1) Định nghĩa:
Ánh xạ f : X→R
x a y = f x( ) với X ⊂R X, ≠ ∅ được gọi là hàm số.
* Ta gọi X là tập xỏc định của hàm f x( ), kớ hiệu D(f); f(X) là tập giỏ trị của hàm f, kớ hiệu R(f); x∈D(f) gọi là biến độc lập.
Vớ dụ 1: Hàm y = 4 x− 2 cú Df = [- , ], R2 2 f = [ , ]0 4 .
* Hàm chẵn : Giả sửX ⊂R, X nhận gốc O làm tõm đối xứng. Hàm số f x( ) được gọi là chẵn nếu f(−x)= f x( )∀ ∈x X , là hàm lẻ nếu f(−x) = −f x( )∀ ∈x X.
* Chỳ ý: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng.
* Hàm lẻ : Hàm sốf x( ) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu ∃ T > 0 sao cho
f
f( x T )+ = f( x ), x∀ ∈D
Số T nhỏ nhất sao cho cú đẳng thức trờn được gọi là chu kỳ của hàm số f x( ).
Vớ dụ 2: Cỏc hàm số y = sinx, y = cosx là tuần hoàn với chu kỡ 2π; cỏc hàm số y = tgx, y = cotgx là tuần hoàn với chu kỳ π.
Hàm đơn điệu: Hàm y = f x( ) được gọi là tăng (tăng ngặt) trờn khoảng I ⊆ Df nếu ∀x1, x2 ∈ I, x1 < x2 thỡ f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) < f(x2)); giảm (giảm ngặt) trờn I nếu ∀x1, x2 ∈ I thỡ (x1) ≥ f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Hàm số tăng hoặc giảm trờn I được gọi là hàm đơn điệu trờn I.
Hàm bị chặn: Cho hàm số f(x) xỏc định trờn X. Hàm số f(x) được gọi là bị chặn
trờn nếu ∃M : f( x ) ≤M ∀ ∈x X; bị chặn dưới nếu ∃M : f( x ) ≥M ∀ ∈x X; bị chặn nếu∃M : f( x ) ≤M , ∀ ∈x X.
2) Hàm số hợp:
Định nghĩa.
Cho X, Y, Z ⊆ R, cho hàm số f : X → Y, g: Y → Z. Khi đú, hàm số h: X → Z được định nghĩa bởi
h(x):= g(f(x)), x ∈ X được gọi là hàm số hợp của hàm số f và g. Kớ hiệu là:
Vớ dụ 3. Xột cỏc hàm sốf( x ) = 2x + 1, g( x ) = x2 + 4.Khi đú: = + = + + = + = + + g[ f( x )] f ( x ) ( x ) f [g( x )] g( x ) ( x ) 2 2 2 4 2 1 4 2 1 2 4 1 3) Hàm số ngược:
* Định nghĩa. Cho hai tập X, Y ⊆ R; cho hàm số
f: X → Y x ay = f(x) Nếu tồn tại hàm số g: Y → X thoả món:
+ (gof)(x) = 1 X + (fog)(y) = 1 Y
thỡ g(x) được gọi là hàm số ngược của hàm số f(x). Kớ hiệu: g = f-1
* Chỳ ý:
1. f: X → Y là song ỏnh ⇔ ∃g = f-1: Y → X. Tức f cú hàm số ngược khi và chỉ khi f là song ỏnh.
2. Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu nghiờm ngặt thỡ nú cú hàm ngược 3. Df−1 = Rf , Rf−1 = Df .
4. Đồ thị của hàm ngược y = f-1(x) đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) qua đường phõn giỏc của gúc thứ nhất.
Vớ dụ 4. Tỡm hàm ngược của hàm y = 4 x
Giải. Ta cú Df = [0, +∞), Rf = [0, +∞). Hàm y = 4 x là hàm tăng nghiờm ngặt trờn Df nờn nú cú hàm ngược. Rỳt x theo y, ta cú: x =y ,y4 ≥0, đổi vai trũ của x và y ta cú:
hàm y = 4 x cú hàm ngược là y = x4, x ≥ 0.
