V. NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E3
5.2 Đường tiệm cận
5.2.1 Phương tiệm cận, đường tiệm cận
Phương xác định bởi αr∈T Sp \ 0{ } gọi là phương tiệm cận tại p nếu độ cong
pháp dạng của S theo phương đó là 0, tức là k%( )αr =0.
Đường trên S mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi là đường tiệm cận.
5.1.2 Tính chất
a. Mỗi cung thẳng nằm trên S là một đường tiệm cận của S. (Vì tại điểm p bất kì trên S, phương tiếp xúc αr tại p có
0 0 0 0
( ) ( ( )) ( ) ( ). ( ) 0
k% αr =k T s% =k s N s noρ s = .)
b. Nếu đường γ trên S có độ cong khác 0 tại mọi điểm thì nó là một đường tiệm cận của S khi và chỉ khi mặt phẳng mật tiếp của γ tại p∈γ là tiếp diện của S tại p.
Thật vậy : đường γ trên S là đường tiệm cận khi và chỉ khi phương tiếp xúc αr là phương tiệm cận. Điều này tương đương với k%( )αr =0 hay ( ). ( ) 0
0
0 n s =
s
N oρ hay pháp tuyến chính của γ vng góc với pháp tuyến của S. Ta được điều tương đương là mặt phẳng tiếp xúc tại p trùng với mặt phẳng mặt tiếp của γ .
c. Gọi L, M, N là hệ số của dạng cơ bản II của S trong tham số hóa
) , ( ) , ( : v u r v u S U r a →
• L = 0 khi và chỉ khi các đường tọa độ u là đường tiệm cận.
• N = 0 khi và chỉ khi các đường tọa độ v là đường tiệm cận.
Thật vậy : Lor−1 =h(Ru).Ru =II(Ru) ; Nor−1 =h(Rv).Rv =II(Rv)
0 ( u) 0 ( ) 0,
L= ⇔ II R = ⇔k αr = ∀αr là vectơ tiếp xúc của S dọc đường tọa độ u. Điều này tương đương với đường tọa độ u là đường tiệm cận.
Tương tự cho N = 0.
Chú ý : dọc đường tiệm cận γ của S, khi đó độ cong pháp dạng bằng 0, theo
cơng thức Euler : 2 2
1 2
( ) .cos .sin 0
Ta được 2ϕ
2 1 ~.tan ~
k
k =− nên độ cong Gauss K(p)=k~1.k~2 =−k~22.tan2ϕ ≤0,∀p∈γ
Vậy dọc đường tiệm cận γ của S, độ cong Gauss không dương.
5.2.3 Phương trình vi phân của họ các đường tiệm cận trong tham số hóa địa phương
a. r U: →S, ( , )u v ar u v( , ) là một tham số hóa địa phương của S trong E3.
Phương của a.Ru(p)+bRv(p) với a,b∈R,a + b ≠0xác định một phương tiệm cận của S tại r(u, v) khi và chỉ khi (a(nor)u' +b(nor)'v).(auru' +brrv')=0 tại (u,v), tức là
(( ) . ( ) . ) ( ) . 0 . 2 . . 0 . ) ( ' ' ' ' ' ' 2 ' ' 2 2 2 n r r +ab n r r + n r r +b n r r = ⇔a L+ abM +b N = a o u ru o u rv o v ru o v rv
Vậy phương trình vi phân phải tìm là L.du2
+2M.du.dv+N.dv2 = 0.
Khi L = 0 thì 2Mdu.dv+Ndv2 =0⇔(2Mdu+Ndv)dv=0⇔dv=0⇔v=const hay đường tọa độ u là đường tiệm cận.
Khi N = 0 thì Ldu2 +2Mdu.dv=0⇔(Ldu+2Mdu)du =0⇔ du=0⇔u=const hay đường tọa độ v là đường tiệm cận.
b. Tại mọi điểm p thuộc S mà độ cong Gauss K(p) < 0, hai hướng tiệm cận hoàn toàn xác định nên trong lân cận điểm p của S có tham số hóa địa phương
) ( ,
:U S p r U
r → ∈ sao cho các đường tọa độ là đường tiệm cận trong lân cận đó.