Tỡm kiếm trờn cõy 2-3-4

Ch−ơng 3 Cõy đỏ đen

3.3.2.Tỡm kiếm trờn cõy 2-3-4

3.3. Cây 2-3-4

3.3.2.Tỡm kiếm trờn cõy 2-3-4

Giả sử chỳng ta cần tỡm nỳt có khóa x. Chúng ta xt phát từ gốc của cõy, và đi theo nhỏnh cõy thớch hợp. Giả sử ta đang ở đỉnh B. Nếu đỉnh B là lỏ thỡ ta phải tỡm trong nỳt B xem có khóa x hay khơng.

Nếu B là đỉnh trong chứa cỏc khúa k0, k1,..., kr r ∈ {0, 1, 2} thì ta cần xỏc định vị trớ của x trong dãy khóa nàỵ Thí dơ nếu x < k0 thì ta tìm x trờn cõy con nằm bờn trỏi k0, nếu ki-1< x < ki thỡ ta tỡm x trờn cõy con nằm giữa ki-1 và ki, còn nếu kr < x thỡ ta tỡm x trờn cõy con nằm bờn phải kr.

3.3.3. Thờm khúa vào cõy 2-3-4

Khi thêm một khóa x vào cõy thỡ chỳng ta phải ỏp dụng thủ tục tỡm kiếm để tỡm ra nỳt B cần phải xen và Nếu khúa x đà tồn tại trờn cõy thỡ ta khụng thờm nữa, vỡ cỏc khúa trờn cõy phải duy nhất, khụng đợc lặp lạ Ta cú thể thấy rằng thủ tục thờm nỳt luụn luụn có thĨ đ−ỵc thực hiƯn ở nỳt lỏ. Thật vậy, vỡ nỳt x ch−a cú trờn cõy nờn xuất phỏt từ nỳt gốc ta sẽ đi theo con đ−ờng đi qua cỏc nỳt trong để đến một nỳt lỏ nào đú. Tại một nỳt trung gian ta luụn cú hoặc là x < k0 trong đó k0 là khóa nhỏ nhất trong đỉnh đú, khi này ta đi theo nhỏnh cõy con nằm bờn trỏi khúa k0 . Nếu x > kr trong đó kr là khúa lớn nhất trong nỳt đú, khi này ta đi theo nhỏnh cõy con nằm bờn phải khúa kr. Nếu ki-1< x < ki thỡ ta đi theo cõy con nằm giữa ki-1 và ki. Vậy thao tỏc thờm nỳt luụn đợc thực hiện ở một nỳt lỏ nào đú đợc xỏc định bởi x. Giả sử ta đến nút lá B. Ta thực hiƯn viƯc chèn nút x nh− sau:

• Nếu nút lá B ch−a đầy thỡ chỳng ta chốn khúa x vào nỳt này theo thao tỏc chốn nỳt vào danh sỏch sắp thứ tự.

• Nếu nỳt B đà đầy, tức là cú 3 khúa, nếu ta thờm khúa x thỡ nỳt B bị tràn. Giả sư cùng với x ta có các khóa mới trong nút B là k0’, k1’, k2’, k3’, Ta tách nút B thành 2 nút, nút đầu cú cỏc khúa k0’, k1’ nút thứ 2 B chứa 1 khoỏ là k3’ cịn khóa k2’ sẽ đ−ợc chốn vào nút cha cđa B cùng với nút B là con bờn phả Nếu nỳt cha bị đầy ta lại thực hiện t−ơng

20 40 5 10 30 45 55 65 70 2 4 15 25 35 42 47 49 52 60 63 68 72 95 75 85 50 7 78

Cấu trúc dữ liƯu2 – Ch−ơng 3. Cõy đỏ đen

tự nh− với nút B. Nh− vậy viƯc tách nút có thĨ lan trun tới gốc và nỳt gốc cú thể bị tỏch làm 2 và gốc mới đợc tạo r Đõy chớnh là cỏch duy nhất để cõy 2-3-4 cú thể tăng chiều cao: nú lớn lờn từ lỏ đến gốc.

