phần tử đơn vị của nó. Do đó, nếu ta chọn một cơ sở của A chứa 1A thì
RA là đại số tự do sinh bởi những phần tử cơ sở khác nhau của A. Lý luận tương tự như trên, từ ánh xạ tuyến tính cơ sở ρb : A −→ RA tồn tại đồng cấu chính tắc
h : RA −→ A nâng ρbđến 1A (nghĩa là 1A = hρb) và giả sử IA là hạt nhân của đồng cấu chính tắc đó. Khi đó, chúng ta có thể mở rộng A = RA/IA mà ρblà ánh xạ nâng tuyến tính cơ sở. Rõ ràng, đây là một mở rộng phổ dụng mà công cụ chủ yếu là dùng phép nâng tuyến tính cơ sở củaA, khi đóRA là mở rộng phổ dụng của
A. Đại số RA xây dựng ở trên được gọi là đại số phổ dụng sinh bởi ánh xạ tuyến tính cơ sở của A ([44]).
Trong [44] J. Cuntz và D. Quillen đã xây dựng khái niệmX−phức củaC−đại số và dùng khái niệm tích Fedosov để xây dựng đặc trưng Chern đại số. Để tiện theo dõi chúng tôi nhắc lại khái niệm đó: Giả sử A là C− đại số đối hợp (không giao hoán), ta xét không gian của những dạng vi phân không giao hoán chẵn, Ω+(A) ∼= RA
cùng với tích Fedosov
ω1◦ω2 = ω1.ω2−(−1)|ω1|dω1dω2.
Xét iđêanIA:= ⊕
k≥0Ω2k(A),khi đó ta có mở rộng đại sốA ∼= RA/IA([63]).
ρ : A −→ M (trong đó M là đại số) có thể mở rộng duy nhất thành đạo hàm
D : RA −→ M. Khi đó, đạo hàm D : RA −→ M tương ứng với đồng cấu nâng
RA −→ RA ⊕M. Do vậy, có một sự tương ứng giữa đạo hàm D : RA −→ M
với ánh xạ tuyến tính ρ :A = A/C −→ M, xác định bởi a ∈ A 7−→ D(ρa).
Từ tính chất phổ dụng của Ω1(RA),chúng ta có đẳng cấu song môđun
RA⊗A⊗RA, −→∼= Ω1(RA)
x⊗a⊗x′ 7−→ xδ(ρa)x′
trong đó δ : RA −→Ω1(RA) là đạo hàm chính tắc ([44]).
Đặt Ω1(RA)♯ := Ω1(RA)/[Ω1(RA), RA], khi đó đẳng cấu trên cảm sinh một đẳng cấu trên không gian thương các toán tử
RA⊗A⊗RA −→∼= Ω1(RA)♯
x⊗x⊗a 7−→xδ(ρa).
Khi đó, theo trên ta có đẳng cấu
ϕ : Ω1(RA) −→∼= RA
(a0da1da2...da2n) 7−→ρ(a1)ω(a1, a2)....ω(a2n−1, a2n).
Do vậy, kết hợp hai đẳng cấu trên cho ta một đẳng cấu:
ϕ : Ω−(A) =⊕ k≥ Ω2j+1(A) −→=∼ Ω1(RA)♯ ϕ(xda) 7−→ ϕ(x)δ(ρa) nghĩa là: ϕ(a0da1da2...da2n+1) =ρ(a1)ω(a1, a2)....ω(a2n−1, a2n)δ(ρa2n+1).
Từ không gian của những dạng vi phân không giao hoán RA, trong [44] người ta đã xây dựng phức Z/(2)−phân bậc của RA, ký hiệu làX(RA) như sau:
RA Ω1(RA)♯ := Ω1(RA)/[Ω1(RA, RA)],
trong đó vi phân δ là đạo hàm chính tắcδ : RA −→ Ω1(RA), vi phân ϕ được cảm sinh bởi đẳng cấu:
ϕ : Ω1(RA) −→∼= RA xdy 7−→ [x, y].
Như vậy, chúng ta có một đẳng cấu không gian véctơ Z/(2)− phân bậc
ϕ : Ω1(RA) −→∼= RA.
Do đó, theo [44] ta có:
Ω−(A) ∼= RA⊗A∼= Ω1(RA)♯ := Ω1(RA)/[(Ω(RA), RA)].
Bây giờ ta có thể đồng nhất cấu trúc trên phức X(RA) gồm một tích trên RA,
một đối chu trình♯(xδy)trênRAnhận giá trị trongΩ1(RA)♯ là những dạng vi phân trên Ω(A). Khi đó, tương ứng với tích Fedosov là tích
x◦y = xy −dxdy
trên những dạng vi phân chẵn.
Ký hiệu♯(xδy)là1−đối chu trình trên những dạng chẵn nhận giá trị trong những dạng lẻ làxδy.Khi đó1−đối chu trình trênΩ+(A)được tương ứng với tích Fedosov
xδ(y ◦z) = (x◦y)δz+ (z◦x)δy,
do đó: xδa = xdavới x ∈ Ω+(A), a ∈ A.
Giả sử toán tử β : Ω−(A) −→ Ω+(A) tương ứng với vi phân b trong X(RA),
được định nghĩa bởi:
β(xda) = x◦a−a◦x = xa−ax−dxda+dadx
= b(xda) + (1 +k)d(xda)
trong đó k(da1.da2....dan) := dandan−1....da1,suy ra
β = −b+ (1 +k)d.
Theo cách tính của J. Cuntz và D. Quillen [44], nếu y ∈ Ω2n(A), thì
xδy = −( n−1 ∑ j=0 kaj ) b(x◦y) + (2∑n−1 j=0 kj ) dxy + (∑2n j=0 kj ) dxy.
Bằng cách đặt x = 1và với d là vi phân trongX(RA), ta có toán tử δ(y) = −( n−1 ∑ j=0 k2j ) by + (∑2n j=0 kj ) dy = −Nk2by+ By trong đó Nk2 = n∑−1 j=0 k2j trên Ω2n(A).
Định lý 1.4.2. ([48]) Tồn tại một đẳng cấu của Z/(2)− phức phân bậc
ϕ : RA = Ω+(A)⊕Ω−(A) ∼= RA⊕(RA)♯
sao choϕ : Ω+(A) ∼= RA, được xác định bởi
ϕ(a0da1....da2n) = ρ(a1)ω(a1, a2)...ω(a2n−1, a2n)
và ϕ : Ω−(A) ∼= Ω1(RA)♯, được xác định bởi
ϕ(a0da1....da2n+1) = ρ(a1)ω(a1, a2)...ω(a2n−1, a2n)δ(a2n+1).
Với sự đồng nhất đó thì tích trong RA chính là tích Fedosov trên những dạng vi phân chẵn và những dạng vi phân trên X− phức
X(RA) : RA ∼= Ω+
(A) −→ Ω1(RA)♯ ∼= Ω−(A) −→ RA
và những toán tử trên được xác định:
β = b−(n+k) : Ω−(A) −→ Ω+(A) δ = −Nk2b+β : Ω+(A) −→ Ω+(A) trong đóNk2 = n∑−1 j=0 k2j và k(da1, da2, ...., dan) := dandan−1....da1.
Giả sử IA là iđêan của những dạng vi phân không giao hoán chẵn RA có chiều lớn hơn hoặc bằng 2. Khi đó theo tính chất phổ dụng của Ω1,ta có:
Ω1(RA/IA) = Ω1(RA)/((IA)Ω1(RA) + Ω1(RA).((IA) +dIA).
Nhưng Ω1(RA) = RAd(RA) =d(RA).(RA), do vậy:
Ω1RA(IA) ∼= IAΩ1RA modulo[RA,Ω1RA],
Ta có IA−adic RA/(IA)n+1, khi đó phức thương của X(RA) được cho bởi:
χ(RA/(IA)n+1) : Ω1RA/([RA,Ω1RA] + (IA)n+1dRA+d(IA)n+1)
−→ RA/(IA)n+1.
Chúng ta xác định phức
χ2n+1(RA, IA) : RA/(IA)n+1
−→ Ω1RA/([RA,Ω1RA] + (IA)n+1dRA+d(IA)n+1)
−→ RA/(IA)n+1
χ2n(RA, IA) : RA/((IA)n+1+ [RA,(IA)n])
−→ Ω1RA/([RA,Ω1RA] +d(IA)ndRA)
−→ RA/((IA)n+1+ [RA,(IA)n]).
Khi đó, những dạng vi phân ở trên là những dạng vi phân trong không gian thương và do đó b((IA)ndIA) = [(IA)n, IA] ⊂ (IA)n+1, d(IA)n+1 ⊂ n ∑ j=0 (IA)jd(IA)(IA)n−j ⊂ (IA)ndIA+ [RA,Ω1RA]. Mặt khác χ1(RA, IA) = X(RA/IA), χ0(RA, IA) = X(RA/IA)♯,
Do vậy, ta có một dãy những ánh xạ giữa những song phức
... −→ X(RA/IA) −→ χ2n+1(RA, IA) −→ −→ χ2n+1(RA, IA) −→ X(RA/IA) −→...
Khi đó ta có giới hạn ngược
b
X(RA, IA) := lim←−X(RA/(IA)n+1)
= lim←−χn(RA/IA). Bổ đề 1.4.3. ([44]) Với những sự đồng nhất trong Định lý 1.4.2, thì Xq = ΩA/FqΩA, b X(RA/IA) = ΩbA. Định lý 1.4.4. ([44]) Với những sự đồng nhất trong Định lý 1.4.2 và Bổ đề 1.4.3, thì: HiXb(RA, IA) = HPi(A).
Bổ đề 1.4.5. Giả sửGlà nhóm Lie compact, T là xuyến cực đại của Gvà {IN}N∈N
là một họ iđêan của C∗(G)).Khi đó
lim
−→HP∗(IN) ∼= HP∗(C(T)).
Chứng minh. Lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 1.4.1 và kết hợp với tính đối ngẫu của Pontryagin ta có
HP(IN) = HP(∏ λ Cλ ) ∼ = HP∗W(C(T)),
trong đó, Cλ = C được đánh số bởi các trọng trội λ của những biểu diễn bất khả quy tương ứng của G.
Do vậy
lim
−→HP∗(IN) ∼= HP∗(C(T)).
Giả sử A là đại số Banach đối hợp. Khi đó nhóm Grothendick K0(A) là nhóm Aben sinh bởi phần tử [e],trong đó e là ma trận lũy đẳng trên A thỏa mãn các điều kiện ([44])
a) [e] = [e′] nếu e′ = geg−1 trong Mn(A)
b) [e] = 0 nếu elà ma trận không trong Mn(A)
c) [e⊕e′] = [e]⊕[e′].
Khi đó vớie là phần tử lũy đẳng ở trong A, ta có
ede = de(1−e) và dee = (1−e)de.
suy ra
tr(ede) =tr(e2de) = tr(ede(1−e)) = tr((1−e)ede) = 0.
Tương tự, tr((1−e)de) = 0, với tr(de) = 0.
Trong nhóm K1(A), vớig là một ma trận khả nghịch trênA,giả sử [g] ∈ K1(A)
là lớp tương đương và xét ma trận 1− dạngg−1dg với vết tr(g−1dg) ∈ Ω1(A).
Từ đó
tr((g1g2)−1d(g1g2)) = tr(g2−1g1−1+g2−1dg2) = tr(g1−1dg1) +tr(g2−1dg2).
Bổ đề 1.4.6. ([44]) Giả sử Alà đại số Banach đối hợp vàelà ma trận lũy đẳng trên
A. Khi đó, ma trận lũy đẳnge nâng thành một ma trận lũy đẳng trên RA,d ma trận lũy đẳng ở trong RAd là duy nhất với độ chính xác đến liên hợp.
Giả sử elà ma trận lũy đẳng trên A và eelà dạng khai căn của e trong phép nâng của Bổ đề 1.4.6. Khi đó, phần tửz = 2x−1, vớixlà nâng của etrongRA,d (z2)−12 được xác định bởi chuỗi nhị thức
(z2)−12 = 1−(1−z2))−12 = ∑
n≥0
(2n−1)!!
2n.n! (1−z2)n,
trong đó (2n−1)!! = 1.3.5....(2n−1).
Vì z = 2x−1suy ra 1−z2 = 1−(2x−1)2 = 4(x−x2). Vậy ta có bổ đề sau. Bổ đề 1.4.7.([44]) Choelà ma trận lũy đẳng trongMn(A),giả sửx ∈ Mn(RAd) là
nâng của e.Khi đó e e = x+ (x− 1 2) ∑ n≥1 2n(2n−1)!! n! (x−x2)2n
là nâng củae thành một ma trận lũy đẳng trong Mn(RAd).
Theo J. Cuntz và D. Quillen ([44]) ta có ánh xạ cộng chính tắc
K0(A) −→ H0(X(RAd)) = HP0(A)
[e]7−→ tr[ee].
Do vậy, với g ∈ GLn(A) ta đặt tương ứng với một phần tử p∈ GL(RAd)và một
phần tử g−1 ta đặt tương ứng một phần tử q ∈ GLn(RAd). Khi đó đặt x = 1 −pq và y = 1−qp. Thế thì tr(g−1dg) = tr(1−x)−1d(1−x) = d(tr(log(1−x))) = −tr (∑∞ n=0 xndx ) ∈ Ω1(A)♯. Vậy ta có ánh xạ K1(A) −→ HH1(A) = H1(X(RAd)) = HP1(A), [g] 7−→ tr(g−1dg).
