(Axm+Bym+Czm+D) z1=zm-B A2+B2+C2 MM’=2MH (x’-xm,y’-ym,z’-zm)=2(x1-xm,y1-ym,z1-zm) x’=2x1-xm y1= 2y1-ym z1=2z1-zm Ta cú ma trận : -1 0 0 0 0 -1 0 0 => 0 0 -1 0 2x1 2y1 2z1 1
d.Phộp quay quanh một trục toạ độ
Phộp quay quanh trong khụng gian ba chuều đơch xột phức tạp hươn phộp quay được xỏc định bởi gúc quay θ và tõm của phộp quay P. Trong khụng gian ba chiều , phộp quay được xỏc định bởi gúc quay và một trục quay. Phé quay chớnh tắc được xỏc dịnh khi một trong cỏc trục x,y,z dương được chnj làm trục quay. D1.Quay quanh trục z thỡ giỏ trị toạ độ z khụng thay đổi , chỉ cú giỏ trị toạ độ x và y thay đổi . Nh vạy tương đương với việc quay hỡnh chiếu của điểm M(x,y) la
M1(x,y,0) theo gúc quay θ tới vị trớ M1’(x’,y’,0) trong mặt phẳng Xoy
0
M(x’,y’,0)
Hỡnh 2.6 Phộp quay quanh trục OZ
x’=xcosθ - ysinθ
y1=xsinθ +ycosθ z1=z
Dạng ma trận :
x’ y’ z’ 1 = [ x y z 1 ].F Vậy ma trận phộp quay quanh OZ là:
Cosθ sinθ 0 0 F2= Sinθ cosθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d.2.Quay quanh OX một gúc θ Một cỏch tương tự ta cú : x’=x x1=ycosθ -zsinθ z1=ysinθ +zcosθ Dạng ma trận : [x’ y’ z’ 1 ] =[x y z 1 ].F Vởy ma trận cuả phộp quay quanh OX là :
1 0 0 0 0 cosθ sinθ 0 Fx= 0 sinθ cosθ 0 0 0 0 0 d3.Quay quanh Oy một gúc θ x’=xcosθ - zsinθ y’=y z’=xsinθ +zcosθ [x’ y’ z’ 1 ] = [x y z 1 ].F ma trận quay quanh Oy là : cosθ 0 sinθ 0 0 1 0 0 Fy= sinθ 0 cosθ 0 0 0 0 1
Ta cú nhận xột rằng một phộp quay bất kỡ quanh tõm toạ độ bao giờ cũng cú thỊ phõn tớch được thành một dóy cỏc phộp quay cơ bản . Khi đú ma trận biến đổi của phộp quay là ma trận kết quả của tich cỏc ma trận quay thành phần .
1.Ma trận nghịch đảo
Hai ma trận là nghịch dảo của nhau nếu tớch số củ chúng là ma trận đơn vị. Ma trận nghịch dảo của ma trận f được kí hiệu là F-1
Định lí : tất cả cỏc ma trận của cỏc phộp biến đổi trờn đều cú ma trận nghịch đảo .
Nghịch đảo của ma trận tịnh tiến nhận được bằng cỏch thay thế cỏc thành phần a,b,c bằng cỏc thành phần -a,-b,-c tức lf tịnh tiến theo vecter đối
Nghịch đảo củ ma trận co dón tư lệ nhận được cỏch thay thế cỏc thành phần kx,ky,kz bằng cỏc thành phần 1/kx,1/ky,1/kz
Nghịch đảo của ma trận quay nhận được bằng cỏch thay thế gúc θ bằng -θ, tức là quay theo chiều ngược lại .
2.Quan hệ giữa phộp biến đổi hệ toạ độ và phộp biến đổi toạ độ điểm .
Từ trước tới giờ chỳng ta chỉ đề cập tới cỏc phộp biến đổi toạ độ điểm so với một hệ toạ độ cố định .Núi cỏch khỏc , chỳng ta xờ dịch vật thể trong khi toạ độ dứng yờn .Cúng cú thể thu được kết quả như vậy nếu chúng ta di chuyển hệ toạ độ, cũn vật vẫn đứng yờn , khi đú toạ độ của điểm trong hệ mới cúng thay đổi .
Định lý: Ma trận của phộp biến đổi hệ toạ độ và ma trận của phộp biến đổi điểm là hai ma trận nghịch đảo nhau .Ta cú thể thực hiện phộp tịnh tiến , co dón và phộp quay bằng cỏch di chuyển người quan sỏt đối tượng cũn đối tượng thỡ giữ nguyờn .Loại chuyển đổi này cũn được gọi là phộp chuyển đổi toạ độ . Ta gắn một hệ toạ độ vào người quan sỏt . Sau đú di chuyển người quan sỏt cựng vơí hệ toạ độ được gắn vào . Sau đú, tớnh lại toạ độ của đối tượng được quan sỏt trong trong hệ toạ độ người quan sỏt mới . Giỏ trị toạ độ mới quan sỏt đựơc tớnh chớnh xỏc tương tự nh khi quan sỏt đứng yờn cũn đối tượng chuyển động tương ứng với một phộp chuyển đổi hỡnh học
IV.Kỹ thuật chuyển độnh hỡnh khụng gian Thường dựng cỏc phương phỏp sau đõy.
1.Sử dụng cỏc phương phỏp chuyển động hỡnh phẳng
Hỡnh khụng gian vẽ trờn mỏy tớnh thực chất là hỡnh chiếu của hỡnh khụng gian trờn màn hỡnh , tức là hỡnh phẳng . Vỡ vậy cú thể dựng cỏc phương phỏp làm hỡnh phẳng chuyển động để làm hỡnh khụng gian chuyển động . Điều khỏc nhau cơ bản là cỏc hỡnh phẳng ở đõy là hỡnh chiếu của một hỡnh khụng gian , phải phương phỏp vẽ hỡnh khụng gian để vẽ . Cú ba phương phỏp: 1.1.Phương phỏp xoỏ. Cỏch1: - Tạo ảnh bằng màu vẽ - Xúa ảnh bằng màu nền
- Tạo lại ảnh mầu vẽ tại vị trid mới Cỏch 2:
-Vẽ hỡnh
-Xoỏ ảnh bằng lệnh Clear devece -Vẽ lại hỡnh
1.2.Sử dụng cỏc thủ tục và hàm xử lí ảnh
-Hỡnh ảnh đồ hạo lưu vào cácc vựng khỏc nhau trờn RAM màn hỡnh ,mỗi vựng đơcj gọi là một trang màn hỡnh .Do việc chuyển đổi giữa cỏc hỡnh ảnh chuyển động bằng luõn phiờn vẽ và lập trang .
-Thủ tục Set Activepage (page:word):đặt hoạt động cho trang cú số hiệu Page , chưa hiện trang này(thờng đực gọi trước khi thực hiện cỏc lệnh xú lí đồ hoạ cho trang sắp được xem)
-thủ tục Set vitualpage (page:word) hiện trang màn hỡnh cú số hiệu Page (đó được chuẩn bị trước bằng lệnh Set activepage)
2.Sử dụng tham số cỏc phộp chiếu
Trong phộp chiếu ỡnh khụng gian cú bốn tham số xỏc định vị trớ tõm chiêú , tức là điểm quan sỏt hỡnh khụng gian .Tại mỗi vị trớ quan sỏt một hỡnh chiếu cũng thay đổi theo .Ta tạo tớnh chất này để tạo hỡnh chuyển động
2.1 Thay đổi gocd θ
Khi tăng gúc θ , điểm quan sỏt chạy trờn dường trũn nằm rtong mặt phẳng song song Xoy .Nếu tại mỗi giỏ trị θ ta vẽ một hỡnh thỡ dóy hỡnh này gõy cho ta cảm giỏc vật thể quay theo chiều ngược với chiều di chuyển củ điểm quan sỏt .Ta thay đổi gúc θ để làm hỡnh khụng gian chuyển động quay .
2.2 Thay đổi gúc ϕ.
Tương tự khi tăng gúc ϕ , điểm quan sỏt chạy trờn đường trũn nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với gúc Xoy . Vỡ vậy thay đổi gia trị ϕ , hỡnh khụng gian sẽ quay
theo chiều ngược với chiều di chuyển của điểm quan sỏt.
2.3 Thay đổi D hoặc R
Khi thay đổi , khoảng cỏch từ điểm quan sỏt đến hỡnh khụng gian sẽ thay đổi m hỡnh chiếu sẽ được phong to hay thu nhỏ . Ta dựng tớnh chất này để “Zoom” hỡnh .
Chương III
Cụng thức của cỏc phộp chiếu trong khụng gian lờn mặt phẳng
I. Đặt vấn đề
_ Phộp chiếu là phộp chuyển đổi những điểm trong hệ toạ độ nhiều chiều thành những điểm trong hệ toạ độ cú số chiều nhỏ hơn n. Thực tế đồ hoạ mỏy tớnh đi sõu vàonghiên cứu các đối tợng n chiều bằng cách chiếu chúng lên mặt phẳng hai chiều để biểu diễn. Trong phần này, chỉ giới hạn với các phép chiếu từ ba chiều vào hai chiều.
_ Thực tế để vẽ một hỡnh trong khụng gian lờn màn hỡnh đồ hoạ là vẽ hỡnh chiếu của hỡnh khụng gian này lờn mặt phẳng màn hỡnh. Cỏc hỡnh khụng gian là tập hợp cỏc điểm khụng gian, vỡ vậy để chiếu hỡnh khụng gian lờn mặt phẳng ta chỉ cần nghiờn cứu phộp chiếu một điểm trong khụng gian lờn một mặt phẳng bất kỳ.
_ Trong khụng gian để chiếu một điểm lờn một mặt phẳng cú cỏc phộp chiếu sau: Phộp chiếu phối cảnh và phộp chiếu song song. Sự khỏc biệt giữa hai phộp chiếu này là mối quan hệ giữa tõm chiếu và mặt phẳng chiếu. Nếu khoảng cỏch giữa tõm chiếu và mặt phẳng chiếu là hữu hạn thỡ phộp chiếu đú là phối cảnh. Nếu khoảng cỏch đú là vụ hạn thỡ ta cú phộp chiếu song song. Trong phộp chiếu song song , tõm chiếu ở vụ cựng và cỏc tia chiếu gần nh vuụng gúc với mặt phẳng chiếu. Khi xỏch định phộp chiếu phối cảnh phải xỏc định chớnh xỏc tõm chiếu, khi xỏc định tõm chiếu là một điểm, được biểu diễn trong hệ toạ độ thuần nhất là (x,y,z,1). Khi hướng chiếu là một vecto thỡ được xỏc định nh sau:
D = (x,y,z,1) – (x’,y’,z’,1) = (a,b,c,0)
Phộp chiếu phối cảnh cú tõm ở vụ cựng sẽ trở thành phộp chiếu song song. Tỏc động trực quan của phộp chiếu phối cảnh tương tự nh trong chụp ảnh với hệ thống thị giỏc của con người và được coi nh định luật phối cảnh xa gần. Kớch thước của đối tượng qua phộp chiếu phối cảnh nghịch đảo với khoảng cỏch từ đối tượng tới tõm chiếu. Phộp chiếu phối cảnh cú khuynh hướng cho ta ảnh trụng thật. Tuy nhiờn phộp chiếu phối cảnh khụng dựng để biểu diờn chớnh xỏc một bề mặt của
đối tượng song song với mặt phẳng chiếu. Cỏc đường thẳng song song khi qua phộp chiếu phối cảnh núi chung sẽ khụng song song.
_ Phộp chiếu song song khụng cho hỡnh ảnh thật của đối tượng bởi vỡ nú khụng cú định luật phối cảnh xa gần. Phộp chiếu được sử dụng để xỏc định kớch thước một cỏch chớnh xỏc và cỏc đường thẳng song song khi qua phộp chiếu vẫn song song với nhau. Nh trong phộp chiếu phối cảnh, cỏc gúc được bảo toàn chỉ khi cỏc mặt của đối tượng song song với mặt phẳng chiếu.
1. Phộp chiếu phối cảnh
_ Phộp chiếu phối cảnh là một phộp chiếu cho hỡnh ảnh giống như hỡnh ảnh ta quan sỏt vật thể. Tõm của phộp chiếu nằm ở một khoảng cỏch hữu hạn so với mặt phẳng chiếu. Phộp chiếu phối cảnh khụng giữ nguyờn hỡnh dạng của vật thể, chỉ cú những đường nằm trờn mặt phẳng song song với mặt phẳng chiếu mới giữ nguyờn hỡnh dạng. Tõm chiếu S ở đõy được coi là điểm đặt mắt quan sỏt của người xử lý.
_ Tất cả cỏc phộp phối cảnh đều được qui định bởi 5 biến sau: + Hướng của mặt phẳng chiếu so với vật thể
+ Độ cao của tõm chiếu so với vật thể + Khoảng cỏch từ tõm chiếu tới vật thể
+ Khoảng cỏch từ mặt phẳng chiếu đến vật thể
+ Độ dịch chuyển ngang của tõm chiếu so với vật thể B
A
B’ A’
2. Phộp chiếu song song
_ Tớnh song song được bảo toàn, gúc và khoảng cỏch trong mặt song song với mặt phẳng chiếu cũng được bảo toàn. Tuy nhiờn hỡnh chiếu song song sẽ cho hỡnh chiếu khú nhỡn hơn hỡnh chiếu phối cảnh.
