5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn A B
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Lời giải:
1.Theo giả thiết MN AB tại I => EIB = 900; ACB nội tiếp chắn nửađường tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900 đường tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900
N
=> EIB + ECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp .
2.Theo giả thiết MN AB => A là trung điểm của cung MN => AMN = ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay AME = ACM. Lại thấy CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do cung bằng nhau) hay AME = ACM. Lại thấy CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3.Theo trên AME ACM => AM AE => AM2 = AE.AC
AC AM
4.AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN AB tại I => AMB vng tại M có MI là đường cao=> MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) . => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng) .
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vng tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .
5.Theo trên AMN = ACM => AM là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp ECM; Nối MB ta có AMB
= 900 , do đó tâm O1 của đường trịn ngoại tiếp ECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM.
Gọi O1 là chân đường vng góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường trịn ngoại tiếp ECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường trịn (O) trong đó O1 là hình chiếu vng góc của N trên BM.
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M,
N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vng góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :