I, II Xưởng A cú thể rỏp tối đa 700 mỏy/thỏng và xưởng B rỏp tối đa 900 mỏy/thỏng Đại lý I tiờu thụ ớt nhất 500 mỏy/thỏng và đại lý II tiờu thụ ớt nhất 1000 mỏy/thỏng Cước phớ
Bài 4: Chứng minh bài toỏn giải được, tỡm phương ỏn, phương ỏn cực biờn, phương ỏn tối ưu của bài toỏn quy hoạch tuyến tớnh
biờn, phương ỏn tối ưu của bài toỏn quy hoạch tuyến tớnh
4.1. Cho bài toỏn
f(x) = 4x1 - 2x2 + 3x3 + 3x4 min x1 + 2x2 + x3 - 3x4 10
x1 – x2 + x3 – x4 62x1 + x2 + 3x3 8 2x1 + x2 + 3x3 8 xj 0, j = 1,4
Chứng minh bài toỏn trờn giải được. Giải:
Dễ thấy x0 = (0;5;0;0) là một phương ỏn do thỏa diều kiện: 0+2.5+0-3.0=10 0-5+0-0=-56 2.0-5-3.0=-58 Mặc khỏc: 2x1 + x2 + 3x3 8 x2 + (2x1+3x3) 8 x2 8 -2x2 -16 f(x) = 4x1 - 2x2 + 3x3 + 3x4 -16 (xj 0, j = 1,4) Vậy f(x) bị chặn dưới. Bài toỏn (min) giải được.
4.2. Cho bài toỏn
f(x) = 2x1 + x2 - x3 + 3x4 min x1 – 2x2 + x3 = 16
x2 – 4x3 + x4 8-x2 + 2x3 – 3x4 20 -x2 + 2x3 – 3x4 20 xj 0, j = 1,4
Giải:
Xột vectơ xo = (6,0,10,0) là phương ỏn khi thỏa hệ ràng buộc của bài toỏn. x1 - 2x2 + 3x3 = 6 - 2.0 +10 = 16 (thỏa chặt) x2 - 4x3 + x4 = 0 - 4.10 + 0 = -40 8 (thỏa lỏng) - x2 + 2x3 - 3x4 = 0 + 2.10 - 3.0 = 20 (thỏa chặt) x1 = 6 0 (thỏa lỏng) x2 = 0 (thỏa chặt) x3 = 10 0 (thỏa lỏng) x4 = 0 (thỏa chặt)
Ta thấy cỏc ràng buộc trờn đều thỏa nờn x0 là phương ỏn của bài toỏn. Trong đú cú 4 ràng buộc thỏa chặt.
Ta chứng minh được 4 ràng buộc này độc lập tuyến tớnh vỡ: Từ ràng buộc chung thứ 1 ta cú vectơ u1 = (1;-2;1;0).
Từ ràng buộc chung thứ 2 ta cú vộctơ u2 = (0;1;-4;1). Từ ràng buộc biến thứ 2 ta cú vectơ u3 = (0;1;0;0). Từ ràng buộc biến thứ 4 ta cú vectơ u4 = (0;0;0;1). Ta cú: k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = 0
k1 = 0
-2k1 + k2 +k3 = 0 k1 – 4k2 = 0 k2 + k4 =0
Vậy cỏc vectơ này độc lập tuyến tớnh. Vậy x0 = (6;0;10;0) là phương ỏn cực biờn.
Bài toỏn cú 4 biến nờn n=4. Số ràng buộc thỏa chặt độc lập tuyến tớnh bằng số tiền bằng 4. Vậy x0 là phương ỏn cực biờn khụng suy biến.
4.3. Cho bài toỏn sau
f(x) = x1 + x2 + 3x3 + 5x4 min
3x1 + x2 + 3x3 + x4 -2
x2 – 2x3 – x4 -7
2x1 – x2 + x3 + x4 12
x1 0 ; x3, x4 0.