Vớ dụ: Xột cõy 2-3-4 sau đõy:

Hình 3.5 Thêm khóa 22 vào

cây 2-3-4

1. Giả sư ta phải thờm khúa 22 vào cõ Nỳt A khụng cú khúa 22 và ta tiếp tục tỡm kiếm trên nút C. Nỳt C là nỳt lỏ cuối cựng trờn đờng tìm kiếm khóa 22, do vậy ta sẽ thực hiƯn viƯc chèn khúa 22 ở đõ

2. Tuy nhiờn nỳt C đà đầy, do đú ta tỏch nỳt C thành 2 nỳt và ta cú thờm nỳt mới là D. 3. Khóa 30 đ−ợc chuyển lờn nỳt ch Đồng thời ta đặt mối liờn kết từ nỳt cha xuống nút D.

3.3.4. Loại bỏ khóa trờn cõy 2-3-4

Về nguyờn tắc, việc loại bỏ nỳt trờn cõy hoàn toàn đơn giản nhng phức tạp trong chi tiết thực hiện. Để loại bỏ một khúa x, tr−ớc hết ta tỡm kiếm trờn cõy để xỏc định vị trớ của khúa x. Việc tiến hành loại bỏ dĩ nhiờn chỉ đ−ợc thực hiện khi thao tỏc tỡm kiếm cú kết quả. Cú 2 tỡnh huống sau:

(1) Phần tư cần loại bỏ ở nỳt lỏ: việc loại bỏ phần tử này đợc thực hiện khỏ dễ dàng nh− loại bỏ phần tử trờn danh sỏch.

(2) Phần tử cần loại bỏ nằm ở nỳt trung gian. Lỳc này ta khụng thể loại bỏ trực tiếp phần tử trờn nỳt này, vỡ phần tử này cũn cú cỏc cõy con liờn quan. Ta phải tỡm một phần tử khỏc nằm ở nỳt lỏ làm phần tử thay thế, nghĩa là giỏ trị khúa của phần tử thay thế sẽ đ−ợc gỏn cho giỏ trị khúa của phần tử cần xúa, sau đú phần tư thay thế đ−ợc loại bỏ khỏi nỳt lỏ chứa nó. Ta thấy phần tư thay thế phải là phần tử cực phải của nhỏnh cõy con trỏi hoặc nỳt cực trỏi của nhỏnh cõy con phải của phần tử cần xóạ Chúng ta sẽ quy −ớc chọn phần tư cần thay thế là phần tử cực phải trờn nhỏnh cõy con trỏ

Vậy trong mọi trờng hợp ta đều đ−a về tr−ờng hợp xúa khúa trờn nỳt lỏ. Nh− vậy ta chỉ cần nghiờn cứu tr−ờng hợp này:

Giả sử nỳt lỏ cú khúa cần xúa là nỳt Z. Ta xét 2 tr−ờng hỵp sau:

(a) Nút Z có nhiỊu hơn 1 khú Lỳc này ta chỉ cần xúa khúa x trờn Z và kết thúc.

(b) Nếu Z chỉ cú một khúa x. Giả sử nỳt cha là F và nút Z có nút lỏng giềng (cựng mức) bờn trỏi là L. Giả sử khúa f trong nút F là khóa cha cđa nút L và Z. Lúc này sau khi xóa x nút Z thành rỗng và do đú khúa f khụng cú con phả Ta đ−a khúa f xuống nỳt L. ở đõy ta lại gặp 2 tình huống: 20 7 10 15 26 30 35 20 30 7 10 15 22 26 35 A B C A B C D

http://www.ebook.edụvn

Cấu trúc dữ liƯu2 – Chơng 3. Cõy đỏ đen

51 - Nếu nút L ch−a đầy thỡ ta phải cõn bằng lại nỳt F, quỏ trỡnh cõn bằng cú thể lan truyền

đến gốc và cú thể nỳt gốc bị loại bỏ: cõy đà thấp xuống. Đõy chớnh là cỏch duy nhất để cõy 2-3-4 giảm chiỊu caọ

- Nếu nút L đầy thỡ sẽ đợc tỏch làm hai và có một nút đ−ợc chốn vào nỳt F thay thế khóa f. Thực chất khúa này chớnh là khúa cực phải của L khi ch−a đ−a nút cha xng, cịn khóa f sẽ là khúa của nỳt đợc tỏch r

Ví dụ: Ta xột cõy sau đõy:

Hình 3.6. Xóa khóa 32 trờn cõy 2-3-4 Giả sư ta cần xóa khóa 32. Nút chứa khóa 32 khụng phải nỳt lỏ, vỡ vậy ta phải tỡm một khóa thay thế. Theo quy −ớc, nỳt cực phải trờn cõy con trỏi của khúa 32 là khúa 30. Ta đ−a giỏ trị khúa 30 vỊ vị trí cđa khóa 32 rồi xóa khóa 30 trờn nỳt lỏ chứa nú và nhận đ−ỵc cây mới nh− sau:

Hình 3.7. Cây sau khi xóa khóa 32 Ta nhận thấy nút F ở trong tỡnh trạng cạn kiệt. Ta sẽ xúa nút F, đồng thời chun khóa 26 xng nút Ẹ Ta đợc kết quả sau Hình 3.8. Cân bằng lại nút F 30 20 26 38 44 B 7 10 15 22 24 34 36 40 42 46 48 A C F D E I J K 32 20 26 38 44 B 7 10 15 22 24 30 34 36 40 42 46 48 A C F D E I J K 30 20 38 44 B 7 10 15 34 36 40 42 46 48 A C F D E I J K 22 24 26

Cấu trúc dữ liƯu2 – Ch−ơng 3. Cõy đỏ đen (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bõy giờ cõy đà cõn bằng.

3.3.5. Phõn tớch cỏc thuật toỏn trờn cây 2-3-4

Cũng nh− cõy nhị phõn tỡm kiếm, khi chốn một khúa x vào cõy hay tìm kiếm một khóa x trong cõy, ta xuất phỏt từ gốc và luụn đi theo đờng cha - con (tức là khơng có tr−ờng hợp nào ta duyệt nhiều hơn một cõy con của một nỳt nào đú). Nếu là thao tỏc chốn thỡ ta luôn luôn dừng ở một nút lá. Trong tr−ờng hợp này nếu độ cao của cõy là h thỡ ta phải duyệt qua h+1 nút (vì nút gốc đ−ỵc quy −ớc là cú độ cao 0). Bài toỏn đặt ra là: giả sử cõy cú n khúa, khi đú ta phải duyệt qua bao nhiêu nút trong tr−ờng hỵp xấu nhất? Bài toỏn này cũng tơng đơng với bài tốn sau: cho n khóa, hÃy xỏc định chiều cao lớn nhất của của cõy 2-3-4 tạo từ n khúa nà Ta thấy rằng cây cao nhất là cõy cú số khúa tối thiểu trong mỗi nút. Xét tr−ờng hợp n nhận một giỏ trị thớch hợp, ta thấy rằng số khúa tối thiểu trờn mỗi nỳt là một, do đú số con của một nỳt là 2. Nh− vậy ta thấy rằng mức 0 có 1 nút, mức 1 có 2 = 21, ... mức i có 2i nút. Và nh− vậy cây có chiỊu cao h sẽ có 1+2 + 22 +... +2h = 2h+1 - 1 nỳt. Tuy nhiờn vỡ mỗi nỳt chỉ chứa một khóa nên tỉng số nút cịng là tỉng số khóạ Nh− vậy ta có hệ thức 2h+1 - 1. Kết quả này thực ra có thĨ suy ra dƠ dàng, vỡ cõy 2-3-4 mà mỗi nỳt chỉ cú một khúa chớnh là cõy nhị đầy đủ hay là cõy nhị phõn cõn bằng hoàn toàn. Nh− vậy số nút cần dut nhiỊu nhất trong quỏ trỡnh chốn khúa là h+1 = log2(n+1). Ta hãy xét tr−ờng hợp tốt nhất mà cõy 2-3-4 cú thể đạt tới: cõy cú chiều cao thấp nhất trong cỏc cõy 2-3-4 cú n nút. Ta thấy rằng cây thấp nhất khi tất cả cỏc nỳt chứa tối đa số khóạ Lúc này tỉng số nỳt trong cõy là: mức 0 cú 1, mức 1 có 4, ..., mức i có 4i nút. Nh− vậy cây chiỊu cao h có 1+ 4 + 42 + ... + 4h = 1 4 1 4 1 − − + h = 3 1 4h+1 − nút

