Chúng ta có thể so sánh trực tiếp DFT và FFT như sau:
Khi tính trực tiếp DFT, mỗi giá trị của k cần N phép nhân phức và N-1 phép cộng phức. Đối với FFT, mỗi hàm đều có dạng λ(0) ± Wp λ(1) (gọi là số bướm do đồ thị có hình cánh bướm) u cầu một phép nhân và hai phép cộng. Từ đồ thị trên hình 2.5 chúng ta có thể tổng quát hóa số bướm là:
Số bướm = 𝑁2log2𝑁
Điều này là do có N/2 hàng bướm (bởi vì mỗi bướm có hai ngõ vào) và log2N cột bướm.
2.1.3.3. Biến đổi Cosine rời rạc:
Biến đổi Cosine rời rạc DCT (Discrete Cosine Transform) được sử dụng
rộng rãi trong xử lý tiếng nói. Nó là một phép biến đổi chuyển tín hiệu sang miền tần số.
Phép biến đổi thuận:
𝑋(𝑘) = 𝛼(𝑘) ∑ 𝑥(𝑛). cos [𝜋(2n+1)𝑘 2N ] 𝑁−1 𝑛=0 , 𝑘 = 0,1,2, . . . , 𝑁 − 1 (2.34) Phép biến đổi nghịch: 𝑥(𝑛) = 𝛼(𝑛) ∑𝑁−1𝑋(𝑘). cos [𝜋(2n+1)𝑘2N ] 𝑘=0 , 𝑛 = 0,1,2, . . . , 𝑁 − 1 (2.35)
2.1.4. Các bộ lọc số và các cửa sổ:
Bộ lọc số là một hệ thống số dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho.
Lọc số là các thao tác của xử lý dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống số.
Phần này mô tả các nguyên tắc cơ bản của thiết kế bộ lọc số, nghiên cứu bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn FIR (Finite-Impulse Response) và bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR (Infinite-Impulse Response), là các loại đặc biệt của các bộ lọc số pha tuyến tính.
2.1.4.1. Bộ lọc lý tưởng thơng thấp:
𝐻(𝑒𝑗𝜔) = {0 𝜔1 ∣𝜔∣ < 𝜔0
0 < ∣𝜔∣ < 𝜋 (2.36)
Sử dụng định nghĩa của biến đổi Fourier, ta được:
ℎ(𝑛) =2𝜋1 ∫ 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 =(𝑒𝑗𝜔0𝑛2𝜋𝑗𝑛−𝑒−𝑗𝜔0𝑛)=sin𝜔0𝑛 𝜋𝑛 = (𝜔0
𝜋) 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜔0n)
𝜔
−𝜔0 (2.37)
Ở đây hàm sinc được định nghĩa như sau:
𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑥) = sin𝜋𝑥𝜋𝑥 (2.38) có phần thực là hàm chẵn của x được mơ tả trong hình dưới.