Sau đõy ta sẽ đi vào chi tiết để tỡm toạ độ hỡnh chiếu
II. Tớnh toạ độ cỏc hỡnh chiếu
1. Chiếu điểm M(x,y,z) lờn mặt phẳng (E) song song mặt phẳng toạ độ (Oxy) B A B’ A’ Mặt phẳng chiếu
_ Điểm M(x,y,z) chiếu phối cảnh tõm O lờn mặt phẳng cho ta điểm M1, chiếu vuụng gúc lờn E cho ta điểm M2. Hóy tỡm toạ độ M1,M2.
_ Gọi khoảng cỏch từ O đến (E) là d, giao của (E) với Oz là G ta cú:
1.1 Hỡnh chiếu phối cảnh x1 d d x z z y1 d d y z z z1 z = d z
1.2 Hỡnh chiếu song song
Z X Y O Y X X1 M2 E G Y1 M1 M(x,y,z) = = = d => = x1 = = y1
x2 = x y2 = y z2 = d
2.Chiếu điểm M(x,y,z) lờn mặt phẳng (E) bất kỳ
a. Bài toỏn: Xột điểm M(x,y,z) và mặt phẳng (E) bất kỳ.Vẽ nửa
đường thẳng Ot vuụng gúc (E) cắt (E) tại (G). Trờn Ot lấy điểm S bất kỳ. =>
_ Điểm M (x,y,z) chiếu phối cảnh tõm S lờn mặt phẳng (E) cho ta điểm M1 chiếu vuụng gúc lờn (E) cho ta điểm M2. Hóy tỡm toạ độ M1, M2.
2.1 Bài toỏn
_ Gọi khoảng cỏch từ O đến (E) là d, giao của O với (E) là G Và toạ độ cầu của S là (a,b,c). Từ (a,b,c)dễ dàng tỡm được toạ độ cầu của S là (R, ,0). Ta đưa
X Z Y O Y0 X0 M M2 Y X M1 Z0 G S
về trường hợp mặt phẳng (E) song song với mặt phẳng toạ độ để sử dụng cỏc kết quả đó trỡnh bày ở trờn .
_ Muốn vậy ta thực hiện cỏc phộp biến đổi khụng gian sao cho hệ Oxyz thành hệ nghịch S xoy0zo song song với (E).Sở dĩ chọn hệ S xoy0zo nghịch để về sau, trờn (E) ta gắn vào hệ Đề Cỏc Gxy thỡ hệ này là thuận. Khi đú giả sử tỡm được toạ độ điểm M trong hệ S xoy0zo là (xoy0zo) ta dễ dàng tỡm được toạ độ cỏc hỡnh chiếu. Vậy vấn đề cần giải quyết là tỡm (xoy0zo ). Ta lần lượt thực hiện cỏc phộp biến đổi sau đõy, chỳ ý sau mỗi phộp biến đổi ta tỡm được ma trận phộp biến đổi hệ toạ độ, lấy nghịch đảo ma trận này ta được ma trận biến đổi điểm,nhờ ma trận biến đổi điểm ta tớnh được toạ độ điểm trong hệ mới.
* Phộp biến đổi 1
_ Tịnh tiến hệ Oxyz thành hệ Sx1y1z1 (gốc O thành S). Khi đú gọi F1 là ma trận biến đổi, toạ độ M trong hệ này là (x1,y1,z1) tớnh được từ (x,y,z) theo cụng thức .
(x1 y1, z1 1) = (x y z 1)F1
_ F1 là nghịch đảo của ma trận tịnh tiến theo vectơ OS, bằng cỏch thay vectơ OS bởi vectơ - OS ta được
1 0 0 0 F1= 0 1 0 0 0 0 0 1 Z X Y X1 Z 1 Y1 S O Tịnh tiến hệ Oxyz thành hệ Sx1y1z1
-a -b -c 1
* Phộp biến đổi 2:
Quay hệ Sx1y1z1 quanh trục Sz1 một gúc –(90 - 0) để được hệ Sx2y2z2 cú Sy2 cắt Oz. Khi đú G2 là ma trận biến đổi điểm, toạ độ P trong hệ này là (x2,y2,z2) tớnh được từ (x1,y1,z1) theo cụng thức :
(x2 y2 z2) = (x1 y1 z1).F2
_ F2 là nghịch đảo của ma trận quay quanh OZ. Bằng cỏch thay α bằng –α vào ma trận phộp quay quanh Oz, sau đú thay α =- (90 - 0) ta được:
sin cos 0 0 F2= -cos sin 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z X Y Z2 Y2 X2 Quay hệ trục toạ độ Sx1y1z1 thành hệ trục Sx2y2z2
*Phộp biến đổi 3.
