Trần Việt Anh, trường THPT Nguyễn Tất Thành, Hà Nội
Số phức có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành tốn học khác nhau như hình học, đại số,... Trong báo cáo này chúng tơi sẽ trình bày những ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán tổ hợp. Điều thú vị và lạ lùng ở đây là: Số phức, một sản phẩm tưởng tượng của trí tuệ con người, một sự "bịa đặt toán học", một vật "ảo", lại bất ngờ giúp ta giải được nhiều bài tốn tổ hợp khó, rất thật, mang bản chất tổ hợp + số học: đếm các đối tượng mang một tính chất nào đó. Qua đó, các bạn có thể thấy được những vẻ kiều diễm và sự tinh tế của Tốn học. Chúng tơi trình bày lại một số kết quả cơ bản về số phức. Một số kết quả chúng tôi không chứng minh mà xem như là những bài tập, bạn đọc có thể tự chứng minh chúng khơng khó khăn lắm.
Bài tốn 1. Cho plà một số nguyên tố lẻ. Tìm số các bộ (x1, x2, . . . , xp−1) gồm p−1 số nguyên dương thoả mãn điều kiện tổng x1+ 2x2+· · ·+ (p−1)xp−1 có số dư bằng 1khi chia cho p, trong đó mỗi số x1, x2, . . . , xp−1 đều khơng lớn hơn p−1.
Đáp số: (p−1)p−1−1 p .
Bài tốn 2. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các bộ (x1, x2, . . . , x(p−1)!+1) gồm (p−1)! + 1
số tự nhiên thoả mãn điều kiện tổng x1 +x2 +· · ·+x(p−1)!+1 chia hết cho p, trong đó mỗi số x1, x2, . . . , x(p−1)!+1 đều khơng lớn hơn2p−1−3.
Đáp số: (2p−1−2)(p−1)!+1+ 1 p −1.
Bài tốn 3. Cho plà một số nguyên tố lẻ. Tìm số tập conX của tập {1,2, . . . ,2p+ 1}biết rằng X chứa đúng p phần tử và tổng tất cả các phần tử của X khi chia cho pcó số dư bằng 1.
Đáp số: 2p+ 1 p −2 p .
Bài toán 4. Cho p là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n. Tìm số các bộ (x1, x2, . . . , xn) gồm n số tự nhiên sao cho tổng x1 +x2+· · ·+xn chia hết cho p, trong đó mỗi số x1, x2, . . . , xn đều không lớn hơn (p−1)!.
Đáp số: ((p−1)!)n−(−1)n
p + (−1)n.
Bài toán 5. Cho ba số nguyên dương m, n, p trong đó n + 2 chia hết cho m. Tìm số các bộ
(x1, x2, . . . , xp)gồm psố tự nhiên sao cho tổng x1+x2+· · ·+xp chia hết cho m, trong đó mỗi số x1, x2, . . . , xp đều không lớn hơnn.
Đáp số: (n+ 1)p+ (−1)pδ(p)
m , trong đó δ(p) =
(
m−1 nếu p chia hết cho m
Bài toán 6. Choplà một số nguyên tố lẻ. Tìm số tập con X của tập{1,2, . . . ,10p+ 2} biết rằng X chứa đúng 2p phần tử và tổng tất cả các phần tử của X khi chia cho p có số dư bằng1.
Đáp số: 10p+ 2 2p −45 p .
Bài toán 7. Cho plà một số nguyên tố lẻ. Tìm số các bộ (x1, x2, . . . , xp−1) gồm p−1 số nguyên dương thoả mãn điều kiện tổng x1+ 2x2+· · ·+ (p−1)xp−1 có số dư bằng 1khi chia cho p, trong đó mỗi số x1, x2, . . . , xp−1 đều không lớn hơn 2p
−1.
Đáp số: 2p(p−1)−1 p .