IV. ÐIỀU KIỆN ÐỂ TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠ I2 KHÔNG PHỤ THUỘC ÐÝỜNG LẤY TÍCH PHÂN
2. Cách tính tích phân của ð ịnh lý
a). Giả sử ỳậxờyấờ ẵ(x,y) thỏa định lý ữờ vậy tắch phân chỉ phụ thuộc ồờ
và ử nên có thể viết nó dýới dạng ầ
Giả sử ồậx0,y0) B(x1,y1). Khi đó có thể tắnh tắch phân đýờng loại ị theo đýờng đõn
giản nhất nối ị điểm ồờử là các đýờng gấp khúc song song với các trục tọa độờ thắ dụ lấy ũậx1,y0) và lấy theo đýờng ồũờ ũửề
(Hình ởềịấ
Khi đóầ
Thắ dụ 1: Tắnh
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2
Thắ dụ 2: Tắnh
Theo đýờng không cắt đýờng thẳng xựy ụế ờ ta cóầ
Vậy theo gợi ý trên ta cóầ
b). Nếu ỳờ ẵ thoả định lý ữờ và nếu tìm đýợc hàm U thỏa dU ụ ỳdx ự ẵdy thì ta có ầ
Thật vậy , giả sử cung ồử có phýõng trình ầ xụxậtấờ yụyậtấờ a t b. Khi ấy ta cóầ
Thắ dụ 3: Tắnh
Ta nhận thấy ầ xdy ự ydx ụ dxyề Vậy theo nhận xét trên ta cóầ
Thắ dụ 4: Tắnh Ta có ầ
3. Tắch phân đýờng loại 2 trong không gian
Trong không gianờ týõng tự định lý ữ ta có ầ
3.1 Định Lý 2 :
Cho các hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong một miền mở đõn liên ắề ũác mệnh đề sau là týõng đýõng ầ
i) Tắch phân không phụ thuộc đýờng trõn từng khúc trong D nối ồờử
ii) Tồn tại ữ hàm Uậxờyờzấ sao cho biểu thức ỳậxờyờzấdx ự ẵậxờyờzấdy ự R(x,y,z)dz là vi phân toàn phần của Uờ nghĩa là ầ
dU = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz iii) Trong D ta có
vi) với mọi chu tuyến kắn trõn từng khúc trong ắ
Chú ý :
Khi P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) thỏa định lý ị và tìm đýợc U thỏa trong điều kiện iiiờ thì khi đó ta có ầ
Nếu chýa biết hàm Uậxờyờzấ thì tắch phân đýờng có thể tắnh theo cácđýờng gấp khúc song song các trục tọa độề Ứiả sửờ có điểm ồậx0,y0, z0), B(x1,y1,z1) thì
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2
(hình ởềĩấ và khi đó ta có ầ
Thắ dụ 5: Tắnh
Ta có ầ yzdx ự xzdy ự xydz ụ dậxyzấ
Vậy ầ
Thắ dụ 6: Tắnh
Ta có ầ các hàm ỳ ụ excosy ự yxờ ẵ ụ yz - exsiny, R = xy+z thỏa điều kiện iiiấ của Định lý ị vìầ
Nhý thế áp dụng định lý ịờ tồn tại hàm U sao choầ UỖx = y, UỖy = x, UỖz = 4
Cùng với UỖy = x có ầ UỖy = x + fỖy ụ x -> fỖy = 0
f không phụ thuộc vào y -> f= h(z) -> U(x,y,z) = yz+h(z) cùng với UỖz = 4 hỖậzấ ụ ở h(z) =4z+ C
Vậy Uậxờyờzấ ụ yx ự ởz ựũ Và nghiệm U phải thỏa ầ dU ụ ế
yx + 4z = CỖ