III. Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách, tính thể tích
3.1.Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), Gv định hướng và rèn luyện cho học sinh thực hiện theo các bước sau
B1. Xác định hình chiếu vng góc H của M trên (P). B2. Tính độ dài MH. Khi đó MH = d(M,(P)).
Ngồi ra Gv cần lưu ý với học sinh một số kết tính chất
- Nếu MN // (P) thì d(M,(P)) = d(N, (P)).
Nếu a / /( P) thì d a,( P) d A,( P) , A a .
Nếu (P) // (Q) thì d P , Q d A, Q d B, P , A P , B Q .
- Nếu M là đỉnh của hình chóp và (P) chứa đáy của hình chóp thì H chính là
chân đường cao của hình chóp, và d(M,(P)) bằng độ dài đường cao của hình chóp.
Đặc biệt: Nếu M là đỉnh của hình chóp đều và (P) chứa đáy của hình chóp thì H trùng với tâm đa giác đáy.
Nếu M là đỉnh O của tứ diện vng OABC thì H là trực tâm tam giác ABC và
1 1 1 1 .
OH2 2 2 OC 2
OA OB
- Nếu M là đỉnh của tứ diện trực tâm thì H là trực tâm của mặt đối diện.
- Nếu M là đỉnh của hình chóp có mặt bên vng góc với đáy thì H là chân đường cao kẻ từ M của mặt bên đó.
- Nếu AB P O thì d A, P OA.
d B, P OB
Đặc biệt:
Nếu B là trung điểm của OA thì d A,( P) 2d B,( P) .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Trích đề thi ĐH khối D - 2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vng, tam giác A’AC vng cân, A ' C a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a .
Lời giải.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng có đáy là hình vng nên
BC ABB' A' BCD' ABB' A' .
Trong mp(ABB’A’), dựng AK vng góc với BA’ tại K thì
AK BCD ' d A, BCD ' AK ACA ', A '
C a 2 vuông cân tại A
AC AA' a
, tứ giác ABCD là hình vng AC a
BA a. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2 2 2
ABA' vng tại A có AK là đường cao AK AA '.AB a . AA'2 AB2 6
Ví dụ 2. (Trích đề thi ĐH khối D - 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA ' 2a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp (IBC).
Hướng dẫn giải.
Từ giả thiết về lăng trụ IBC ABB ' A' BC ABB' A' .
Trong mp(ABB’A’) dựng AK A ' B tại K
AK IBC d A, IBC AK .
ABA' vuông tại A, có AK là đường cao AK AA '.AB 2a.a 2a
. Vậy d A, IBC 2a
.
A ' B a 5 5 5
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vng cạnh a , SA = a 3 . M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hình chiếu vng góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AN và DM. Tình theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN).
Lời giải.
+) Gọi H là giao điểm của AM và DN . Từ giả thiết ta có SH ABCD . Ta có
1
tan ADM tan BAN 2ADM BAN
0
DMA BAN DMA ADM 90 DM AN .
AMD vng tại A có AH là đường cao
1 1 1 AM.AD a.a a AH 2 . 2 2 AD 2 5 AH AM AM 2 AD 2 2 aa2 4
SAH vuông tại H SH SA2 AH 2
a 14
.
5 Ta có tứ diện SHND là tứ diện vng vng tại H
hình chiếu vng góc của H trên mp(SND) trùng với trực tâm K của
Vậy d H , SND HK . Ta có 1 1 1 1 , 2 2 2 HD2 HK HS HN HN AN AH a 5 a 3a , 2 5 2 5 HD 2a 1 5 20 5 AD2 AH2 2 2 2 2 5 H K 14a 9a 4a 965 HK a 252. Vậy d H , SND a 252 (đvdd). 252a2 965 965
* Ví dụ 1, 2 và 3 giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng bằng cách dựng hình chiếu vng góc của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 4: (Trích đề ĐH khối B - 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.
Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).
Lời giải.
Lấy H là trung điểm của AB SH ABCD SH CD .
Lấy I là trung điểm của CD HI CD CD SIH SIH SCD . Trong mp(SHI) dựng HK vng góc với SI tại K HK d H , SCD .
Tính được HK a 3, AB / / SCD d A, SCD d H , SCD HK a 3.
7 7
Ví dụ 5. (Trích đề thi ĐH khối D - 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy,
0 , M là trung điểm của cạnh BC và BAD 120
SMA 450 .
Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mp(SBC).
Hướng dẫn giải.
Chứng minh BC SAM SAM SBC .
Trong mp(SAM) dựng AH vng góc với SM tại
H AH SBC d D , SBC AH .
ABCD SA AM SAM vng cân tại A . Tính được AH a 6. 4
a 6
AD // BC AD / / SBC d D , SBC d A, SBC AH .
* Các Ví dụ 4,5 rèn luyện cho học sinh biết sử dụng kết quả: nếu AB // (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)) để tính khoảng cáh từ một điểm đến một mặt phẳng. Ví dụ 6. (Trích đề thi ĐH khối A,A1 - 2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A, 0 , SBC là tam giác đều ABC 30
cạnh a , mp(SBC) vng góc với đáy. Tính theo a
khoảng cách từ C đến mp(SAB).
Lời giải.
Lấy H là trung điểm của BC. SBC đều nên
SH BC.
SBC ABC SH ABC SH AB. ABC vuông tại A
HA HB HC SA SB SC SAB cân tại S.
Lấy I là trung điểm của AB (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
SI AB AB SHISHI SAB .
Kẻ HK SI tại K HK SAB HK d H , SAB .
Ta có SH a 3, AC 1 BC a , HI 1 AC a . 2 2 2 2 4
SHI vng tại H có HK là đường cao
1 1 1 52 HK a 3 HK 2 S H 2 HI 2 2 3a 52 Mà BC SAB B d C, SAB 2d H , SAB a 39 . 13
Ví dụ 7. (Trích đề ĐH khối D- 2011)
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BA 3a, BC 4a , mp(SBC) và mp(ABC)
AB CF a.
0
cách từ B đến mp(SAC) theo a.
Lời giải.
Kẻ đường cao SH của SBC , SBC ABC SH ABC SH AC
Kẻ HK AC tại K AC SHK SAC SHK . Trong mp(SHK) kẻ HI vng góc với SK tại I
HI SAC HI d H , SAC .
SHK vng tại H có HI là đường cao
1 1 1.
HI 2 HK 2 SH2
SHB vuông tại H nên SH SB. sin30 0a 3 , BH SB cos300 3a.
CKH CBA (g-g) KH CH HK BA.CH 3a.a 3a
BA CA CA 5a 5 HI 3 7 a. Do BH SAC C 14 d B, SAC B C 1 6 nên d B, SAC 7a . d H , SAC CH 4 7 Ví dụ 8: (Trích đề ĐH khối D - 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
AB BC a, AD 2a .Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình
chiếu vng góc của A trên SB.Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD).
Lời giải.
Gọi E là giao điểm của AB và CD. Lấy M là trung điểm của EC, N là trung điểm của SE, F là trung điểm của AD AB BE BC a.
Ta có tứ giác ABCF là hình vng
ACF có CF 1 AD a ACD vuông tại C
2
CD CA , mà CD AS CD CS.
MN là đường trung bình của (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ESC MN / /SC MN CD .
BCE cân tại B BM CE BM DC CD
BMN BMN SCD .
Kẻ BJ MN BJ SCD d B, SCD BJ .
Ta có NB là đường trung bình của tam giác
SAE NB/ /SA NB ABCD NB BM .
NBM vng tại B có BJ là đường cao nên 1 1 1 , BM 1 EC a 2 , BJ 2 BM 2 BN2 2 2 1SA a BJ a BN 2 2 2 2 BH SCD S d H , SCD HS, d B, SCD BS SH 2 2 2 2 a SA 2a d H , SCD d B, SCD . BS 2 2 SB 3a 3 3 3
* Các Ví dụ 6, 7, 8 nhằm rèn luyện cho học sinh cách sử dụng hai tính chất:
d A, P OA
- Nếu AB P O thì .
- Nếu B là trung điểm của OA thì d A,( P) 2d B,( P) để tính khoảng cách từ một điểm dến một mặt phẳng.
*Kết luận. Trong việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, một
kỹ năng rất quan trọng mà Gv phải rèn luyện được cho học sinh là kỹ năng dựng hình chiếu vng góc của điểm lên mặt phẳng.Chúng ta đã có kết quả là qua một điểm A cho trước có một và chỉ một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng (P) cho trước, trong thực hành giải tốn viêc dựng hình chiếu vng góc của A lên (P) ta thực hành theo các bước sau:
B1. Xác định mp(Q) qua điểm A và vng góc với (P). B2. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q).
B3. Trong (Q) qua điểm A dựng đường thẳng vng góc với d tại H, khi đó H là hình chiếu vng góc của điểm A trên mp(P).