_ Quay hệ Sx2y2z2 quanh trục Sx2 một gúc (90 + ) để được hệ Sx3y3z3 cú Sz3 đi qua gốc O. Khi đú gọi F3 là ma trận biến đổi điểm, toạ độ P trong hệ này là (x3y3z3) tớnh được từ (x2y2z2) theo cụng thức :
(x3 y3 z3 1) = (x 2 y2 z2 1).F3
_ F3 là nghịch đảo của ma trận quay quanh Ox, bằng cỏch thay α bằng -α vào ma trận phộp quay quanh Ox, sau đú thay α = (90 + ) ta được:
1 0 0 0 0 -sin - cos 0 F2 = 0 cos - sin 0 0 0 0 1 * Phộp biến đổi 4 X Y Z Y3 X3 Z3 Quay hệ trục Sx2y2z2 thành hệ trục Sx3y3z3
_ Đổi hệ thuận Sx3y3z3 thành hệ nghịch Sx0y0z0
_ Gọi F4 là ma trận biến đổi điểm, toạ độ P trong hệ này là (x0y0z0) tớnh được từ (x3y3z3) theo cụng thức:
x0 = - x3 y0 = y3 z0 = z3 _ Ma trận biến đổi toạ độ điểm là F4
- 1 0 0 0
0 1 0 0
F4 = 0 0 1 0
0 0 0 1
_ Sau 4 phộp biến đổi M(x,y,z) sẽ trở thành M(x0y0z0) và ma trận của phộp biến đổi là:
F = F1*F2*F3*F4
- sin - sin cos - cos cos 0 Z X Y Y0 X0 Z0 S
cos - sin cos - sin cos 0 F = 0 cos -sin 0 0 0 R 1 _ Từ cụng thức (x0 y0 z0 1) = (x y z 1).F Ta cú: X0 = - sin x + ycos
Y0 = -xcos .sin – y.sin .sin + zcos Z0 = -xcos .cos – ysin cos – zsin + R
_ Trong hệ Sx0y0z0 mặt phẳng (E) song song mặt phẳng toạ độ Sx0y0 theo kết quả ở mục II.1 ta cú:
2.2 Toạ độ hỡnh chiếu phối cảnh
d z0 d z0
2.2 Toạ độ hỡnh chiếu song song xe = x0 ye = y0 Xe = X0 y0 ye = => =>
3.ảnh hưởng của vị trớ quan sỏt và vị trớ màn hỡnh
_ Trong đú :
D: là khoảng cỏch từ mắt đến ảnh. R: là khoảng cỏch ảnh mắt đến vật. Nếu R giảm thỡ ảnh a, phúng to.
R tăng thỡ ảnh a, thu nhỏ vỡ ta đi xa vật.
R b
Vật ảnh
P
Chương IV
Đường cong và mặt cong
_ Sự cần thiết phải biểu diễn đường cong và bề mặt do cỏ đối tượng tồn tại dưới dạng mụ hỡnh đó cú chẳng hạn như ơtơ, bề mặt chi tiết …
_Và trong mơhình hỗn hợp trong đú cỏc đối tượng vật lý khụng tồn tại trước đú dưới dạng mụ hỡnh. Trong trường hợp thứ nhất khụng thể mụ tả bằng toỏn học của đối tượng. Ta cú thể sử dụng mụ hỡnh toạ độ của tất cả cỏc điểm của đối tượng, nhưng cỏch tiếp cận này khú thực hiện đối với mỏy tớnh vỡ khả năng lưu trữ cú hạn. Ta thường xấp xỉ đối tượng bằng cỏc phần mặt phẳng hỡnh cầu hoặc cỏc bề mặt khỏc để dễ dàng mụ tả bằng toỏn học, và làm sao để cỏc điểm trong mụ hỡnh phải gần với vị trớ cỏc điểm tương ứng của đối tượng.
_ Trong trường hợp thứ hai khi khụng cú sự tồn tại trớ đú của đối tượng dưới dạng mụ hỡnh, người sử dụng tạo ra đối tượng trong mụ hỡnh xử lý do đú đối tượng được biểu diễn một cỏch chớnh xỏc. Để tạo ra đội tượng người sử dụng phải chỉnh sửa đối tượng, mụ tả nú dưới dạng toỏn học, hoặc đưa ra một mụ tả xấp xỉ để đua