4) Cỏc hàm số thường gặp:
. Cỏc hàm số sơ cấp cơ bản
* Hàm số luỹ thừa y = xα, α là một số thực cho trước
Df =R; Rf =R* Hàm số mũ: y = ax (a>0, a ≠ 1) * Hàm số mũ: y = ax (a>0, a ≠ 1) * f f D =R; R =R+ * Hàm số logarit: y = logax ( a > 0 và a 1≠ ) * f f D =R ; R+ =R * Cỏc hàm số lượng giỏc: +) Hàm f(x) = sinx
Df =R; Rf = −[ 1,1]+) Hàm y = cosx +) Hàm y = cosx Df =R; Rf = −[ 1,1] +) Hàm y = tgx Df x R / x k ,k Z , Rf R 2 π = ∈ ≠ + π ∈ = +) Hàm y = cotgx Df ={x R / x k , k Z , R∈ ≠ π ∈ } f =R * Cỏc hàm số lượng giỏc ngược:
+) Hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm số y = sinx trờn , 2 2 π π − cú - Miền xỏc định Dy = [-1, 1] - Miền giỏ trị Ry = , 2 2 π π − .
+) Hàm y = arccosx là hàm ngược của hàm số y = cosx trờn [0, π] cú - Miền xỏc định Dy = [-1, 1]
- Miền giỏ trị Ry = [0, π].
+) Hàm y = arctgx là hàm ngược của hàm số y = tgx trong , 2 2 π π − cú - Miền xỏc định Dy =R - Miền giỏ trị Ry = , 2 2 π π −
.+) Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm số y = cotgx trong (0, π) cú - Miền xỏc định Dy = R
- Miền giỏ trị Ry = (0, π). * Hàm số sơ cấp:
Ta gọi cỏc hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn cỏc phộp toỏn số học và phộp toỏn hợp trờn cỏc hàm số sơ cấp cơ bản, và cỏc hằng số.
5) Một số hàm số kinh tế thường gặp trong kinh tế * Hàm cung và hàm cầu: * Hàm cung và hàm cầu:
Cỏc nhà kinh tế sử dụng khỏi niệm hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ
thuộc của lượng cung và lượng cầu của một loại hàng húa vào giỏ của hàng húa đú. Hàm cung và hàm cầu cú dạng:
Hàm cầu: QD = D(p)
Trong đú p là giỏ hàng húa; QS là lượng cung: tức là lượng hàng húa người bỏn bằng lũng bỏn ở mỗi mức giỏ; QD là lượng cầu: tức là lượng hàng húa người mua bằng lũng mua ở mỗi mức giỏ.
Khi xem xột mụ hỡnh hàm cung, hàm cầu núi trờn ta giả thiết rằng cỏc yếu tố khỏc khụng đổi.
Hàm sản xuất ngắn hạn
Cỏc nhà kinh tế học sử dụng khỏi niệm hàm sản xuất để mụ tả sử phụ thuộc của sản lượng hàng húa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào cỏc yếu tố đầu vào, gọi là yếu tố sản xuất.
Khi phõn tớch sản xuất, ta thường quan tõm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn và lao động được ký hiệu tương ứng là K và L.
Vớ dụ: Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với hai yếu tố vốn (K) và lao
động (L): Q=aKαLβ
Hàm doanh thu, hàm chi phớ và hàm lợi nhuận
Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu (TR) vào sản lượng (Q): TR = TR(Q).
Hàm chi phớ là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phớ sản xuất (TC) vào sản lượng (Q): TC = TC(Q).
Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (π) vào sản lượng (Q): π=π(Q). Hàm lợi nhuận cú thể xỏc định bởi π=TR(Q)−TC(Q).