Định nghĩa 1.4.8. Giả sửHP∗(In) là đối đồng điều cyclic tuần hoàn định nghĩa bởi J. Cuntz và D. Quillen (xem [44]). Khi đó tương ứng
K∗alg(C∗(G)) ⊗∪
n
HP∗(In) −→ C,
xác định một đặc trưng Chern không giao hoán
chalg : K∗alg(C∗(G)) −→ HP∗(C∗(G)),
trong HP∗− nhóm. Đặc trưng Chern không giao hoán chalg được gọi là đặc trưng không giao hoán đại số của C∗(G).
Định lý 1.4.9. Giả sử G là nhóm Lie compact, T là xuyến cực đại của G. Khi đó đặc trưng Chern không giao hoán đại số
của C∗(G) là một đẳng cấu và chalg có thể đồng nhất với đẳng cấu Chern
ch : K∗W(C∗(T)) −→ HP∗W(C∗(T)).
Chứng minh. Giả sử {IN}N∈N là một họ iđêan trong C∗(G), và C∗(G) = lim−→IN,
trong đó IN =
N
∏
i=1
M atni(C). Khi đó K∗(C∗(G)) được mô tả như sau:
K∗(C∗(G)) ∼= K∗(lim −→ N ∏ i=1 M atni(C) ) = lim−→K∗ (∏N i=1 M atni(C) ) ∼= K∗(∏ λ Cλ ) = K∗W(C(T))
trong đó, Cλ = C được đánh số bởi các trọng trội λ của những biểu diễn bất khả quy tương ứng của G.
Tương tự đối với HP∗(C∗(G)) ta có
HP∗(C∗(G)) ∼= HP∗(lim −→ N ∏ i=1 M atni(C) ) = lim−→HP∗ (∏N i=1 M atni(C) ) ∼ = HP∗(∏ λ Cλ ) = HP∗W(C(T))
trong đó, Cλ = C được đánh số bởi các trong trội λ của những biểu diễn bất khả quy tương ứng của G. Ngoài ra, theo kết quả của J. Cuntz và D. Quillen ([44]) với
A là C∗− đại số trơn, tồn tại đẳng cấu chính tắc từ đồng điều cyclic tuần hoàn của
A đến đồng điều Z/(2)− phân bậc de Rham củaA.
Mặt khác vì C(T) là đại số giao hoán. Do đó, theo T. Watanabe ([61], [62]) ta có đẳng cấu
K∗W(C(T)) ∼= HPW
∗ (C(T)).
Khi đó, theo B. V. Fedosov ([16]) và tính chất bất biến Morita ([58]), ta có sơ đồ giao hoán K∗(C∗(G)) −−→η KW ∗ (C(T)) chalg y ch y HP∗(C∗(G)) −−→δ HPW ∗ (C∗(G))
trong đó η, δ, ch là những đẳng cấu. Vậy
chalg = δ−1 ◦ch◦η : K∗(C∗(G)) −→ HE∗(C(T))
1.5 Kết luận Chương 1
Những kết quả chính của Chương 1 là
i) Chứng minh đặc trưng Chern không giao hoán của C∗(G) là một đẳng cấu
chC∗ : K∗(C∗(G)) −→ HE∗(C∗(G)).
Đẳng cấu chC∗ có thể đồng nhất với đẳng cấu Chern
ch :K∗W(C(T)) −→ HE∗W(C(T)),
trong đó T là xuyến cực đại của G,C(T) là đại số của những hàm liên tục trên T
và nhận giá trị phức,W là nhóm Weyl của G(Định lý 1.3.3).
ii) Chứng minh đặc trưng Chern không giao hoán đại số của C∗(G) là đẳng cấu
chalg : K∗alg(C∗(G)) −→ HP∗(C∗(G)),
và đẳng cấuchalg có thể đồng nhất với đẳng cấu Chern
ch : K∗W(C(T)) −→HP∗W(C(T)) (Định lý 1.4.9). Các kết quả trên đã được công bố trong [11] và [57].
Chương 2
Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm lượng tử compact
Giả sử G là nhóm Lie compact và C∗(G) là C∗− đại số của nhóm G. Trong Chương 1 chúng tôi đã chứng minh được đặc trưng Chern không giao hoán của
C∗(G)
chC∗ : K∗(C∗(G)) −→ HE∗(C∗(G))