Vỡ mỗi nỳt chứa 3 khúa nờn tổng số khoỏ là n =

3 1 4h+1 −

* 3 = 4h+1 -1. Từ đõy ta cú h+1 = log4(n+1). Tuy nhiên có thể thấy rằng trờn mỗi nỳt ta phải so sỏnh với 3 khúa, nờn nếu gọi k là số phép so sỏnh trung bỡnh cần thực hiện trờn mỗi nỳt, và gọi tổng số phộp so sỏnh là p, ta có k*log4(n+1) ≤ p ≤ log2(n+1). Nói chung ta ln ln có: log4(n+1) ≤ p ≤ log2(n+1). Từ đõy ta có thĨ kết ln là phộp chốn và phộp tỡm kiếm trờn cõy 2-3-4 chứa n khúa khụng bao giờ

dut nhiỊu hơn log2(n+1) nút. Vậy cỏc phộp toỏn này cú độ phức tạp tớnh toỏn là log2n.

Có thể thấy rằng việc cài đặt cõy 2-3-4 với cỏc thao tỏc tỡm kiếm hay chốn, xúa khụng khú khăn lắm. Tuy nhiờn nh−ỵc điểm của cõy này là tốn bộ nhớ. Cho dự cỏc nỳt trờn cõy cú thể chỉ l−u trữ một khúa thỡ ta luụn phải dành sẵn vị trớ cho 3 khúa và 4 con trỏ. Chớnh vỡ lẽ này ng−ời ta đà xõy dựng một cõy tơng đ−ơng vỊ tốc độ tỡm kiếm và chốn, nh−ng lại tốn ít bộ nhớ hơn, đú là cõy đỏ đờn mà chỳng ta sẽ khảo sỏt trong mục saụ

3.4. Cõy đỏ đen (Red-black tree)

3.4.1. Định nghĩa

Ta cú thể chuyển một cõy 2-3-4 thành một cõy nhị phõn bằng cỏch biến đổi nh− sau: - Đối với nút có 2 con thỡ giữ nguyờn.

- Với nút có 3 con ta chun nh− sau: 1 2 2 1 Đen Đỏ 2 1 Đen Đỏ Hoặ c

http://www.ebook.edụvn

Cấu trúc dữ liƯu2 – Ch−ơng 3. Cõy đỏ đen

53 - Với nút có 4 con ta chun nh− sau:

Hỡnh 3.9. Chuyển đổi cõy 2-3-4 sang cõy đỏ đen Từ định nghĩa cõy 2-3-4 ta suy ra định nghĩa cõy đỏ đen nh− sau:

Cõy đỏ đen là một cõy nhị phõn tỡm kiếm (BST = Binary Search Tree) thỏa mÃn cỏc điều kiện sau:

- Các nút là đỏ hoặc đen.

- Cỏc nỳt lỏ rỗng đỵc quy ớc là đen.

- Khụng cú 2 nỳt đỏ kề nhau (nh− vậy nếu nỳt cha là đỏ thỡ cỏc nỳt con phải là đen. - Số l−ợng nỳt đen trờn mọi đ−ờng dẫn từ gốc đến lỏ phải bằng nha

3.4.2. Sự t−ơng đơng giữa cõy đỏ đen và cõy 2-3-4

Nh− ta đà thấy, từ một cõy 2-3-4 ta cú thể xõy dựng cõy đỏ đen t−ơng ứng. Ng−ỵc lại từ một cõy đỏ đen ta cũng cú thể tạo ra cõy 2-3-4 t−ơng đ−ơng với nú. Cỏc thao tỏc tỡm kiếm, thờm nỳt, xúa nỳt trờn cõy 2-3-4 đ−ợc thực hiện khỏ dễ dàng và trực quan. Ta có thĨ chun các thao tác này thành cỏc thao tỏc đổi màu một nỳt và xoay cõy trờn cõy đỏ đen. Cỏc thao tỏc này khú cài đặt hơn cỏc thao tỏc trờn cõy 2-3-4. Vỡ cõy 2-3-4 là cõn bằng, do đú ta cũng suy ra rằng cõy đỏ đen là cõn bằng. Hơn nữa ta cú thể tớnh đợc giới hạn tối đa của chiều cao cõy đỏ đen cú n nút nh− sau:

Vỡ số nỳt đen từ gốc đến nỳt lỏ bất kỳ đều luụn bằng nhau, ngoài ra khụng cú hai nỳt đỏ kề nhau, do đó số nút đỏ trong đ−ờng đi từ gốc nhiều nhất là bằng số nút đen. Nh− vậy chúng ta có thĨ thấy rằng đờng đi dài nhất từ gốc đến nỳt lỏ khụng thể gấp quỏ 2 lần so với đờng đi ngắn nhất. Nh− vậy nếu cây có n nỳt thỡ chiều cao tối đa của cõy là 2log2(n+1). Cõy đỏ đen tơng đ−ơng với cây 2-3-4. Cây 2-3-4 nh− ta sẽ thấy, là một tr−ờng hợp riờng của B-cõy, do đú chỳng ta sẽ khụng nghiờn cứu cỏch cài đặt cõy đỏ đen tổng quỏt. Chỳng ta sẽ xem xột và cài đặt một tr−ờng hợp đặc biệt của cõy đỏ đen là cõy cõn bằng chiều ca Cõy này cõn bằng hơn cõy đỏ đen tổng quỏt, và cú chiều cao cõy xấp xỉ là log2n.

3.5. Cây cân bằng chiỊu cao (Height balanced tree)

Một trờng hợp đặc biệt của cõy đỏ đen là cõy cõn bằng chiều cao hay cũn gọi là cõy AVL do hai nhà toỏn học Xụ Viết là Adelson Velsky và Landis phỏt minh ra vào năm 1962. Cõy AVL đ−ợc xem là cấu trỳc dữ liệu nổi tiếng nhất và cổ điển nhất trong cỏc cõy cõn bằng.

ViƯc thêm nút hay xúa nỳt trờn cõy nhị phõn AVL sẽ đ−ỵc thực hiện nh− trờn cõy nhị phõn tỡm kiếm. Tuy nhiờn sau mỗi lần chốn hoặc xúa thỡ cõy cú thể mất cõn bằng và ta phải thực hiện thao tỏc xoay cõy để cõn bằng lạ Cỏc thao tỏc tỡm kiếm, chốn và xúa nỳt trờn cõy AVL chỉ xấp xỉ O(log2n). Sau đõy chỳng ta tỡm hiểu cỏc thao tỏc cõn bằng lại cõ

3.5.1. Thao tỏc xoay cõy nhị phõn

Sau khi chèn hc xóa nỳt trờn cõy nhị phõn AVL, cú thể cõy sẽ mất trạng thỏi cõn bằng. Trong tr−ờng hợp này chỳng ta phải thực hiện thao tỏc xoay trỏi (rotateleft) hoặc xoay phải

1 2 3 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

1 Đen

Cấu trúc dữ liƯu2 – Ch−ơng 3. Cõy đỏ đen

(rotateright) để cõn bằng lại cõ Để xoay trỏi cõy nhị phõn cú nỳt gốc là P , yờu cầu là nút P phải có nút con bờn phải Q. Sau khi xoay trái nút P quanh nút con phải Q cđa nó, nút Q trở

thành nỳt gốc mới của cõy, nỳt P trở thành nỳt con bờn trỏi của nút Q (còn nút con trái cđa

Q sẽ thành nỳt con phải của P).

Hình 3.10. Xoay trái cõy nhị

phân.

Thao tỏc xoay phải cũng đ−ỵc thực hiện t−ơng tự khi thay nỳt con phải bằng nút con tráị

Nhận xét vỊ phép xoay cây:

Có thể thấy rằng khi một cõy bị lệch phải thỡ ta hy vọng bằng phép xoay trái nút gốc quanh con phải cđa nó sẽ làm cho cõy khụng cũn lệch phải nữ Từ hỡnh 3.10 ta có thể thấy rằng phép xoay thực sự đạt đợc hiệu quả nếu cõy a và cõy b đều ngắn hơn cõy c, nghĩa là P và Q cùng lƯch phảị Nếu Q lƯch trỏi chiều với P thỡ th−ờng ta phải quay phải Q rồi sau đú mới quay trái P.

3.5.2. Chỉ số cõn bằng (balance factor) của một nỳt trờn cõy AVL

Để cú thể xỏc định vị trớ để xoay lại cõy, tại mỗi nút ta sẽ l−u trữ thờm thụng tin về tớnh cõn